Galitskii-1992 (1185113), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(1) Так как 'Усов нх со я~ убывает прн х -~ +ос (2-~0), то ре. щенке уравнения (1) следует выбрать в виде в (я) сР(ма+ 1/2 — эр/2, ! + 2иа, я). (2) Условие убывания Ч'(х) прн х-ь — сс (я-~-+ос) требует, чтобы функции г"(а, р,х) в (2) сводилась к полииому, что определяет с) См. (34,35). спектр: а леала + 1/2 — Ь))(2 =а — л, л = О, 1, ..., !Ьр(2 — 1/2), илн ' Е о — ' — ' = — ~ 'Мтабаа У'~П~ — г(л+'1(2)1 ° л ' ЯШ вЂ” Яаюз).ЧГ Если параметры е и р выбрать равными а — 1/2+ о/1/4+ к~~а~, р = о((м + и! — м~~) а, то (1) приводится к гипергеометрическому уравнению я (! — х) в" + [Яр + 1 — (2р — Яе + 1) а)'в' — . — (р + м,а — Яар.— е — и а ~ в =0 (2) с параметрамн а=р — в+ма, ))=р — е — ка, у=!+2р, Так как Ч'(х) при х'-ь'— 'оо (а-ьО) .имеат вид Чгооавх/о то решение . уравнения (2) следует выбрать в, виде '= сР(а, О, у, я).
Соответственно Чг = с (1 — а) е явр(а 11 .уг а) Отсюда при я (и х)-ь+оо имеем а+в / Г(у) Г(р — а) „+ 1 Г(О) Г(у— Г(у) Г(а — р) " р~ Г (а) Г (у — р) (4) 216 При этом условне Ч(шйзазУо/Яйа = (Ьà — 1/2) определяет значения параметров потенциала, соответствуюшие появлению нового, /(/-го по счету уровня д.с. при углублении потенциальной ямы.
2.10, Состояния д.с. могут быть лишь при У, ) Уг/2 (иначе потенциал не имеет минимума), причем для значений Е ( ( ш!п(0, У~ — Уз)..У.Ш. пРинимает внд (и! я 'ЯлзУ~ з(Д' и = ( — Ягл л/Дз) !/т) яав г + ~, + (2$$ + 1) 21 в + е (е + 1) а — и!ат (2ер + а) з + мяа + и'а'+ )тз1'в = О. (1 — х)' 1 — я (1) Так как я з+" 8 =енх возрастает при х-ь+еч, то необходимо потребовать-э) выполнения условия га = — а, и — целое, которое фактически определяет энергетический спектр йэ ч/:е„+ч/У, — У,— е„= ~/У,+ —— 8та' / йэ — Ч/ — (а+ — ), а= О, 1, .
(5) 1/ 2таз (, 2)' Анализ спектра предлагается для самостоятельного исследования. Отметим з заключение, что при У~ = Уэ — = Уе рассмотренный потенциал переходит в У = — У,/(4 АР(х/2а) ); см. (1, с. 98) 2.!1. Стационарные состояния имеют определенную четиость. В. ф. четных уровней при 0 <)х) ( а имеют' внд Ч'+ = = А з!п(й()х( — а)) (учтено граничное условие Чг(а) = 0), где Ф = Ч/2тЕ/це > О. Условия сшивания в, ф в точке х = О (см. формулы (2) из 2.6) приводят к соотношению, определяющему спектр четных уровней — !8 йа = йа/Ь $ = тпа/Аз.
(1) Прн $ ~ 1 для нижних уровней (таких, что йа «С) в правой части (1) стоит малая величина. Поэтому й,а пп — е, где е «1, а и = 1, 2, ... — порядковый номер корня (и четного уровня); согласно (!) находим з!ылп/я, так что йэпзвэ Е+ лз — (! — 2/я) 2таз (нндекс (+) указывает на четность уровня). Для нечетных уровней в. ф.
имеет вид Ч'- = Вз!пух и условие Ч'-(а) = 0 определяет их спектр: Е„= й и а/2та, а= 1, 2, ... (в нечетных состояниях частица не чувствует наличия б-потенциала) . Сравнение Е,+, и Е„подтверждает указанный в условии задачи характер нижней части спектра. Спектр четных уровней в области знергий йа Ъ и легко найти из (1), положив й„а = (и — 1/2)п+ е, е «1: Е~ч- йэ 2 (2 1)2/8 ~э + /2 (2) ') При этом Г(сс) = ее и второе слагаемое в (4), возрастающее при х-~.+ча, обращается в нуль; услоние у — () = — и не может реализоваться. )а)Ш(й()1~ммврвоа ллагавмое соответствует спектру четных уровней в бесконечно глубокой яме ширины 2а, второе — смешеныю их "чызшаайвтвием потенциала аб(я). Заметам, что в случае а ) О в каждой паре близких уровней нижним является четный, прн этом ЬЕз Еа Ел м~ (2йз/таа) Еви > О, В случае а ( О ситуация иная: теперь четный уровень является уже верхним.
Однако в этом случае в нижней части спектра в дополнение к описанной картине пар близко расположенных уровней появляется еще один четный уровень с энергией Ее+- ~ — Л мо/йт ы в ф. 'ро т 1/ма ехр ( — мз ! х ) ), где и»- т )а )/Лз. Этот уровень соответствует частице, «связываемой» б.ямой, У вЂ (а!Ь(х), сравнить с 2.7 (при этом наличие непроницаемых потенциальных стенок прн к ~а кривпднт к некоторому смещеныю такого «б-ямного» уровня вверх, найти его предлагается читателю самостоятельно).
