Galitskii-1992 (1185113), страница 43
Текст из файла (страница 43)
нижних таких уровней Е, (з = 0,1, ...) с з « таа/йз локализованы в области [х[ ~ а (при этом р << 1) и близки к в. ф. стацио. парных состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины 2а. Что же касается «новых» нечетных уровней, то в условиях данной задачи они отсутствуют (здесь проявлиется специфика «одноцентрового» потенциала в виде б-функции).
2.55. Независимые решения у. Ш, при х < О, где частица свободная, известны. В области же х ) О два независимых решения у. Ш. для любого значения Е обладают свойством Ч"ь з(х+ а) = р, »Ч'ь з(х), причем р~ рз = 1. При этом для значений энергии Е (й) из разрешенных зон в беснонечном кристалле (см. 2.53) оба эти решения не возрастают при х-»-(-о», а для остальных значений Е вевозрастающим является только одно: с р~ < 1 (опо убывает при х — »+со).
Имен в виду этн замечания, легко сделать суждения о характере спектра частицы. !) Прн Е ) !/з спектр непрерывен. При этом значения энергии, принадлежашие разрешенным зонам бесконечного кристалла, двукратно вырождсны (в соответствующих состояниях частица «свободно» движется по всему пространству, с некоторой вероятностью отражаясь от границы кристалла). Остальные зна. чення невырожденные, при этом в. ф. убывает в глубь кристалла (частицы с такой энергией полностью отражаютси от кристалла). 2) При Е < Уз спектр имеет такую же зонную структуру, как н в случае бесконечного кристалла.
При этом уровни уже певырожденные; в. ф. убывает с увеличением расстояния от кристалла, а при х ) О представляет определенную суперпозицию состояний со значениями квазиимпульса ~йл (частица с такой энергисй движется внутри кристалла, отражаясь от его границы). 3) Кроме этого, прн Е < У» могут сушествовать изолированные уровни, которым отнечают состояния частицы, локализованные вблизи границы кристалла. Для их нахождения рассмотрим решение у.
Ш., убывающее при х-» -~-са. При х < О оно имеет ввд Чг = Се"", где и= ~/2т (У вЂ” Е)/й', а пйи х > О для значений и < х/а <(и+!) его можно записать в виде Ч" = Ар" з1п [й (х — аа) + й], й = «/2тЕ/йз, ] р] < 1. (1) Сшивание решения в точках х = О и х = а приводит к соотно- шениям Аз!и 5= 1, йАсозй =н! з1п (йа+ й) =рз!пб, рй соз б — й соз (йа + 6) = (2та/йз) р з(п б (для удобства положено С = 1).
Отсюда йа соз йа = (з!и йа) ]Уоп/а — )/2гл (Уо — Е) а~/йз] (2) р = (У»а/айа) з!и йа. 247 Уравнение (2) определяет спектр рассматриваемых состояний; число уровней зависит от параметров потенциала (их может не быть вообще). Они расположены между зонами разре.
шенных энергий для бесконечного кристалла. При изменении параметров потенциала положение таких уровней также изменяется. При этом может происходить как появление новых связанных состояний, так и исчезновение уже существующих за счет ухода уровня в ближайшую зону (состояние делокализуется). Предоставляя читателю дальнейший анализ спектра, следующего из (2), ограничимся для иллюстрации рассмотрением одяого частного случая, когда сгз» йт/таз и а ( О (кристалл нз б-ям), причем та'!и. (/Аз 1. При этом в области энергий Е~(!з нз (2) следует, что йа = ля+ е, где л = 1,2, ..., а (е( М: 1, причем е яв ппа/(!са, Для таких уровней (существующих между каждыми соседними зонами) р = соз йа + у/((!з — Е)/Е Ип йо ив ( — 1) (1+ а (/2лт/й ()~), так что (р ( < 1 (при этом (р ( яз 1, т.
е. область локализации состояния простирается далеко в глубь кристалла), В случае я ) О в этой области энергий связанных состояний нет ((р( ) ! для решений уравнения (2)). Хотя такие состояния и появляются по мере увеличения (/з (в момент появления их энергия Е = ()с), в дальнейшем уровень «сливаетсяь с зоной. Глава 3 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 3.1.
Функция Гамильтона ротатора гт'= Ма/2! (здесь М» — рв — проекция момента ротатора на ось з, перпендикулярную плоскости вращения); соответственно оператор Гамильтона имеет вид гт' = М~/2! = — АЯ!з/2Е Так как Н коммутирует с 1„ то с. ф. Е могут быть выбраны одновременно и собственными функциями !х, что позволяет сразу указать спектр и с. ф, гамильтониана ,Е! ! — — А~лР/2Е Ч' =е гчч/у/2~с, го=О, ~1, ~2, ... (1) Все уровни, кроме основного, двукратно вырождены.
Укажем также на возможность выбора с.ф. Е в виде Чг(+ ! — — и чзсозт<р, Ч'(ы(=п ~ з!плезир, при котором они имеют определенную четность (+1 или — !) при отражении координат относительно оси х. Тан нак сов~у (е'и+е и)/2, то .Ч.'=Ссоэ~ф С(ахти+ 2+е з и)/4 — ) с е~аси/Э/Зи. Отсюда неносредственио следуют распределения вероятностей различных значений нроенции момента и(т)=(с )з и энергии и(Е(т)) = и (т) + и( — т) (нрв т чь 0) ротатора (а также и значение С' = 4/Зя иэ условия нормировки в, ф, на 1): и (Ео) = и (0) = 2/3, и (Ео) = 2и (2) = йи ( — 2) 1/3, вероятности остальных значений равны нулю.
