Galitskii-1992 (1185113), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2.27. а) Ответом на вопрос является результат задачи 2.22: самый глубокий уровень — в б-яме У = †(х — хо). б) Максимальное число уровней д. с. в условиях задачи равно бесконечности за счет их возможного сгущения прн Е->0, которое имеет место для потенциалов, убывающих прн х - ~со как У~ — а[х[ тс й>0 н 0<э<2 (см. [1), $ 18), Прн 1 < т < 2 такие потенциалы удовлетворяют условиям задачи.
2.28. Ч' „(х) = А (Е) з)п (ч[2тЕ~М' х) (учтено, что Ч'з(0) = 0). Для нормировки этих функций на 6(Š— Е') следует выбрать А (Е) = (2л>/пздзЕ) ы4. Условие полноты этой системы функций Ч'н (х) Чти (х') с(Е = б (х — х') о легко установить, если воспользоваться соотношением Д1.1. 2.29. Решение у. Ш., описывающее отражение н прохождение частиц с Е ) У,, падающих на стенку слева, имеет вид е>ах+ А(й) е ~~",х < 0 (Ф = Ч/2глЕ)йз > О), Ч'(х) В (й) >ь, О Ь = l2 (Š— У )(йз)О) Из непрерывности Чгь~ и Ч'1+1 в точке х=О следует й — й' 22 !+А=В, й(1 — А)=й'В; А(й) — >, В(й)= —,.
й+Ф ' й+й'' Таким образом ()7=[А[э, В =2') В [э/л): -( Ч(Š—.~~Š— Уэ ~ 4 ЧУЕ (Š— Уо) ц/е +ц/е — У, ! ' Ьlе е+ч/е — УД' Как и следует, В (Е) + В (Е) = 1, при этом а) Я (Е) м 0~~16Е -ь О прн Е-ь сог б) В(Е] кн 41l(Š— У~)/У~ ~ ц/Š— Уа-ь О прн Е-ь Уз. 2ЛО. В, ф. имеет внд 9г+ =е~а'+А(й) е 'а" при х <О н %с~+ =В(й) агат прн х > О (здесь й = цгг2шЕтйз > О, падающие частицы движутся слева направо). Сшнвание Ч'а н Ч'~а+~ в тачке х = О (см. соотношения (2) нз 2.6) дает 1-1- А =В, (я ( — 1+ А) = 2тпВ)дз," тййа Коэффициенты отражения Я(Е) =(А)з н прохождения 0(Е) = = ~ В ~ а удовлетворяют, как и следует, соотношению В + 0 = ! Прп этом а) Я (Е) яз таз(2Ейз -ь О при Е -э со; б) У(Е) яэ 2Ейз(тпа оч Š— ьО прн Š— ьО.
Таккакй=1/2"иЕ/й-', то из (1) с,зедует, что А(Е) а В(Е) яаляютса аналитическими функциями Е, нмеюдимгг особые зочкш а) точки Е = О и Е = со — корневые точки ветвления; б) полюс в тош е Е„определяемой условием тцУ2гпЕа = та(Д, Из.за наличия точек ветвления функции А(Е) н В(Е) яв.чяются многолистными (в данном случае — двухлистными). Для однозначного определения их проведем в плоскости комплексной (7) л Рис. 30 переменной Е разрез вдоль вещественной полуоси Е ) О, см.
рис. ЗО, а. Так как на фвзическам листе фаза точек, непосредственно примыкающих к варяг.'ему берегу разреза (точки типа 1 па рисунке), равна нулю и при этом й =ч(2гпЕ)йз > О, то и этих точках значения аналитических функций А(Е) и В(Е) совпадают со значениями физических амплитуд А(Е) и В(Е). Далее, фаза точек Е на отрицательной полуоси Е ( О физического листа равна и и для них ч/Е =1!ц(Е ). Соответственн" полюс Ез амплитуд при а ( О (6-яма) находится на физическом листе, а значение Е, совпадает с энергией единственного 229 уровня д.
с. в яме. В случае барьера, а > О, связанные состояния отсутствуют, а полюс амплитуд прн этом находится на нефнзнческом листе (фаза Е, раева Зп). Такие полюса отвечают, как принято говорнтгь виртуальным уровням, 2.31. Приведем выражения для коэффициента прохождения 4Е (Š— Ус) Е>У„ 4Е (Š— Уе) + Уеяп ~2лс (Š— Уе) а% 4Е (Ус — Е) , Е<Ус. 4Е(Уе Е) + 1/аз)с ~/2ш(Уо Е) а /й Р(Е) = Первее из ннх при Ус(0 описывает Р(Е) в случае потенциальной ямы, прн этом ) Ус! — ее глубина, Отметим, что Р(Е) — » ! прн Е -» со (естествеиный физический результат). С другой стороны, Р (Е) со Š— » 0 прн Е- О. Такое свойство Р(Е) — общий квантовомехаинческий результат (см.
