Galitskii-1992 (1185113), страница 30
Текст из файла (страница 30)
13.66. Бесспиновая частица рассеивается на системе одинаковых, распределенных в пространстве центров со спином з = 1/2. Взаимодействие с отдельным центром описывается выражением 0 = (уо(г)+ +(7,(г)!а, Исследовать в борновском приближении амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния в случае неполяризованных центров (Р„= О).
Сравнить с рассеянием на системе бесспиновых центров. 13.67. Каково обобщение оптической теоремы на случай столкновения частиц с отличными от нуля спинами7 й 6. Аналитические свойства н унитарность амплитуды рассеяния 13.68. Обсудить аналитические свойства и дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния на потенциале нулевого радиуса, см. 13.20.
Рассмотреть случаи как существования, так и отсутствия связанного состояния в таком потенциале. Сравнить с ()(! П. 27) . 13.69. Воспользовавшись дисперсионным соотношением, показать, что для энергетической зависимости сечения рассеяния частицы в потенциале отталкивания, У(г) ) О, существует следующее ограничение: = дЕ < 4п — ~ гз(7 (г) г(г. о о (Е) у2т а 13.70. Показать справедливость соотношения = г(Е < и ~/ — о' (0) и (Е) /2паа о ОЗ для рассеяния в потенциале притяжения, У(г) < О, в котором, однако, не существует связанных состояний частицы (яма недостаточно глубокая); здесь а(0) =4паоз — сечение рассеяния при Е = О.
В каком случае обе части неравенства близки друг к другу? 13.71. Используя только условие унитарности и дисперсионное соотношение (при дав О), можно, в принципе, по известному выражению для амплитуды рассеяния в борновском приближении восстановить'о) ее в виде ряда по степеням потенциала (кратности) взаимодействия. Показать на примере амплитуды второго приближения при да =О, что такой расчет ее воспроизводит результат теории возмущений по потенциалу, основанный непосредственно на уравнении Шредингера (см. 13.10). 13.72. Считая, что для парциальных волн с 1~ = Ее=Ай»1 взаимодействие пренебрежимо мало, м) Подчеркнем, что уравнение Шредингера при таком подходе не используется! 170 получить ограничения сверху на величину амплитуды рассеяния бесспиновых частиц при высоких энергиях для различных углов рассеяния").
Указание. Для углов рассеяния, не очень близких к 0 или и, воспользоваться квазиклассическим выражением для полиномов Лежандра, см. [1, 3 49). 13.73. В условиях предыдущей задачи получить ограничение снизу на величину сечения упругого рассеяния о„ быстрых частиц при заданном значении оьм полного сечения столкновения. 13.74. Найти при больших энергиях ограничение сверху на величину вещественной части амлитуды упругого рассеяния вперед, 0 = О, считая известным полное сечение столкновения и предполагая, что взаимодействие частиц на расстояниях, превышающих /?, пренебрежимо мало.
Каково ограничение на (/(Е, 0 = 0) !? 13.76. Показать, что при высоких энергиях имеют место следующие ограничения на производную по 0 мнимой части амплитуды упругого рассеяния при 0=0: )зз ( — ! з!п1гп/(Е, Ч)(ч с( 4 д = 2й 3!п (О/2), где оз„ вЂ” полное сечение столкновения, а /? — радиус взаимодействия (на расстояниях, превышающих гт, оно пренебрежимо мало). Проверить выполнение приведенных ограничений для амплитуды дифракционного рассеяния из 13.57 н 13.90. 13.76.
Показать, что амплитуда рассеяния в эйкональном приближении удовлетворяет условию унитарности. ") В задачах 13.73 — 13.75 рассмотрен ряд простых общих ограничений на свойства амплитуд и сечений взаимодействия частиц при больших энергиях, связанных, в основном, с возможностью пренебрежения взаимодействием на расстояниях, превышающих его радиус Р. Такая ситуация характерна для физики элементарных частиц, При этом эффективный радиус взаимодействия растет с энергией, ио ие быстрее, чем со 1п(Е/Ее), см. 13.53. Необходимость использования релятивистской кинематики фактически ие отражается на полученных результатах.
