Galitskii-1992 (1185113), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Учитывая (3), находим окончательное выражение (Е = (,.(-),): с у и г (21,)! (2!з)! (Е+ М)! (Š— М)! ~!/з ! т ! ан (. (2ь)! (1~ + щ~)! ((~ — щ~)! ()э+ щз)! (! — щз)! Д 3.39. Коэффициенты Клебша — Гордана для этого случая следуют из результата задачи 3.34. Положив там С~ = (2! + + !) — нз, находим СО. О С ( 1)! — га (2! + 1)- !/з 3.40. Рассматриваемые тензорные операторы после усредне.
ния становятся операторами, действующими в пространстве векторов состояний с моментом У. Любой такой оператор должен выражаться через векторный оператор У; и универсальные тензоры бм и е м. При этан условие одинакового тензорного характера исходного и усредненного операторов существенно ограничивает внд таких выражений. а) ), .; =а, У (векторы-вида УаУ У, ещ У У и т. д., как это следует из коммутационных соотношений для компонент У, сводятся к у.), умножив на у., находим') апз~ = и !)' ! = (Пм>У)/У(У+ 1); здесь и ниже ради краткости записи скалярные произведения ()пмУ) н Щз), имевшие определенные значения одновременно с )!, )м У, в явном виде не расписываются, з з 2 см.
3.27. б) Ввиду антиснмметричного характера тепзора имеем )ы)зл Х!а!3! Ье!а!Ум Умножив обе части этого равенства справа на У и слева на Ус, находим, что при этом левая часть оказывается равной нулю, а правая принимает вид Ье~мУАУ« = — ь((У+ !)Ь, так что Ь = О. в) Ввиду симметричности тензора имеем + У ! = А!Ь + МА Уа+ УЬУ ). (2) Первый раз, свернув по индексам ! и Ь, а второй — умножив обе части (2) справа на Уз и слева на У; и воспользовавшись з) умножение на уы(или ! ) лишено смысла, так как операторы )Ы „ в отличие от У, «перепутываютэ состояния с разлячнымн зиаченнямй У.
,263 равенством /г/ь)г/а =/2(У+1)2 — /(/+ 1), получаем два соотношения ЗА! + 2/ (/+ 1) Аз = 2 () !) 2), / (/+ 1) А, + / (/ + 1) (2/2 + 2/ — 1) Ая = 2 () !у) ()2!). Отсюда (4/а+ 4/ — 2) ()!)2) — 4 ()гу) ()23) (2/ — 1) (21 + 3) 6 Оь)) ()е)) — 2/ (/+ 1) ()!)2) 1 (Х+ 1) (2/ — 1) (2У+ 3) (3) г) Поступая как и в предыдущем случае, находим /ы/ш + /,ьгы = В,бг, + В, (/,7ь+ /ь/г), /, (/! + 1) (4/2+ 4/ 2) 4 () !Я)з + 2 () !!) (2/ — !) (2/ + 3) В 6()!Л)2 — 2/! (/! + 1) /(/+ 1) — 3()гЛ) (4) Х (/ + 1) (2/ — 1)(2/ + 3) При выводе (4) было использоваво равенство 2 /ГГ1(2)Ь/! (2) !" а ()!(2)з) (!! !2)з) Для оператора магнитного момента совокупной системы имеем р (/) = а!) + 22) з и согласна результату пункта а) получаем выражение )1 (/) — = 2 (/) г = (И! +к!) /(/+ 1) +(к! кз)(/1 О! + 1) /2(!2+ 1)) 2/ (/ + 1) 3.41.
