Galitskii-1992 (1185113), страница 16
Текст из файла (страница 16)
8.50. Частица находится в основном состоянии в б-яме, так что Н= — рхб(х). Внезапно параметр рр, характеризующий «глубину» ямы, изменяется и становится равным а (сравнить с изменением заряда ядра атома, например, при ))-распаде). Найти 94 а) вероятность того, что частица останется в связанном состоянии, б) распределение по импульсам для частицы, вылетающей из ямы. 8.51. Частица находится в основном состоянии в б-яме, () = — аб(х). При 1= 0 яма приходит в движение с постоянной скоростью )т. Найти вероятность того, что она увлечет частицу за собой. Рассмотреть кредельные случаи малых и больших скоростей $'.
8.5х. На заряженный осциллятор, находящийся в основном состоянии, внезапно накладывается однородное электрическое поле, направленное вдоль осн колебаний. Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора после включения поля. Сравнить с результатом задачи 6.25. 8.53. У линейного осциллятора, находящегося в основном состоянии, в момент времени 1 = 0 «точка подвеса» приходит в движение с постоянной скоростью )т. Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора при 1 ) О. й 6. Адиабатическое приближение а) Адиабатичесное лриближение в нестационарных задачах. 8.54. Гамильтониан Й(р, в, Л(Г) ) некоторой системы явно зависит от времени. Для каждого момента времени 1 предполагаются известными спектр собственных значений Е„(Л(1)) «мгновенного» гамильтониана, являющийся дискретным, и полная система соответствующих ортонормированных собственных функций Чт„(д, Л(1)).
Записать волновое уравнение для системы в представлении, базисом которого является система функций Ч'„(в, Л(Г) ). Показать, что при адиабатическом изменении гамильтониана (в пределе Л- О) распределение по квантовым состояниям системы не зависит от времени. Каков классический аналог этого результата? 8.55. В условиях предыдущей задачи, считая, что при Г = 1« система находилась в невырожденном и-м квантовом состоянии, найти ее волновую функцию при 1 ) Ге в первом порядке адиабатической теории возмущений. На основе полученных результатов рассмотреть возбуждение заряженного линейного осциллятора, 95 находящегося при 1-» †в основном состоянии, под влиянием однородного электрического поля д'(1) и сравнить с точным решением, см.
6.25. Исследовать случаи зависимости сй(1) вида, приведенного в 8.33. 8.56. В условиях задачи 8.54 временная зависимость гамильтониана является периодической. Исследовать квазиэнергетические состояния«) в адиабатическом приближении. Энергетический спектр мгновенного гамнльтониана считать дискретным и невы- рожденным. 8.57. Частица находится в поле двух сближающихся б-ям, так что У (х, 1) = — а 15 (х — /. (1)/2) + б (х + Е (1)/2)].
При 1- — со ямы находились на бесконечно большом расстоянии друг от друга, а частица была связана одной нз них. Расстояние Ь(1) между ямами медленно уменьшается, и в некоторый момент времени ямы «сливаются» в одну: (/(х) = — 2аб(х). Какова вероятность того, что при этом частица останется в связанном состоянии? б) Адиабатичесное приближение в стационарных задачах. 8.58. Гамнльтониан системы, состоящей из двух подсистем, имеет внд Й=Й,(х)+ Р(х, 5)+ Й,Я), где х, 9 — координаты 1-й и 2-й подсистем, )т(х,9) описывает взаимодействие между ними. Считая характерные частоты 1-й («быстрой») подсистемы много большими характерных частот 2-й («медленной») подсистемы, свести задачу приближенного вычисления энергетических уровней и соответствующих им волновых функций совокупной системы к решению 'уравнений Шредингера для отдельных подсистем.
На основе полученных результатов исследовать состояния нижней части энергетического спектра для частицы, находящейся в двумерном потенциале вида О, хе/ае + уа/Ье ( 1 со, ха/иа -1- ре/ба > 1 в случае б )) а. 7) См. подстрочное примечание на с. 75. 96 8.89. Гамильтониан системы имеет вид И= —,Р+ — /)+ + у, ~а)</т, ь(ли 1 а) причем М » лт (два связанных осциллятора с сильно различающимися массами). Найти уровни энергии системы и соответствующие им волновые функции на основе адиабатического приближения. Сравнить полученный результат с точным решением, см. 2.50. 8.60. Две частицы с сильно различающимися массами М » т находятся в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а и взаимодействуют друг с другом как взаимно непроницаемые точки. Найти энергетические уровни нижней части спектра и соответствующие им волновые функции.
8.61. Используя адиабатическое приближение, обсудить вопрос об энергетическом спектре и виде соответствующих волновых функций связанных состояний частицы в центральном потенциале притяжения (/(Г) в присутствии достаточно сильного однородного магнитного поля. Найти сдвиги уровней Ландау под влиянием короткодействующего потенциала, а также основной уровень атома водорода в сильном магнитном поле. Глава 9 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Два независимых решения одномерного уравнения Шредингера ') (Н.