2.12. Решение у. Ш имеет выд Ч' = Аз!пй(к+а) прн — а ~ з~ к С О н Ч' ° В з)п й(к — Ь) при О ( к С Ь, где й 1/2т))/Лу ы учтены граничные условия Ч'( — а) Ч" (Ь) О. Сшнванне решений прн я О (см. формулы (1, 2) ыз 2.8) приводит к соотношениям Аз!пйа — Вз!пйЬ, В созйЬ вЂ” Асозйа — Аз)пйа, 2та йй* из которых следует уравнение для спектра энергетических уровней частицы: з)п й (а + Ь) — (2л»а/йй*) з!п йа ° з!п йЬ (1) (прн Ь = а оио переходит в формулу (1) из 2.11). Отметим некоторые свойства спектра.
1) В области значений Е, для которых та/ЬЛ» а: 1, правая часть (1) мала н поэтому й,(а+ Ь) яни(а+1), как и при «свободном» движении частицы в яме шириной (а+Ь) (читателю предлагается уточнить результат, найдя сдвиги таких уровней под влиянием б-потенциала, сравнить с формулой (2) из 2.1!). 2) В противоположном случае, когда та/ййз .и 1, произведение синусов в (1) мало, так что либо й„,яка(л, +1)/а, либо й„, и (л + 1)/Ь, При этом спектр представляет наложение спектров, соответствующих независимому движению частицы в ямах шириной а н Ь (б-потенциал выступает как малопроницаемая «перегородка»). 218 2.13. При достаточно быстром ° ) убывании (/(х) у.Ш.
и его решение при х-»а»о принимают вид: Ч"» = О, Ч' А»+В и, т. е. решение является, вообще говоря, возрастающим. При произвольных значениях параметров потенциала ие существует решения у.Ш., которое не возрастало бы кан при х-»+со, так и при к-» — »» (точно так же, как не существует убывающего одновременно прн х -» ~»» решения у. Ш, при произвольном Е ( О). Такие решения существуют только при избранных значениях параметров потенциала, отвечающих условиям появления новых (по счету) состояний д.с.
при углублении потенциальной ямы. Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим самый верхний уровень Е„д. с. Его в. ф. Ч'„со ехр( — м(к() при х-ьш»», где м=й/2ш)Е»(/Яз. При уменьшении глубины ямы все уровни смещаются вверх и при иеноторых значениях параметров поля самый верхний иэ них принимает значение Е„= О, прн этом его н. ф. Ч'„ = сопэ1 прн х-» ~»», а число нулей в. ф. равно числу имеющихся состояний д.
с. с Е ( О. В качестве иллюстрации рассмотрим свободную частицу. У.Ш. имеет ограниченное решение Чге-э сопэ1, у которого отсутствуют нули. В соответствии с вышесказанным сколь угодно мелкая яма уже связывает частицу (сравнить с 2.3) и возникающее состояние д.с. является первым по счету. а) Найдем сначала условие появления нового по счету состояния д.с. при углублении ямы, Не возрастающее при к — » ~со решение у.Ш. с Е О ямеет вид: Ч'=Л при х(0; Ч' — в <1*+»» й *«и -..
>,й- %»Ж Чг = С при к ) а. Непрерывность в.ф. н ее производной в точках О и а дают: Л В; 6 = О; уа пл, где я — целое; С = =( — 1) "В. Эта в.ф. имеет л нулей (аргумент косинуса изменяется от О до яа), так что условие уа пл является условием появления (а+1)-го уровня. Отсюда следует, что число существующих в яме состояний д. с. №, определяется условием уа/я ( №» ( уа/и + 1. б) При О ( таа/Яэ ( 1 — одно связанное состояние, ирн глаа/Яз ) 1 — два.
') Требуется, чтобы потенциал убывал быстрее, чем»о 1/хэ. В случае потенциала притяжения со степенным убыванием, (/ аэ яи — а/х* при к-, с э ( 2, решение у. Ш. для Е = О имеет совершенно иную асимптотику, сравнить с 9.9 и 9.14. Физическая причина отмечекиого различия состоит в том, что прн медленном убывании потенциала притяжения число существующих в нем состояний д.с. бесконечно велико за счет сгущения уровней при Е О.
219 2.14. и) и ~ ч/2тУэоэ/йч — !/2 < й(св<и ~ (/2глУэаэ/йэ+1/21 б) единственное связанное состояние появляется прн таа/йэ ) 1/2. 2.15. Состояниям д.с. отвечают Е < Уэ. Условие появления новых (илн первого) состояний д.с. прн углублении ямы можно получить из условия существования не возрастающего при х-~- -~-~со решения у.
Ш. с Е = У, (сравнить с 2.13). Оно имеет вид 12 42лгУапэ/йэ = ч/У,/Уа — 1, причем порядковый номер У уровня определяется условием (й/ — 312) гс < ч/2тУ,а'/йэ < (г/ — 1/2) и. Соответственно условие существования связанных состонний ') /2глл~иэ/й~ Р агс(й Ч/(У, — У,)/У,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