Наконец: т = О, (йт)о 4/3 Е 23о/31 (ДЕ)о 8йо/9/о 3.2. Функция Гамильтона ротатора Н = ййо/21; соответственно оператор Гамильтона имеет вид Н = йэ!э/2/, а его с. в. и с. ф. Ес=йос(1+!)/21, Рс =У,„(Е, ф), (!) где 1=0,1, ...; т=1, 1 — 1, ..., — 1; Ус — шаровые функции; О, ср — лолярный и азимутальный углы оси ротатора. Уровни энергии (21+ 1)-кратно вырождены, и имеют определенную четность, равную ( — 1)'. Приведенная в условии задачи в.ф. описывает состояние ротатора с определенным значением 1, = О.
Записав ее в виде 1/4иС Г 1 1 — 3 сов'8 ! %' = С соз'0 — ~ — — ~ — Е, с!Усе (.,/ —. н учтя явный вид шаровых функций Уоо и Уоо (см. (П!. 7)), находим, что момент ротатора может принимать лишь два значении: 1 = 0 и 1 = 2, с вероятностями се(0) = 5/9 и и(2) = 4/9. При этом Е = 4йо/31, (ДЕ)о = Зйо/3/о; (С(э = 5/4и. 3.3. Ввиду равновероятности различных значений /., имеем ! г с 1о=(21+ 1) ~~', те=2(21+1) ! о ~~~' еат и — 1 и з да е — ( и' 1 — е "'" С(1+1) з = 2 (21 + !) (. да ! -е' )а-з 3 Отсюда в силу раввоиравности осей х, у, з следует 12 1з 12 ! а2 ! 12 312 1(1 1 П 3.4. Как известно ((!), Я 15, 28), операторы импульса Р и момента 1. системы свнзаны с операторами преобразований и. ф. прн бесконечно малых переносах н поворотах системы ко. ординат: Т(ба) т1+13 баР и уг(бфз) ям 1+16фл$ Любой перенос системы координат педестаноаочея с любым другим переносом, поэтому коммутируют и операторы компонент импульса.
Совершенно аналогично обстоит дело и с переносамн и поворотами вдоль одной и той же оси. Наоборот, два вращения, как н перенос и вращение, относительно двух непараллельных осей не перестановочны друг с другом, что н отвечает некоммутативности соответствующих операторов. 3.5. При вычислении коммутаторов удобно воспользоваться результатом задачи 1.4 и формулой (П1. 2). Приведем ответ. а) Все коммутаторы равны нулю, что является проявлением общего свойства равенства нулю коммутатора вида (1п 1) = О, где 1 — оператор скалярной величины. б) коммУтатоРы имеют стРУктУРУ вида [1„1'ь) = 1вгаг(гп где )а — оператор й-й проекции соответствующего эекторяого оператора.
в) [7п )ьД 1(вгьрб„г + елгябар) Рря, где Р;» — опеРатоРы компонент соответствующего тензора 2-го рант. Установленная универсальная структура коммутаторов оператора компонент момента 1; со скалярными, векторными и тепзорными операторами является отражением свойства оператора 1 как оператора, описывающего преобразование в. ф. при вращениях системы координат и того обстоятельства, что прп атолл все тензоры одного н того же ранга преобразуются одинаковым образом (независимо от конкретного вида леизора). 3.8. искомые функции чг,г =с(г ) 6(г — г ) Ул (О, ю) / г г г при этом из условия нормировки (го, 1, щ ~г, 1, лп) = г — ! = 6 (ге — ге) бгрб ° следУет значение С (го) = го 3.7. Ч' (г) =(2пб) ~1 с ' ~ (2п) '1 е'~ч((о), где 1(р)— произвольная функция переменной р (расстояние от оси х) цилиндрической системы координат.
3.8. Считая в. ф. нормированной на единяцу [ при этом чз(г) г()г= 1), находим: г= ~ гЧз(г) й)г, р = рл. Так кан 1., = а, ха))1, то 1-г = ага1 ~ лр (г) (хара + хаРД р (г) Лг. (1) 230 Преобразовав второе слагаемое под интегралом к виду д з 1 ф (г) хар1Ч»(г) = — — Ь вЂ” [»р ка) + — йбазф, (2Г ! замечаем, что его вклад в Е» равен нулю: равенство нулю инте. грала от первого слагаемого в (2) очевидно после преобразования его с использованием теоремы Остроградского — Гаусса, второе же слагаемое в (2) обращается в нуль после свертки б*, с ею. Таким образом, нз (1) следует Е; = е»»ьт»р»ь или С= [гр).
3.9, В импульсном представлении р=р, а г=(27р, прм этом й! =(гр) = -1Д[р7р[, что по форме совершенно аналогично виду ! в г-представленни, отлнчансь лишь заменой г на р, н позволяет сразу указать вид с. ф. 'ро,(р) = у~ (Н, ф), операторов 1з и !», здесь 6, ф — полярный н азнмутальный углы вектора р в сферических координатах (в р-, как н в г-представлении оператор момента действует лишь на угловые переменные).
Равенство нулю среднего значения (1, т)р), 1,лт) следует, например, из соображений, связанных с определенной четностью шаровых функций (сравнить с !.16). 3.10. Из коммутационных соотношений для компонент момента следует, что 1 ! = 1 [! ~ 1). Применив это операторное равенство к с.ф. Ч'„, получаем 1» (! Чг,„) =(в» ш 1)(! Чг,„) т. е. функции ! Ч" также являются с. ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