задачу 2.39). Однако для потенциальной ямы в исключительных случаях, когда ц/2»л(У,(аз/йз =ия, и — целое, указанная зависимость нарушается (при этом Р(Е)-»! при Е -» 0). Выделенность этих случаев определяется тем обстоятельством, что при таких значениях параметров ямы в ней появляются новые состояния д.с. при ее углублении (см. 2.13). 2.32. Значения Е, прн которых частицы ие отражаются от барьера, являются корнямн уравнения 12 йа = — ййз/ат; й = ц/2шЕ/йз > О. Е е!эх+ А (/с) е ~ьх, х-» — со (й = Ч/2тЕ/йз), Чс+»я Е (й) ееь'и, х-» + о (й, = Ч/2»а (Š— У,)/йз), Ы о В(й)е гьс х-» — о, (1) Чс ос е 'ь' + А (й) е~ь'х, х -» + и удовлетворяют у. Ш. — (й /2»л) Ч' + У(х) Чг = ЕЧ' 230 Укажем, что прн решении у.Ш.
в асимптотнке (11.4) в.ф. следует опустить член, соответствующий отраженным частицам, т. е. сразу положить А = О, и в точках х = 0 н х = а воспользоваться условиями сшивания, установлевными в задаче 2.6. 2.33. Рассмотрим для определенности случай, когда У(х)-»О пря х-» — оо и У (х)-» У, прн х-»+ со. Обозначим Ч' (х) н Чг+ (х) в.ф.
стационарных состояний с одинаковой энергией, но с протнвоположнымн направлениями движения падающих частиц в область действия потенциала. Онн имеют следующие аснмптотикн: Умножая уравнение для Чге слева на Чг, а уравнение для Ч' на Чге и вычитая их почленно, находим после простых преобразований Ч' (х) Ч"е (х) — Ч'+ (х) Ч' (х) = сопя(.
(2) Вычислив левую часть (2) при х-ьжсо с помощью асимптотик (1) н приравняв результаты, получаем йв = й,В. Отсюда и следует В, (В) = (й,)й)( В )т = (й(й,)( В ~ = В (В), 2.34. Удобно исходить из интегральной формы у.Ш. (см. 2.42), имеющей для сепарабельного потенциала вид (й= ~р)/6) Чге (х) =е~аб" + ™ ~ ~ е 1 (х ) (' (х") Чтя (х") с(х дх". ййт Отсюда Чгь (х) = ехР ()Рх/й) + ()тЛС (Р)/ййт) ~йь (х), (1) где С (р) = ~ Г (х) Ч'ч (х) с(х, ф (х) = ~ еы 1 " х 1 ) (х') дх'. (2) Прн этом условие согласованности выражений (1) и (2) дает — ! С (р) = д' (р) ~1 — ()Лш)ййт) ~ ~ )* (х) 1 (х ) е~ь 1 к — к' лх л» ~ (3) И (р) = ~ ( (х) ехр ( †(рх/д) лх, Соотношения (!), (2) я (3) полностью определяют в. ф, Переходя к се асимптотикам прн х-~ -~-ае, находим атншптуды прошедшей В(р) и отраженной А(р) воли: В (р) =1+(ГЛт/йдт) С(р) 3(р) В(р) = (В(р) (т: (4) .4(р) = ()Лш)йдт) С (р) л ( — р) В(р) = (А(р) (а (эти формулы справедливы как прв р ) О, так и при р ( 0).
Произведем некоторые преобразования в полученных резуль. татах (4). Прегкде всего, воспользовавшись формулой (Д1.3) и соотношением (Д!.2). — =г г" (х) 0х ( г" (х) пх х — хо — та 3' х — ха ~ означает интеграл в смысле главного значения, е ) 0 беско( печно мало), преобразуем (3) к виду С (р) = й*(р) (С, (р)/2рй — (С (р)(2йй '( 231 где с,(р) =2рй ! —— йт Г (д(к))ос(к~! ай / к' — р' о Со(р)=дт((д(р)(о ! (д( р)(о) После этого нз (4) получаем СЯ(р)+Аэто((3(р) à — 13( — ))Я)з В (р)— с', (р) + с, '(р) 4л~ З(3(р) 3( — р) Г )((р) = Со(р) + С, з(р) (6) Отсюда непосредственно следует: !) ))(р)+Л(р)=- ), 2) ()(р) = /)( — р), т. е.
коэффициент прохождения для час- тиц, движущихся слева н справа, одинаков, 3) прн Š— о-оо имеем /т(Е) ом ()от/Яр)о!3(р)д( — р) )о-о. О, 4) прн Е-~.О также и ))(Е)- 0 (сравнить с 2.39). 2.33. В.ф. прн х ( 0 имеет вид Ч'л =е "+А (й) е (падающие частицы движутся слева направо, й = Ч/2тЕ/Яо > О). При х ) 0 заменой переменной я= 4(х/а — !+ Е/Уо), где 3= (2тао(/о/Яо)!, у. Ш, приводится к уравнению Чгй~! + лЧг» О. Решение его, имеющее при л-о.+ оо внд уходящей направо волны, следует выбрать в виде Ч'аэ = С (Е) (В! ( — а) + ! А! ( — л)) ие л (л)+ иэС(Е) и Вза Олехр) — язй+ ~ 1, где но = $ (Е/(/~ — ! ) Вычислив плотность потока частиц, / = (й/2т!)(Ч'"Чг'— — ЧгЧ"'), ярн х-ч-+ос: /,о, —— Щс)о/пта, и учтя, что для падающих частиц )„о = йй/т, находим коэффициент прохож- дения В = )ярошдпол = оо ( С (Е) (~/Пйа.
