Galitskii-1992 (1185113), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Сравнить с волновой функцией физического состояния частицы (с энергией е ) тс' и определенным импульсом), см. 15.21 и 15.26. Как изменяется квантовое число спиральносгь при зарядовом сопряжении (сравнить с 15.2) Р 15.28. Показать, что для днраковской частицы с массой т = О оператор (матрица) уе коммутирует с гамильтонианом свободной частицы.
191 Найти собственные значения указанного оператора и выяснить их физический смысл. 15.29. Показать, что операторы (матрицы) Р = '/я (1 ~ у,) являются проекционными. Для дираковской частицы с массой пт = О эти операторы коммутируют с гамнльтониаиом. На какие состояния частицы и античастицы проектируют указаиные операторы Р г 15.30. Квантовомеханическое описание фотона может быть осуществлено с помощью двух векторов $(г, г) н эа (г, 1), удовлетворяющих') таким же уравнениям, как уравнения Максвелла классической электродинамики для свободного электромагнитного поля 3(г, г), дэ (г, г) (т. е. для электромагнитных воли в вакууме).
Показать, что эти уравнения можно представить в виде, аналогичном уравнениям Дирака для двух- компонентных спиноров (следует учесть, что масса фотона и = О, а его спин з = 1). 15.31. Найти нерелятивистский предел (с точностью до членов порядка «1/с» включительно) выражений для плотности заряда н тока днраковской частицы, находящейся во внешнем электромагнитном поле. 15.32. Гамильтоннан частицы со спнном з = 1/2, находящейся во внешнем электромагнитном поле, имеет внд /У. = спР+ т"й+ 9," Рптйтпр" где и — некоторый параметр, характеризующий частицу, Рп,— тензор электромагнитного поля.
Рассмотрев нерелятивистский предел (с точностью до членов порядка «!/с» включительно) волнового д уравнения ') 13 —, Чг = гтЧ", выяснить физический аг ') Подчеркнем, что е, ая, как и векторный потенциал А, при этом являются комплексными величинами в отличие от вешественности соответствуюших функций, используемых для описания классического электромагнитного поля. г) Это уравнение можно записать в явно релятивистски инварнантном виде: ( пи ах / й д1 гса + — г т у + гига) чг = О 1 Ф ~р у =,Ву — — т — ) .
й мчит ) ~ пи с чав)' 192 смысл параметра я, т. е. установить его связь с электромагнитными характеристиками частицы. Сравнить со случаем заряженных дираковских частиц— электрона и мюона, гамильтониан которых имеет вид Й= са (р — — А) + тс'р + еА,. и имеющие при г- со аеимптотикн вида 7ев — твс' 1/ а'' 0 ср — е*'"', 1 с Найти также функции Грина 1,* уравнения Дирака, записанного в симметричной форме: (сР+тс)Ч~ОР~Ь77+у4 - 15.37. Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния дираковской частицы во внешнем постоянном электромагнитном поле. Применить полученный результат к случаю электростатического поля Ар — — ле/г и сравнить с 15.34.
1вз 7 В. М. Гвввцвве в цр. 15.33. Найти энергетический спектр заряженной дираковской частицы в однородном магнитном поле. 15.34. Найти в первом порядке теории возмущений дифференциальное сечение рассеяния дираковской частицы в кулоновском поле ядра с зарядом Уе. Ядро считать бесконечно тяжелым. Указание. Воспользоваться . теорией возмущений для переходов в непрерывном спектре под действием стационарного возмущения; см. также 15.37. 15.35. Найти в первом порядке теории возмущений энергетическую зависимость сечения рассеяния о(е) заряженной дираковской частицы во внешнем электростатическом поле Ав(г) при е- со.
Сравнить с результатом 15.18. 15.36. Найти функции Грина бц+„з (г, г') стационарного уравнения Дирака для свободной частицы при энергии е ) тсц, удовлетворяющие уравнению (Й вЂ” е) О, — = ( — исач + тсзр — е) О, = д (г — г') РЕШЕНИЯ Глава 1 ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ !.1. Все операторы кроме К ляяейные. Внд оператора Тд+ следует нз цепочки равенств ~ 'Р' (х) Т Ф (к) бх = ~ Ч." (к) Ф (х+ а) бх ~ 'Р' (х — а) Ф (к) дх дв ~ (Та+Ч (к)) Ф (х) бк (ннтегркрованне проводится в бесконечных пределах; прн преобразованнях нспользована соответствующая замена переменной ннтегрнровання). Отсюда Т+чг (х) =* !)г (х — а) Т „'Р (х), так что Т+ Т + + + Аналогячно находям: 1 Е Мд М!!д, Р, Р!з.
