Galitskii-1992 (1185113), страница 33
Текст из файла (страница 33)
7) й 1. Уравнение Клейна — Гордона 15.1. Показать, что если Ч"=(г, 1) представляет волновой пакет, составленный из частных решений уравнения Клейна — Гордона, отвечающих энергии (или частоте) определенного знака (либо г ) тс', либо е « — тех), то независимо от конкретного вида такой суперпозиции значение сохраняющейся во времени величины Я р (Г 1)С()т З ь ~~Ч" о, В, Ч ~Ы~ является знаноопределенным, 15.2. Показать, что уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы инвариантно относительно антилинейного преобразования волновой функции вида Ч вЂ” Ч,(г, 1)=СЧ (г, Г)— = Ч*(г, 1). Преобразование С описывает зарядовое сопряжение. Оно позволяет поставить в соответствие не имеющим непосредственного физического смысла решениям Ч"-(г, 1) уравнения Клейна — Гордона (Ч' —— суперпозиция частных решений, отвечающих формально отрицательной энергии частицы, см.
15.1) функцию Ч", =С'1', отвечающую уже положительным энергиям и интерпретируемую как волновая функция античастицы. Убедиться в том, что если функция Ч' является собственной функцией какого-либо из операторов д й = (ть —, р, 1„1', то соответствующая зарядово дг ' сопряженная функция Ч", также является собственной ь) Этот результат, как и уравнение (Х"т'. 6), справедлив лишь для частиц со спином 1/2, не обладаюших пиленим взаимодействием.
функцией. Как связаны собственные значения указанных операторов для таких фуикцийр 15.3. а) Какой вид принимает уравнение Клейна— Гордона для заряженной бесспиновой частицы во внешнем электромагнитном поле при преобразовании волновой функции Ч'- Ч',(г, 1)=СЧ" (г, 1) — Ч" (г, 1)7 б) Какое преобразование электромагнитного поля следует осуществить одновременно с указанным преобразованием функции Ч'(г, г), чтобы получающееся при этом уравнение имело такой же вид, как н исходное) в) На основании полученных результатов дать интерпретацию преобразования С как преобразования зарядового сопряжения, осуществляющего переход от частицы к античастице (сравннть с 15.2).
15.4. Показать, что внешнее скалярное (по отношению к преобразованию Лоренца) поле оказывает одинаковое действие на бесспиновую частицу и соответствующую ей античастицу. Сравнить со случаем частицы во внешнем электромагнитном поле (см. 15.3). Указание. Уравнение, описывающее бесспиновую частицу во внешнем скалярном поле 0(г,1), имеет внд (с'р'+ т'с4 + 2тсЧ/) Ч' = — 5' —, Ч'. дР Не следует путать скалярное поле с электростатическим (последнее представляет временную компоненту 4-вектора).
В нерелятивистском пределе (7(г,1) имеет смысл обычной потенциальной энергии. 15.5. Показать, что внутренние четности бесспиновой частицы и соответствующей ей античастицы— одинаковые. 15,6. Основываясь на сохранении величины Я (см. 15.!), обсудить вопрос об ортогональности и нормировке функций хр, (г, 1), являющихся решениями уравнения Клейна — Гордона, отвечающими опреде.
ленным значениям энергии (обоих знаков) и импульса. 15.7. Показать, что для бесспиновой частицы в релятивистском случае можно сохранить обычную интерпретацию волновой функции в импульсном пред- 187 ставленни как амплитуды вероятности значений им- пульса (в отличие от координатного представления, см. 15.1). Какова связь волновых функций частицы и анти- частицы в импульсном представлении с решениями Ч'-(г, т) уравнения Клейна — Гордона? Обсудить во- прос о собственных функциях оператора координат частицы. Сравнить с нерелятивистским случаем. 15.8.
Получить выражение для среднего значения энергии свободной бесспиновой частицы в произволь- ном состоянии, описываемом решением Ч'+(г, 1) урав- нения Клейна — Гордона. 15.9. То же, что н в предыдущей задаче, но для среднего значения импульса частицы. 15.10. То же, что и в предыдущих двух задачах, но для среднего значения момента частицы. 15.11. Найти в релятивистском случае энергетиче- ский спектр заряженной бесспиновой частицы, нахо- дящейся в однородном магнитном поле. Сравнить с нерелятивистским случаем.
15.12. Найти энергетический спектр е-состояний бесспиновой частицы во внешнем скалярном поле (см. 15.4) вида — (/О, 0(г) = ~ О, г)а. Каков энергетический спектр античастицы в та- ком поле? Обсудить трудности в интерпретации энергетиче- ского спектра, возникающие при значительном углуб- лении ямы. 15.13. Найти энергетические уровни дискретного спектра заряженной бесспиновой частицы (заряд — е) в кулоновском поле ядра с зарядом Ле (ядро счи- тать точечным и бесконечно тяжелым). В случае Еа «1 (и = е'/Ьс — 1/137) сравнить полученный результат с соответствующим выраже- нием нерелятивистской теории.