1) в квазиклассическом приближении имеют вид 1 Ч'д,— — ехр1(.ч= — ~ ~р(х)Ых 'т/д (л) (1Х. 1) =Л ТЕ:а вй. Условие применимости этого приближения 1 т/)с/с/л ~ = — 81 с/р '/т/х 1 = лай) ЕУ' (х)/ра (х) ~ << 1. (1Х. 2) ') Напомним, что у.Ш. для частицы в центральном потенциале сводится к одномерному, см. (1'тт. о). 4 В. М. Галицкий и Лр. Обычно всегда имеются такие области значений х, в которых оно нарушается (например, вблизи точек остановки). В связи с этим возникает проблема ') сшивания квазиклассических функций, отвечающих одному и тому же решению уравнения Шредингера по разные стороны от таких областей. Часто применимы условия сшивания, основанные на линейной апи ь х прокснмации потенциала в окрестности точек остановРис. 22 ки классического движе- ния').
Для самой правой точки остановки, типа х = Ь на рнс. 22, онн имеют вид к Ч'(х) = с ° р — — (~раб~к*~, >р;Рх.бя 2'(/) Р(х) ) ~ а Ь ь ч= к ~ — '„)рбсб*ч.+~, *<б.ах.ббб Б~ (х) Для левой точки остановки, х = а на рис. 22: а ч = б' .*р~ — '„(~рб*б~б,~, <к Ох.бо 2 з(1 р (х) ) к Ч вЂ” ' б ( т)рб )б*-Р— '), *> . (!Х.бб) ~/~ (х) В случае потенциальной ямы приведенного на рис. 22 вида, из условия совпадения выражений (1Х.Зб) и (1Х.46) (описывающих одно и то же решение у Ш.): кратности ьт суммы фаз синусов в ') Ее решение требуется, в частности, для учета граничных условий.
') При этом предполагается, что на таком удалении от точки остановки, где еще справедливо линейное разложение потенциала, уже выполнено условие квазиклассичности ((Х. 2). них, следует правило квантования Бора †Зомм фельда ') ь т(а2 1~,— и*цг ( .~--), пх.з) а и=О, 1,2, Хотя формально квазиклассические правила квантования определяют спектр Е„лишь для и >> 1, обычно результат и при гг — 1 имеет достаточно высокую точность. Дифференцирование в (1Х.
5) по л определяет расстояние между соседними уровнямн ЬЕ, == Еач ~— — Е„= йсо(Е„), где го(Е„) = 2п)Т(Е„) — частота движения классической частицы с энергией Е„, Т вЂ” его период. Для волновой функции связанного состояния обычно можно использовать следующее простое выражение (сравнить с (1Х. 3,4) ): з1п ) а ) Р (х) с(х + 4 ) о < х < Ь а~х = Р(х) а О, х<а, х>Ь, (1Х. 6) пренебрегая возможностью проникновения частицы в классически запрещенную область, где волновая функция эксгюненциально убывает. Для нормировки в. ф. на единицу следует выбрать Сз„=2тш(Е„)гя.
При вычислении производных от волновой функции следует дифференцировать лишь тригонометрический множитель (синус или косинус) как наиболее быстро изменяющийся. Проницаемость барьера, указанного на рис, 23, в квазиклассическом приближении описывается 41 В более общем случае, когда неприменимы условия сшнвання (1Х. 3), (!Х. 4), правая часть в правиле квантования равна я(л+ и), где квазнкласснческая поправка и 1. Именно прн корректном ее учете область прнменнмостн квазнкласснческого результата обычно затягивается до значений л 1 (в противном случае пронсходнт существенная потеря точности даже для сравнительно большнх значеннй и 10). выражением ь в(з)=„,( — х(~~ь, а~~а ~.
пх.п а Условием применимости этого выражения является большая величина в нем показателя экспоненты, так что Р « 1. Формула (1Х. 7), как и (!Х. 5), предполагает возможность сшивания квазиклассических решений в окрестностях точек остаь. нонки, основанного на лил ьейной аппроксимации потенциала. При нарушении этого условия квазиклассический результат (1Х.7) справедлив лишь с точностью до цредэкспоненциального множителя (но передает главное: экспоненциальную малость коэффициента прохо:кдения барьера). 9 1.
Квантование энергетического спектра 9.1. В квазиклассическом приближении найти энергетический спектр: а) линейного осциллятора, б) связанных состояний частицы в потенциале (7(х) = Яю = †(уесЬ-з(х/а). Сравнить с точ- ным результатом (в случае б) см. и= [1, $ 23]). 9.2. Получить правило квантова- з ния энергетических уровней н найпл ти соответствующие им квазиклассические волновые функции в случае потенциала вида з), приведенного на рис. 24.
Рис. 24 Применить полученный резуль- тат к потенциалу, рассмотренному в 2.8. Обратить внимание на близость квазиклассического и точного значений Е„ даже при п — 1. 9.3. Частица находится в центральном поле, представляющем суперпозицию «дальнодействующего» ') Полученный результат непосредственно переносится н на случай з-состояний частицы в центральном потенциале, см. 4Л. потенциала У(г) вида, приведенного на рис. 24 (так что на малых расстояниях нет потенциального барьера), и «короткодействующего» потенциала, аппроксимируемого потенциалом нулевого радиуса (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