Так как оператор К нелинейный, тц цоннтне оператора Кд к нему непрнменнмо (такой оператор не существует). Все прнведенные операторы нмеют обратные: 7-! 7, т„-1-т „м 1-и!ы, к-1-!(, Р;,1-Ры. 1.2. Прн доказательстве следует учесть соотношення (Х+)' = Х н (РХ)+ = Х+Р+. 1.3. А = (Е+ Е+)/2, В = (Š— Е+)/2!. 1А. [А, ВС) = АВС вЂ” ВСА АВС вЂ” ВАС+ ВАС вЂ” ВСА = [А, В) С+ В[А, С].
Аналогнчно: [АВ, С) = А[В. С)+[А, С)В. 1.б. Нет, не могут. Взяв следи матрнц в обенх частях равенства РЦ вЂ” ОР= — !А! н учтя, что Зр (Рс)) Зр (с)Р), Зр 1 = А/ (Аà — ранг матрнцы)., прнходнм к протнворечню '). ') В случае )т = од протнворечня не возннкает ванду того, что Зр(РО)= од. !.б.
Записав (А — лВ) ~ Х лпсш умножил обе части равенства слева на (Л вЂ” ЬВ). Приравнивая в получающемся соотношении члены прн одинаковых степенях а, находим АСи+ ~ ВСи Са+! А ВСв, ЮЕ А так что искомое разложение имеет внд (А — дВ) '=А ~+дА 1ВА ~+ ... =А ~ йв(ВА ')". а 1.7. 1) Разложив экспоненту в ряд и учтя, что 7« = 1, находим ехр (!а!) = соз а + ! (Мп а) У. 2) Представив оператор в виде ряда, получаем ап д и и гва!и«Ч« (х) ~~~~ ~— ~ — ) Ч' (х)-"= ~Ч~~~ — Чг(п! (х) Чг(х + а).
Последнее равенство в этих соотношениях определяет разложение функции в ряд Тейлора. Таким образом, оператор ехр(ад/Нх) является оператором сдвига. 3) Рассмотрим денствие оператора Е ~ (1/л!)(охрах)и на одночлеи к'. Так как (Ы/дх)х« йк«, то (акЫ/Их)«х« (ай)"х' и соответственно Е,х« (г'х)«. Воспользовавшись разложением функции Ч'(х) в ряд Тейлора, получаем ВзЧ' (х) = Вэ ~ — к" = ~ — (еах)" = %' (езх), э~ й1 ь з так что рассматриваемый оператор с точностью до множителя ч/с совпадает с оператором измглгиих масштаба М„введенным в задаче !.1; при атом с е'.
1З. Перейдем к новой переменной у = у(х) согласно соотношению у = ~ у (х) Ых. При этом У(у(к)) = ехр(д/«(у), так Ь что рассматриваемый оператор является оператором сдвига на оу 1 вдоль «оснэ у (см. !.7), н поэтому Т(у(х)) Ч'(х) ехр Щбу) Ч'(х (у)) =Ч'(х(у+1)). где к(у) — обратная функция ло отношению к у(х). 195 В частных случаях имеем: а) у= (1/а)1пх, так что х =в'с н х(у+1) в'х; соответственно Т(ах) Ч!(х) = Ч'(в'Х) (сравнить с 1.7). б) х = аумз и Т(аз/йхз)гр(х) = Ч'((х'+ аз)мз) 1.9. Для доказательства следует разложить экспоненту вряд н после дифференцирования н взятия следа сравнить члены с одннаковымя степенями Л.
Прн этом, если операторы А н В не коммутируют, взятие следа является необходимым для апра. ведлнвостн рассматриваемого соотношения 1.10. Введем оператор ехр(Л(А+ В)) н запишем его в виде ехр (Л (А + В)) = ехр (ЛА) ехр (ЛВ) ехр ( — )Лзс/2) С (Л), (!) где С подлежит определению. Проднфференцнровав обе части (1) по Л н воспользовавшись' соотношением ехр (ЛА) В (В + )Лс) ехр (ЛА) (его легко установить, если разложить ехр(ЛА) в ряд и учесть, что (А,В) = !с), находим дС/Ж. = О, т. е. С от Л не зависит.
Положив Л = О в (1), получаем С = — 1 и нз (!) же при Л = 1 вытекает утверждение задачи, 1.П. Ь'(Ь, Ь') = Л'(Ь'. $). Записав действие оператора Яс на функцию Ч'(х) в виде МсЧг (х) = (/с!У (сх) = ч/с $ Ь (сх х') Ч' (х') дх', находим его ядро Мс (х, х') ч/с Ь (сх — «').
