Galitskii-1992 (1185113), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Обозначив Сл (р') = (а!гид) ~ 6, (р", р ) др-, (2) получаем из (!) 6иж = )5 (р — р') — Сй (р') ) (р )2т — (Е ~ (у)) !. (3) Проинтегрировав это выражение по р в бесконечных пределах и учтя (2), находим явный вид функции Си (р'), а с нею и функцию Грина частицы: 5 (р — р') 6н (р р ) = рз(2 — Е ~;; а ц/2ттдзЕ (4) 2айКйтйзЕ ~ (та) (рз)2т — Е ч- !у) (р'~12т — Е ~ (у) йз дз йуз ууз = — +— 2т дуэ 2 коммутируют друг с другом и с гамичьтонианом плоского осциллятора, равным Н = Н~+ Нз, то с.ф. В могут быть выбраны также собственными фуакциями В~ и Нз.
Учитывая это обстоятельство и известное решевие у. Ш. для линейного осциллятора, см. (П.2), находим уровни энергии и с.ф. плоского осциллятора в виде (см. также 10.25): йтт(х, у) 2"„',ц(х)2„,и(у)! Е, йы(й(+1), й(=0, 1,. 241 Отметим, что 6нх(р, р') можно было бы найти и по функции 6н (х, х') из 2.45 переходом к импульсноыу представлению согласно 1.41. 2.48. Так как операторы Ьз дз йхэ Н, = — — —.!.—, 2т дхз 2 где е= (/Й/т, М и~+иэ1 л1 О, 1, 2, ..., иэ — — О, 1, 2, Так как уровню Е» с данным значением М отвечают (М+1) независимые с.
ф. трл,л, с л~ = О, 1... М (при этом лэ —— = М вЂ” л1), то оп является (М+ 1)-кратно вырожденным. 2.49. Запишем потенциал в виде У = Й,(я+у)'/4+ Й,(х— — у)э/4, где Йь э = Й а ) О. Если теперь перейти к новым переменным х~ = (х+ у)/1/2 и у| — — ( — х+у)/й/2 (поворот на и/4 в плоскости (ху)), то гамильтоииан примет вид суммы гамильтонианов двух независимых осцилляторов: Я' дэ Й~ з 6' д' Й Й= — — — + — х, — — — + — узп 2гл дхз1 2 2т дуэ1 2 Соответственно энергетический спектр системы имеет вид р„,„,-алгх г ь,~.чч~-аль — э [ч;~гч; лцэ —— О, 1, а с. ф., отвечающие этим уровням, очевидным образом ныражаются через с.ф.
линейного осциллятора (сравнить с предыдущей задачей). Читателю предлагается обсудить свойства нижней части спектра в случае (сс( « Й (см, по этому поводу 84 и 05]. 2.50. Положив у, = х,/т, у, = хь где о = Ч/т/Й4, получим Йэ дз Йэ дэ Й Н = — — — — — — + — (у~у~~ + уз) + пэ/у, у, 2т ду 2т ду 2 Путем поворота координатных осей в плоскости (у~уз) потек. циал в этом гамильтониане может быть приведен к диагональному виду У = Й15~~/2 + Йзузз/2.
Для определения Йь э заметим, что если записать потенциал как У = Йыугул/2, то при повороте системы координат величйны Йм преобразуются как компоненты тензора. В исходной системе координат Йп = у'Й, Йээ = Й, Йо = г Р = Йэ| = ссу, а в повеРнутой Йы — — Йп Йэз — — Йз, Й1з = Йз1 О.
Учитывая инвариантность при вращении следа тензора и детерминащ.а матрицы, составленной из его компонент, имеем Йы — — Й1+ Йз — — Й (1+ Уэ), дет)) Йга (( = ЙЙ = (Йэ - пт) Уэ. Отсюда ь, ° =ь'-~ э~*та=те е+ль г1. В новых переменных Уь э гамильтониан принимает вид суммы гамильтонианов двух независимых осцилляторов, что позволяет 242 сразу определить его спектр: Еп,п —— й Т!Гй~/т (л! + 1/2) + М ~/й~/т (пз + 1/2)! и!, лз — — О, 1,2...