Рассмотрим в.ф. вида 'хг —— в, „хгхь ... х„ме вгь „п,па ... п„г, Учитывая связь оператора 1 с лапласианом 2 2 2 ч ' (~ ~)' д 2 д находим гздгЧ' = гав!а „пгпа ... ппдгг !(/+ ЦЧ'г, дфг — — (д/дх ) (д/дх,„) вгь ах!хаял... х„ =*егер „(бгмбг, х ... х„+ ...) = в ю „хр ... х„+... 6, Из (1) и (2) следует (а«йг =1(1+1)'К (очевидно, в.ф. Чгь указанная в условия задачи, также является с. ф. Р). Сначала найдем число независимых компонент д(1) у симметричного по любой паре индексов тензора ем, ранга 1. Обозначим; пг — число индексов некоторой компоненты этого тензара, равных 1, пэ — равных 2 и и, =(1 — и, — пэ) — равных 3. В силу симметрии тензора его компоненты с одинаковыми числами и, и и, равны.
При фиксированном значении пг число пэ может быть равным О, 1, ..., 1 — пь так что число различных компонент при данном и, равно (1 — и, + 1). Обшее числа различных компонент Д(1)= 7 (1 — и, +!) =(1+ !)' — ) пг = (1+ 1) (1 + 2) 2 п,-а в,=о Число жс независимых компонент д(1) у симметричного тензора ранга 1 с равным нулю следом вытекает из того, что равенство е нк . = О представляег совокупность из д(1 в 2) линейных соотношений между компонентами е,« . «, так что 3(1) = = а (1) К(1 — 2) = 21+ 1. Из сравнения выражения Чгг.—..з,„= (е(т)п) с (П1.7) находим е(О) =Ь/3/4п(О, О, 1), е(ь1) = П/3/Ьп(тиг, 1, О).
(3) Аналогично, в случае 1 = 2 находим компоненты тензора згь(пт): 1 / 13 /'. а (2) — ,ьмг — 1 гл '7 32п ~ О О О Е (!)= т/ — ! О )г 32п ~ 1 1 О /!б / = 'Ч !Еи ~ О О (4) О вгь ( — 1) — вгь (1), О вгл ( — 2) = вть (2). 3.42. а) Так как а * ( еп ( в1еьпгпь и ~ пгп г(ьг = 4пбгь/3, то для нормировки в.
ф. на 1 следует выбрать е = ь/3/4п а, где и) 1. б) пгпа агап ~ пгпгпьппбй = 4п 1 ° ° — ~1 "» 13 (Ьгьбгп+ Ьгпды + О!!был) — (бгь+ 'згиа + пал!>. в) Так как !%гг,= — (а „хад/дх„[в х /г) — !в, „а„п, то ° Г * 1! — — — /агапе,„вя ~ пюиэ б() — 1вгь„алая, т. е. 1 = — 1[а а), или, положив а = а~+ !аэ (аьэ — вещественные векторы, причем а! + аз — — 1), Т= 2 [а!аз!. 2 3 г) Имея в виду, что е=1/3/4п(а, +!а,), легко сообразить, что в случае если айат, проекция момента на ось, направленную вдоль а~ э, имеет определенное значение пй = О; если же а;.1 аэ и прн этом а, = а„та проекция момента на ось, направленную вдоль вектора [а~аз), имеет определенное значение т = = + 1 (и т = — 1 на противоположное направление).
3.43. Записав в.ф. в виде тр = д/3/4п(ап), [а[э = 1, имеем ю (т = О) = [ (ап,) [э, ю (гл = лп 1) = [(ап ~) ч- 1 (а [пэп,] ) [э/2. (1) Здесь п~ — единичвый вещественный вектор, перпендикулярный пр (выбор п~ неоднозначен, однако от конкретного его выбора значения выражений (1) не зависят). Записав а = а, + гаь где аь э — вещественные векторы, замечаем, что вероятность значения проекции т = О на ось, направленную вдоль вектора [а,аэ[ равна нулю. Если а~!~аэ, то проекция момента на любую ость перпендикулярную аь не может принимать значения и = О. 3.44.
