Galitskii-1992 (1185113), страница 28
Текст из файла (страница 28)
13.20. Найти волновую функцию Чса,(г), амплитуду рассеяния и сечение рассеяния частицы на потенциале нулевого радиуса (см. 4.10). Каково значение эффективного радиуса гс? 13.21. Восстановить потенциал взаимодействия У(г) по фазе з-рассеяния бс(й), считая ее известной при всех энергиях частицы и предполагая, что !бс(й) ! « 1. Для иллюстрации полученного результата рассмотреть зависимости вида: а) бс(А) = сопз1; б) бс(А) =.сей/(1+ ~Фа). ") П связи с данной задачей см. также 13.24.
159 13.22. Получить выражение для фазовых сдвигов в борновском приближении в случае обменного потенциала (см. 13.3). 13.23. Развить фазовую теорию рассеяния в случае двумерного движения частицы в аксиально-симметричном потенциале (/(р). Каково обобщение оптической теоремы на этот случай? 13.24. Используя фазовую теорию рассеяния, найти амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния заряженных частиц в аксиально-симметричном магнитном поле Ж(р), направленном вдоль оси а и локализованном иа малых расстояниях р ( а около этой оси.
Указание. Ограничиться предельным случаем а — О, ио конечной величины Фэ потока магнитного поля. При этом векторный потенциал удобно выбрать в виде Аэ = Ф»/2пр, А, = Ар — — О. Отметим, что рассеяние под малыми углами иным способом рассмотрено в [1, $!3!]. 13.25, Найти энергетическую зависимость фазовых сдвигов 6~(й) с фиксированным значением ! при й- со. Рассмотреть случаи потенциалов, имеющих на малых расстояниях г О вид (/ = а/г' с а) т ~ 1; б) 1(т(2; в) т=!. 13.26. Показать, что при больших значениях энергии и момента, когда й)? — 1» 1, борновское выражение (ХП1. 12) для фазового сдвига переходит в квазиклассическое (ХП1.
14). Указание, Воспользоваться «приближением таигенсами» для функций Бесселя, см. [ЗЗ, с. 977]. 3 3. Низкоэнергетическое рассеяние. Резонансные явления при рассеянии !3.27. Найти энергетическую зависимость сечения рассеяния о(Е) в поле, спадающем на больших расстояниях по закону (/(г) сс/г", г — ~со, 2(т(3 при энергии частиц Е-»О. 13.28. Найти зависимость от й фазовых сдвигов 6~(й) для медленных частиц и обсудить разложение эффективного радиуса в борновском приближении. При каких ограничениях на убывание потенциала на больших расстояниях справедливо разложение (ХП1.
15), т. е. можно ввести параметры низко- энергетического рассеяния — длину рассеяния а~ и эффективный радиус взаимодействия г~ — с момен- том 1? 13.29. Для потенциала со степенным убыванием на больших расстояниях, сl ж а/г", т ) 2, найти за- висимость от Ь фазовых сдвигов для медленных час- тиц с различными значениями момента 1.
Рассмот- реть приложения полученных результатов к потен- циалам, имеющим на больших расстояниях вид У- ж сс/гз и у ж сс/г4 (поляризационньсй потенциал, см, ! 1.49) . 13.30. Для потенциала со степенным убыванием на больших расстояниях, 0 сс/»', обсудить модифика- цию разложения эффективного радиуса (ХП1.15) при орбитальном моменте частицы 1, удовлетворяющем условиям (т — 5)/2 = 1<(т — 3)/2. В качестве ил- люстрации полученного результата рассмотреть в-расстояние медленных частиц в потенциале, имею- щем на больших расстояниях вид (/ — а/г".
13.31. Найти длину рассеяния а, в потенциалах: ( — У., ° < /?, ) (/(~) =~ б) и(г) = — изб(г — К); в) У(г) = — Усв "а; г) У(г) = — (/,[1+(г//?)2) 2; д) У(г)=ЛЯ/г)', Уо) О Чем примечательны значения параметров потенциала, при которых длина рассеяния обращается в бесконечность? Какова причина неаналитической зависимости ас(0о) от параметра Уо при Уа — ~О в случае д)? 13.32. Найти длину рассеяния и сечение рассеяния медленных частиц непроницаемым эллипсоидом, т. е. в потенциале о о, (хе+ у2)/Ьз+ гз/сз < 1, с Ь, 0(г) = О, (х'+ у')/Ь'+ г'/с' ~ 1. Специально обсудить предельные случаи с = Ь и с»Ь. 13,33. В квазиклассическом приближении найти длину рассеяния а, для отталкивательного потенциала, имеющего асимптотическое поведение 0 ж а/г4 на больших расстояниях. е В. м.