171 9 7. Рассеяние составных частиц. Неупругие столкновения 13.77. Показать, что амплитуда упругого рассеяния электрона на атоме — составной системе — в борновском приближении в пренебрежении обменными эффектами аз) совпадает с амплитудой рассеяния электрона статическим локальным потенциалом (/(г), и выяснить его физический смысл. Сравнить с 13.4 — 6. 13.78.
Поляризованный электрон с з, = +1/2 сталкивается с атомом водорода, находящимся в основном состоянии, электрон в котором имеет противоположное значение, з. = — 1/2, проекции спина. Найти в первом борновском приближении амплитуду и сечение столкновения с «переворотом» спина (т. е.
в случае, когда з, = — 1/2 уже у рассеянного электрона, а и, = +1/2 у атомного), атом остается в основном состоянии. Сравнить со случаем упругого рассеяния (без изменения спинового состояния электронов), см. 13.77. Указание. Иметь в виду, что рассматриваемый процесс относится к числу процессов с «перераспределением» частиц, см.
[251, гл. 18. 13.79. Оценить сечение перезарядки при столкновении быстрого позитрони с атомом водорода, находящимся в основном состоянии (т. е. найти сечение образования позигрония — водородоподобной системы из электрона и позитрона), Указание. Воспользоваться приближением Оппенгеймера — Бринкмана — Крамерса (ОБК) для процессов перезарядки, основанным иа пренебрежении взаимодействием ядер друг с другом (в данном случае — позитрона с протоном); сравнить с предыдущей задачей. 13.80. Выразить в борковском приближении амплитуду процесса А;+ В,— Аг+ Вг столкновения быстрых составных частиц А и В, взаимодействующих ") В условиях применимости борновскаго приближения (для быстрых частиц) пренебрежение обменными эффектами оправдано; при этом существенно, что спииовое состояние свободного электрона, как н атомного, в процессе столкновения не изменяется; сравнить с 13.18.
112 электростатическим образом, через электрические формфакторы ") аР",!<~! (и) =(Чг„! ) ! ~ ~ е, ехр ( — ЙФгп) [Чг„! ! !) для соответствующих переходов 1-+.1. Обсудить поведение формфактора при с)- О в зависимости от квантовых чисел начального и конечного состояний. Рассчитать для атома водорода формфакторы переходов 1з - 1з, 1з- 2з, 1з- 2ргп; обратить внимание на их поведение при д- о.
Найти сечения столкновений для следующих процессов; 1) Н (1з) + Н (1з) — ь Н (!з) + Н (1з) — упругое рассеяние атомов водорода друг другом; 2) столкновения заряженной бесструктурной частицы (электрона, мюона, протона н т. д., но не иона!) с атомом водорода, находящимся в основном состоянии, сопровождающегося возбуждением а) 2з-, б) 2рсостояний атома. 13.81. Рассмотреть столкновение быстрой заряженной частицы с двухатомной молекулой, имеющей собственный дипольный момент с)ю и находящейся в основном состоянии; электронный терм молекулы 'Х. Оценить сечения столкновений, сопровождающихся возбуждением различных вращательных н колебательных уровней молекулы; сравнить со случаем столкновений с атомом, см. предыдущую задачу.
13.82. Найти сечение столкновения быстрой заряженной частицы с атомом водорода, находящимся в метастабильном 2з-состоянии, сопровождающегося переходом атома в 2р-состояния. Указание. В данной задаче необходимо учитывать релятивистское расщепление з- и р-уровней, см. 11.82. 13.83. Найти с логарифмической ~очностью сечение расщепления быстрого дейтрона в кулоновском поле ядра с зарядом Яе (ядро, для простоты, считать точечным и бесконечно тяжелым) Волновую ю') Подчеркнем, что т, является радиусом-вектором а-й заряженной частицы в составной системе А(В) относительно пентра масс этой системы.
Ооычнмй атомный формфактор, см. [)1, 5 !39, соответствует случаю, когда атом до и после столкновения находится в основном состоянии, при этом гюю(Ч) = 3 — гют(Ч). 1УЗ функцию дейтрона, учитывая малость энергии связи протона и нейтрона, выбрать как в случае потенциала нулевого радиуса, см. 12,1. 13.84. Найти асимптотику при д- оо электрического формфактора двухчастичной системы. Предполагается, что фурье-компонента 0(д) потенциала взаимодействия, ответственного за образование составной системы, прн д — со имеет степенное убывание: (7(д) сю и-"с п ) 1; сравнить с 4.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