Действие оператора 1~ = — 1ем.х,д/дх„на в. ф. вида Ч" = (ап) дает гб /!ту= 1га и = — гв и и — Ь и, что эквивалентно соотношению Ьг, э = аль — = — !ем а в векторном представлении, и если в этом представлении записывать та~ ~ в.ф. в виде столбца Чг =~ аэ ), то операторами компонент пз момента ЯвлЯютсЯ матРицы / с элементами (11) „= — )а ап Рх= О О -г, Р„= О О О, /х= г О О Легко убедиться, что коммутационные соотношения для этик матриц имеют стандартную форму, т.
е, [1п !а! = !в 11, а матрица !э равна 1э= 2 ° ( (1 — единичная матрица). Вид унитарной матрицы О, связывающей векторное и 1;представления: аа = У с , читателю предлагается найти самостоятельно. Йгл лг' 3.45. а) Наиболее общий вид угловой зависимости в.ф, следующий: Ч'=ампипзы где п~ — — г~/гь па =гг/гь ам — произвольный тензор второго ранга, имеющий девять независимых компонент, что соответствует девяти независимым состояниям системы из двух частиц с моментами !, = !з = 1. б) Представив теиэор аы в виде а, =а„„б, /3+(а,— аэ!)/2+(аг +а г — з/,а Ь,э)/2, (1) запишем указанную выше в.
ф. следующим образом: Чг = С (п!пз) + е (п!п ] + е,ьпып ь, (2) где С = пэ„/3, е ь ]а!, + а„г — '/заанб,ь]гй, 2е, = ег агэ, а,„— а, = 2аные! (ем — симметричный тензор с равным нулю следом) Имея в виду результат задачи 3.4!, нетрудно сообразить, что запись в. ф. в форме (2) является представлением ее в виде трех слагаемых, каждое из которых отвечает определенному значению суммарного момента системы Ь = О, 1, 2 соответственно, При этом выражение для Ч'с=а = С(п~пз) согласуется, естественно, с результатом 3.34 для ! = 1. в) Для того чтобы в.
ф. 'Рг в (2) отвечали состояниям с определенным значением М проекции суммарного момента ва ось з, компоненты вектора е;(М) и тензора еы(М) должны быть выбраны в виде, установленном в задаче 3.4!. В частности, в. ф. Ч",, з при зтам оказывается имеющей вид / 15 Ч'з, з —, ч/ — з!и О~ з!п О е е'е еч = Ъ 32п = )/~О /3У„(вь ф ) У„(8,, фз) т. е. действительно является с. ф, (ненормиронаннай) операторов Т.э и йп отвечающей с.з. С = 2 н М = 2. ЗА8. Условия 1~ — — 1 и Л = 0 однозаачно определяют зависимость в.ф.
от угловых переменных первой частицы в виде Ч." со (п,п,), где п~ = г~/г~ и пз = гэ/гз (сравнить с 3.18; при этом следует учесть, что проекция Л суммарного момента на направление радиуса-вектора гэ полностью определяется проекцией момента толька первой частицы, так как пз1з — 0). Так как (папа) является скаляром, как и в. ф.
состояния с / = О, то Ч"заа = — сова!(п~пз). В. ф. состояния с / = 1 представляет линейную комбинацию компонент вектора, зависящего только от и, и пэ (сравнить с 3.41), При !~ = 1 и Л = 0 единственным таким вектором '267 является ч = А(п,пр)пр. Составляя из его компонент линейные комбинации, отвечающие пРоекциЯ момента Ум находим Чгрг — — С (п,п ) У, (пг) (Угг — шаровые функции).
В.ф. (1) имеет определенную четность, равную — 1, и, как нетрудно сообразить, описывает состояние, в котором момент второй частицы может принимать лишь два значения: О и 2. Обобщение выражения (1) на случай произвольных значений !ь У, Хр и Л = О имеет внд Ч'гг р — — СР, (п!пг) Угу (пг), (2) где Рр(з) — полинам Лежандра. 3.47.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