Аналогично получаем /(х, х') =Ь(х-1-х'); Та(х, х') = Ь(х — х'-1-а); Х (х, х') = хб (х — х'); Р (х, х') — )Ь дЬ (х — х')/дх. !А2. а) Имея в виду, что ядро оператора С = АВ равно С (х, х') = ~ А (х, х") В (х", х') дх", и учитывая внд ядра Х(х, х') = хб(х — х') оператора х, нз усло- вия Вх — хб = О находим (х' — х) В(х, х') О, так что Е.(х, х') =/(х) Ь(х — х'), (1) где /(х) — произвольная функция. б) Аналогично, нз условия Е!) †!)Е = О и вида ядра Р(х,х') = — гб д6(х — «')/дх следует (д/дх + д/дх') Ь (х, «') О,' так что Ь (х, х') у (х — х'), (2) где у(х) †так произвольная функция. 196 в) Соотношения (1) н (2) одновременно могут иметь место лишь при условии /(х) = Еэ сопз(; при этом Ь(х, х') Ьэб(х — х'). Оператор с таким ядром имеет вид Е ма (ч.
1.13. нормировка в.ф. на единицу дает )с) =(паз)-114; при этом бю(х) )Ч'(х))збх. По формуле (1.5) для средних находим: х хэ, хз = а /2+ хе, (Лх) ат/2, о= р, р =раз+ О /2пэ, (бр) б/2п'. 1.14. о) хз = х~ — а, рт = рн б) Вз = хь рз = Р~+ рэ, где индексы 1, 2 соответствуют средним значениям в состояниях с волновыми функциями Ч'ь з(х). 115. ЕХ+ = 1 Чг'2(.+ЧГдт= 1 (Е+ЧР) а+гу) дт)О 1.16.
Среднее значение днпольного момента системы М д = ~ Ч" (гг ..., г„) ~ е г Ч'(гг ..., г„) Цпзгз. (1) Ю а э Сделав замену переменных гд —— — г, имеем б = — ~ Чг' (- г!, ..., — г„) Х Х ~~! ЗатзЧ'( — Г!, ..., — Г„) ЦП~ГЗ. (2) а Ь вЂ” (аЧ'1 (х) + Рх%'( (х) /Ч"1 (х), Чг (х) С гхр ( — 1 ((!х — /)з/26(!) (и = сгй). Из (2) следует, что с.з. / — произвольные вешественные величины (Ьрн комплексных значениях/в.ф.
(2) возрастает (1) (2) 197 Так как по условию Чг( — гп ..., — гэ) РК(гп ..., г„), где I = ~1 — четность состояния, находим из (!) н (2)д= — б О. 1.17. Соотношение для оператора / вида А(/) = В(/), где А(х) и В(х) — некоторые функции г, приводят к аналогичному соотношению А(/О В(/,) для его с.з. Поэтому у оператора могут быть только такие с.зс а) /ьз = шс; б) /~ = О, /з —— с; з) /~ = О, /ха = ~с. Никаких других с. з. быть не может. 1.18.
Уравнение для с.ф. н с.з. оператора / и его решение имеют внд ва больших расстояниях; а и й — вещественные параметры), спектр — непрерывный и с.з. — невырожденные. С учетом Д1.1 условие нормировки Чг!. (х) Ч'1(х) г!х б(! — ! ) приводит к значению С (2па) ыз. Читателю предлагается показать полноту системы с.ф. (2). 119. Уравнение для с.ф. и с,зл ! (х) ~ !'(х') Ч'„(х') бх' - ~„Ч'„(х) имеет следующие решения.
1) Одна с. ф. Ч'з = С!(х) отвечает с з. 1з = ~ 1!*(х) (з г(х ) О. 2) Второе с. з. 7~ Π— бесконечно. кратно нырождениое. Ему отвечают с. ф. Чг,(х), обладающие свойством ) !" (х) Ч' (х) бх = О (т. е„как и должно быть, зтн фуккцни ортогональиы с.ф. Чгв отвечающей другому с.з.). Никаких других с. з, не существует.
1.29. С.ф. оператора !( — зто функции вида Ч'„е ~2(х) где я(х) — произвольная вещественная функция, а гс — любое вещественное число. Они соответствуют с. з. й„* е 1.21. Подействовав оператором Сг ам Д вЂ” )~) К вЂ” (з) ° ° (7— — !х) иа произвольную функцию Ч', получим 6Ч' О. Действительно, Ч' можно представить в виде суперпознцнн с.ф. Ч'1, а образующих полную систему: Ч' ~ саЧг( . а (! — !а) Ч'! О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