Читателю предлагается рассмотреть свойства спектра в случае М » ги (см. по этому поводу 8.59). 2Л1. У.Ш. при х, < хз (считаем, что 1-я частица — слева от 2-й, так что Ч'(х!, хз) = О при х, ) хз) имеет внд (Й(1)+ Й(2)) !Г= ЕЧг, где Й=йз/2т+ У (х)— одночастнчный гамнльтониан. рассмотрим теперь функцию Чг(х!, х!), равную Ч" (хи ха) при т, < х, и — Ч'(хз, х,) при х!> хз (Ч' представляет антяснмметричное продолжение Ч" яа область х! ) х ).
Так как она непрерывна в точках х, = х, и имеет при этом непрерывные производные'), то Ч" удовлетворяет указанному у. Ш. уже прн всех значениях .хь хз (для симметричного продолжения производная в точках х, = х! имеет скачок и такое утверждение не справедливо). Его обшее решение очевидно: '1'п,п, Ч'п! (х!) Чп!(хз) Еи,п, = Еп, + Е~ где Е„, Чг,(х) — спектр и с. ф. одночастичного гамнльтониана. При этом антисимметричный характер рассматриваемых в. ф. Ч' требует выбора их в виде Чги!и! = = (Чти (х!) Ч'п,(хз) — Ч'п (х!) Ч'п (хз)) и накладывает ограничения на ль з.
и, Ф и!. Таким образом, Чти п = (Чти (х!)Чги ( ) 1и (х!)Чгп, (~з)! Еип = п + Ел л1 < лз (х! < хз). При этом энергетический уровень является двукратно вырожденным: второе независимое решение у. Ш. соответствует ситуации, когда 1-я частица находится справа от 2-й. 2.52. Энергетический спектр системы описывается выражением Ф Еи и 5 Еп, причем л!<и «...ли. а=! Вид с.ф, читателю предлагается обсудить самостоятельно. з) Непрерывность производных Чг по хоз в точках х! = хз следует из дифференцирования соотношения Чг(х, х) = О.
243 2.63. Общее решение у. Ш, при н ( х/а ((и+ 1) имеет внд Ч' Ая ехр (й (х — аа)) + Ви ехр ( — й (х — па)), (1) где й й/йшЕ/Д РассматРиваЯ независимые Решениа, Удовлетворяющие условию Ч'(к+а) )ьЧ" (х), получаем А„, =А„)р, В„, =В„)р, (2) В то же время сшивание решения в точке х = па (согласно 2.6) приводит к соотношениям А„+ В„= ехр (йа) А„, + ехр ( — йа) В„ (1+ 2)ша/Ятй) А„— (1 — йппа)йай) В„= (3) = ехр (йа) А, — ехр ( — йа) В Исключив отсюда А, ь В, с помощью (2), получаем систему двух линейных относительно А „В„уравнений. Условие существования нетривиального решения системы дает рз — 2Р( (Е) + 1 = О, / (Е) = соз йа+ (та)йэй) з!п йа, (4) В„= (р — ехр (йа)) (ехр ( — йа) — р) ! А„, (5) Отсюда ри а =1(Е) ш Д)т (Е) — 1. (6) При любом фиксированном Е (6) определяет два значения р, соответствующие двум независимым решениям у.
Ш., при этом р,.рз — — 1. При )т(Е)) ! оба значения р вещественны. При этом оба решения у,Ш. возрастают на больших расстояниях (отвечающее р~ ) ! — при х-ь+оо, а ре (! — прн х-е — со), так что они не соответствуют физически реализуемым состояниям частицы, Последним отвечают значения Е, для которых ) )т ~ = 1, т. е. )т(Е) ( 1, или — 1 ~ (соз йа+ (гиа/Я~й) з!и йа ~ (1.
(у) Таким образом допустимые значения Е образуют зоны, Если положить ~е) р ем", где — н ( ца ( и, яд — так называемый кэазиимпульс (не путать с Яй)), то согласно (4) уравнение для определении зависимости Е (4) принимает вид (и+ 1 — номер зоны, см. рнс. 3! для а ) 0) сезон созоуйо!а Е„(Я~+та 12тй Еи) ! з)по~2та~ви)Я~.