гэлидкнА и дэ. Для иллюстрации полученного квазикласснческого результата применить его к потенциалам а) У = = аЯх+ге)-е и б) (/= аф+г) — 4, где Я ) О, и сравнить с точным. 13.34. В условиях предыдущей задачи найти квазиклассическую поправку к длине рассеяния, связанную с учетом следующего члена в разложении потенциала на больших расстояниях: 0 = аг — 4(1+ + Ь/г+...).
13.35. Для потенциала притяжения, У(г) ~ О, имеющего степенное убывание (/ ж — м/г' с т ) 3 на больших расстояниях, найти длину рассеяния а, в квазикласснческом приближении. При этом считать, что на малых расстояниях г-+ О потенциал 7/сог — в и О(3(2. Чем примечательны значения параметров потенциала, прн которых а, обращается в бесконечность? Рассмотреть приложения полученного результата к потенциалам а) (l = — сс(г + Я) †' и б) (/ = = — х(г'+ /?') — ' н сравнить с точным решением. 13.36. Получить формулу теории возмущений по длине рассеяния для сдвига уровня с произвольным моментом 1 в потенциале (/ь(г) под влиянием короткодействующего потенциала (/з(г) радиуса гз (обобщение результата 11.4 для 1= О).
Предполагается, что на малых расстояниях г < гз взаимодействие (/ь является слабым, (У ~ (( л'/шгзз, и для рассматриваемых уровней ~ Е' ~) ~ (< о2/тгз. 13.37. Потенциал представляет суперпознцию сильного короткодействующего потенциала Уз(г) радиуса гз и дальнодействующего Уе(г) радиуса гь » гз, причем последний на расстояниях г < гз предполагается слабым.
'~ У ~ <( й'/тг'. Считая известным решение уравнения Шредингера для потенциала (/ь(г), найти изменение Абьн фазового сдвига в этом потенциале под влиянием Уз в случае медленных частиц, когда йгз « 1, Выразить ЛИз> через длину рассеяния а)з) в потенциале уз. В каком случае фазовый сдвиг в поле (/= Уз+ + Ух приближенно равен сумме фазовых сдвигов в потенциалах 1/з и Уе в отдельности? 162 Рассмотреть приложение полученного резуль. тата к дальнодействующему кулоновскому потенциалу.
Указание. Воспользоваться изложенным в 11.4 приемом учета влияния короткодействующего взаимодействия, см. также 13.36. 13.38. Как надо модифицировать формулу Резерфорда, чтобы описать дифференциальное сечение рассеяния частиц в кулоиовском потенциале, (7 = = +-Яе'/г, искаженном на малых расстояниях г < гз". Предполагается, что выполнены условия его « ! и Ле' « по.
Искажение кулоновского поля описывается потенциалом (/з(г), для которого известна длина рассеяния ам'. о 13.39. Найти длину рассеяния а, с произвольным моментом ! для следующих потенциалов: а) непроницаемая сфера радиуса )т; б) (7(г)= = — аб(г — Я); в) прямоугольная яма радиуса Й и глубины (уь Сравнить со случаем ! = 0 из !3.31.
13.40. Оценить значение синглетной (с суммарным электронным спином 5 = 0) длины рассеяния ао(1) электрона на невозбужденном атоме водорода, учитывая существование слабосвязанного состояния — иона Н- — с энергией связи ео — — 0,754 эВ = =0,0277 а.
е. н а) пренебрегая конечностью размера атома водорода и области взаимодействия внешнего электрона с атомом; б) рассматривая внешний электрон как слабосвязанный в потенциале конечного радиуса и используя для него значение С'„=2,65 асимптотического коэффициента (см. 11.36). Сравнить с результатом вариациоииого расчета: ао(1) = 5,97 а. е.
13.41. Для протон-нейтронной системы оценить значение триплетной длины рассеяния а,(3), учитывая существование в такой системе слабосвязанного состояния — дейтрона — с энергией связи во —— = 2,23 МэВ. Сравнить с экспериментальным значением ао (3) = 5,39. ! Ое м см. 13.42. а) Используя экспериментальное значение синглетной длины рассеяния ао(1) = — 23,7 10 'з см для протон-нейтронной системы, оценить энергию 163 мелкого виртуального уровня ") в такой системе в состоянии с 5 = 0 и 1 = О. б) Для протои-протонной системы по(1) = — 7,77Х Х10-'з см. Не противоречит ли такое существенное различие длин рассеяния для рп- и рр-систем изотопической иивариаитиости ядерного взаимодействия? В связи с этим приведем значения эффективных радиусов взаимодействия гс(1), равные 2,б7 10-'з см и 2,77 10 †'з соответственно для рп- и рр-систем, 13.43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