Обратить внимание на трудности, возникающие в интерпретации энергетического спектра при доста- точно больших значениях заряда ядра, и объяснить их причину. 15.14. Показать, что для состояний свободной час- тицы уравнение Клейна — Гордона можно записать 138 и виде уравнения Шредингера, )й дЧг/д1 = Нве!чР. Найти соответствующий гамильтоннан н обсудить его иерелятивистский предел.
Какова связь шредингеровской волновой функции Ч' с решением Чгч (см. 151 и 15.7) уравнения Клейна — Гордона? 15.15. Исходя из стационарного уравнения Клейна — Гордона для заряженной бесспиновой частицы, находящейся в постоянном электромагнитном поле: а) получить в нерелятнвнстском пределе уравнение Шредингера; б) найти первые две ( — 1/са и -1/с') релятивистские поправки к гамильтониану частицы.
Показать, что поправка — !/с4 включает слагаемые, отличающиеся от разложения гамильтониана Й и =~се (р — еА/с)'+ тес'+ ачр — тс'. !5.!6. Показать, что н достаточно сильном электростатическом поле заряженнаябесспиноваячастица испытывает притяжение (в квантовомеханическом смысле) независимо от знака ее заряда'). 15.17. Найти в борновском приближении амплитуду и дифференциальное сечение рассеяния релятивистской заряженной (заряд е,) бесспиновой частицы в кулоновском поле ядра с зарядом Ее (ядро считать бесконечно тяжелым).
Сравнить со случаем нерелятивистской частицы. Указать условия применимости полученных результатов. 15.18. Найти в борновском приближении энергетическую зависимость сечения рассеяния о(е) заряженной бесспиновой частицы во внешнем электростатическом поле ~р(г) при е — оо. Указать условия применимости полученного результата; сравнить его с результатом нерелятнвистской теории. 15.19. Найти в борновском приближении энергетическую зависимость сечения рассеяния п(е) бесспиновой частицы во внешнем скалярном поле 1/(г) (см. указание к 15.4) при а-ч- оо, Указать условия применимости полученного результата; сравнить его с результатами нерелятивистской теории и предыдущей задачи.
а) Это утверждение справедливо и для частиц с отличным от нуля спинам. 169 Е 2. Уравнение Дирака 15.20. Выяснить, какие из указанных ниже операторов коммутнруют с гамильтонианом свободной релятивистской частицы со спином а = 1/2 (и тем самым являются интегралами движения): 1) р= — Ир; 2) 1= — „(гр) = — 1(гр); 3) 1э; 4) а= — Х; 5) а~; 6) )=1+а; 7) )', 8) Л=р?' 9) 1'17Ч~(г) — Ч" ( — г)~; 10) Р— = /31; 1!) у;. Сравнить со случаем свободной нерелятивистской частицы.
15.21. Найти решения уравнения Дирака, описывающие свободную частицу, имеющую определенные импульс и энергию. Для конкретизации спинового состояния частицы воспользоваться коммутативностью оператора Л = Хр с операторами р и Й (см. также 15.26). 15.22. Найти компоненты 4-вектора плотности тока свободной дираковской частицы в состоянии, характеризующемся определенным значением ее импульса.
Сравнить с соответствующими выражениями нерелятивистской теории. 15.23. Найти среднее значение вектора спина дираковской частицы, имеющей определенный импульс (при этом спиновое состояние частицы — произвольное). Считать для простоты, что импульс направлен вдоль осн а. Сравнить с результатом нерелятивистской теории. 15.24.
Рассмотреть унитарное преобразование биспиноров, задаваемое унитарным оператором (матрицей) У = =( ). Какой вид имеют в новом представлении оператор спина частицы н уравнение Дирака для двухкомпонентных спиноров (Ч~' = ЦЧ~ г ( у~ 2 Обсудить слур /5'й ~чЛ' чай безмассовой частицы, т = О. 15.25. Считая известным спиновое состояние в системе покоя частицы, найти биспинор и(р) в произ- 190 вольной системе координат, в которой частица имеет импульс р. Используя полученный результат, найти связь средних значений вектора спина частицы в указанных системах координат.
15.26. Как известно (см. 15.21), для частицы со спинам з = 1/2 волновая функция состояния с импульсом р и энергией е = Х/р'е'+т'с" имеет вид — (рг — м) ) / ч) Ч"р — — и(р)е"; и(р)=( сер е+ тс' 'рл Указанное состояние является двукратно вырожденным (существует два независимых способа выбора спинора ч)), что связано со спиновой степенью свободы. Рассмотрим два таких независимых состояния, соответствующие выбору спинора )р в виде грм где (пп) р =х)р, и — произвольный единичный вектор, Х=-~1, см. 5.12.
Убедиться в ортогональности спиновых состояний релятивистской частицы, отвечающих различным значениям А. Учитывая результат предыдущей задачи, выяснить физический смысл вектора и и соответствующих собственных значений Х. 1 Каков смысл вектора — ~р"вр при нормировке 2 Ч) т= 12 15.27. Выполнив преобразование зарядового сопряжения, найти явный вид волновой функции Ч'+ состояния античастицы, соответствующего решению уравнения Дирака Ч'- с определенным импульсом, равным — р, и отрицательной энергией е = = — )/р'с'+ т'с' частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