(8) 'э) Решения у.Ш., отвечающие определенному нваэимпульсу, называют функциями Блоха. Отметим свойства спектра и), следующие из (8). 1) Зависимость Е,(4) от д является четной, так что состояния, различающиеся знаком квазиимпульса, являются двумя независимыми состояниями, соответствующими двукратно вырожденному уровню Е (4).
/(Е) Рвс. 31 2) Зоны не перекрываются. При сг > О все онн расположены в области Е, > О, причем пп <йва <(и+ 1)п, а = 0,1,... При лгаа/((п.~-1)йт) 3» 1 зоны узки, с увеличением п их ширина увеличивается н прн таа/(и+ 1)дз < 1 они почти полностью занимают указанный выше интервал. При изменении знака с» нижняя зона опускается в область Е < О (прн этом з — мнимая величина). 3) Прн значениях энергии, близких к границам зоны (при щ — — О и дз = ч-и/а), зависимость Е„(д) является параболической, т.
е. Е„ (д) — Е (и з) сс (з — д ) (сравнить с 8.32). В заключение отметим, что с. ф. гамильтопиана в данной задаче не нормируемы на 1, так что локализованные стационарныс состояния частицы в периодическом потенциале отсутствуют, в. ф. (1), (2) соответствует частице, «свободно» (т. е. без отражений) движущейся по кристаллу с квазиимпульсом 34. 2Л4. Разрешенные зоны энергий, найденные в предыдущей задаче, являются разрешеннымн и в условиях данной задачи.
Лействительно, произвольное решение у.Ш. для значений энергии Е,(д) нз разрешенных зон как при х > О, так и при х < 0 и) См. задачу 8.32, в которой более подробно обсуждается случай слабого поля, тгха/йт<,1. сводится к некоторой суперпозицин двух независимых решений в строго периодическом потенциале, отвечающих определенным квазиимпульсам ~йд и не возрастающих при х-ь шсо. Отличие от случая строго периодического потенциала состоит лишь в том, что теперь независимые решения у. Ш. уже не отвечают определенному значению квазиимпульса (наглядно: происходит рассеяние — изменение квазиимпульса — частицы на дефекте решетки).
При этом двукратное вырождение уровней сохраняется Кроме этого, появляются новые разрешенныс значения энергии, соответствующие локализованным вблизи дефекта состояниям частицы. Для их определения рассмотрим решения у.Ш., отвечающие определенной четности (относительно отражения к -ь — х). Для четных решений при (х) ( а имеем Чгд = С соз йх.
В то же время при х О решение у.Ш. должно совпадать с репением у. Ш. в периодическом потенциале, удовлетворяющим условию Ч'(х+ а) = рЧ" (х) с р < 1 (другому независимому решению отвечает р' = р ' ) 1, такое решение возрастает при х — ~ -ь +со). Это решение при и < х/а ((и+!) имеет вид [й = = Ч/2тшЕ/йз) Чгт = р" [А соз й (х — па) + В з)п й (х — па)). (1) Из условия его совпадения с Ч"~ф (х) при О ( х ( а находим А = С, В = О, а сшиваиие решения (1) в точке х = а (согласно 2.6) приводит к соотношениям йа з(п йа = (2таа/йз) соз йа, (2) йа =)з, второе из которых определяет искомые четные уровни. Отметим свойства спектра этих уровней.
1) Уровни — дискретные, число их бесконечно. 2) Уровни расположеаы по одному между соседними зонами непрерывного спектра, и в случае а ) О самый нижний .из них лел ит ниже основной зоны. 3) По мере увеличения энергии уровня, как видно из (2), имеем р -ь!. При этом область локализации частицы вблизи дефекта неограниченно увеличивается; для нормированной на епиннцу в. ф. уровня С = (1 — рз) [а (1+ (з(п 2йа)/2йа)) В связи с этим отметим, что в случае таа/йз ~ 1 в. ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