(2) 232 где А((л) и В!(я) — функции Эйри. Из условий непрерывности в.ф. н ее производной в точке х = 0 находим А н С. Прн этом С (Е) = 2 (В! ( — ао) + ! А! ( — ло) + ! (Ц/йа) (В !' ( — зо) + + ! А!' ( — зо))) !' (!) Формулы (1) и (2) решают задачу. Отметим частные случаи. !) Е (Вм причем $(1 — Е/(/а) л ! (и $ »!) 0(Е) ив (теа,— и Г т( '(а,— е) т и, 3 'ат[/ даио (3) (при этом следует воспользоваться асимптотикой наиболее существенного в (1) слагаемого !(й/йп)В!'( — ха), см. [34]).
2) Е > Па, причем й(Е/0а — 1) ~1 (прн этом йа>> а), 0 (Е) 4а/Е(Š— и ) /(Ч/Е +ч/Š— ид (4) 3) При Еьб 0 (Е) ии 4йп (пК [(В!' ($))з + (АГ (3))з]] ' аа ч/Е -и О. 2.36. В. ф. имеет внд Чг+ (х) = [Вт (г,) — (А! (х,)]+ а(Е) [В! (х,) + ! Л! (х1)], х < О, Ь (Е) [В1 (-хт) + т А! (-гг)]. х>О, где хит = $(х щ Е/Ра), К = (2тГа/дт)~аз Она записана в таком ниде, где каждое слагаемое в квадратных скобках на больших расстояниях описывает распространяющуюся в соответствующем направлении волау; при этом о(Е) и Ь(Е) являются амплитудами отраженной и прошедшей волн, так что Р = = )п(Е) )т, 0 =)Ь(Е) )' (сравнить с предыдущей задачей), Условия непрерывности Ч' и Чп и позволяют найти п(Е) и Ь(Е). В частности, Ь (Е) = — т (п(Вт (Ч) + т А! (т))) (В!' (Ч) + т АГ (т!))) где Ч = — КЕ/Га (при этом учтено значение вронскиана йг(Л1(х), В!(х)) = 1/и).
Используя асимптотики функций Эйри [34], нетрудно получить следующие выражения для 0 = [Ь(Е) )'. 1) при Е ( О, когда 5~Е[/Га > 1, 0 (Е) м ехр ~ — — (2т [ Е) з/Еоздз] ! !з ~, 2) при Е > О, когда 3Е/Ра Д 1, 0 (Е) ты 1 — рой /32тпЕ, (2) 3) 0(Е = 0) = 3/4, Е(Е = О) = !/4. 2.37. В ф. при х-ь ~аа имеет вид 'Р+ (х) ж егах + А (й) е тех х — ь — аа (!т = а/2~Да) В (й) агапа, х-ь+ аа (фт = )/2ш(Š— Уа) Ят) при этом коэффициент прохождения Р(Е) = (й,/й) (В(й) ('. При Е- Уе имеем й~-ьО, В(й1)-еВ(0)ныл и соответственно В(Е)оо оо(Š— Уа)ыз-~О, сравнить с 2.29.
2.38. Вне области действия потенциала в.ф. имеет вид Чге~ (х) ян еге" + А (й) е ~~", х < -а, (П В(й) е х > о. В области же )х) ( а из у.Ш. Ч"" = (2тУ(х)/й' — йэ)Ч' в усло. виях задачи следует, что приближенно Ч'е кн С! + Сзх (дебствительно, так как Ч'ч Ч'/аз, то у. Ш. в первом приближении для слабого поля при йа « 1 принимает вид Ч'" = 0). Сшнвание этого решения с (1) дает Сз ж 0 и С, ян В яэ 1+ Л. Отсюда следует, что выражения (1), дающие Ч"а сн сопз! пря (х) <. а, приближенно справедливы при всех значениях х. Учитывая это обстоятельство, проинтегрируем у.Ш.
по х в пределах от — Ь до Ь, где Ь » а. Так как прн этом Ь Ч'" (х) пх =!ЬВе'~ь — гйе гэь -)- гйЛегвь -ь б э ч У(х)Ч'(х)пхюВ ~ У(х)г(хжВ ~ У(х)г(х, -э ь Ь ь в Ч'(х) Нх як В ~ е!ах г(х+ ~ (е'"э+ Ле гэх) г!х = -Ь о -ь = гй (А+  — 1 — (Л+ В) е' + е то таксе интегрирование приводит к соотнон~ению гй (А +  — 1) =- 2таВ/йэ, а = ~ У (х) Нх.
Отсюда, с учетом условия 1+А = В, следует А як — гта (йзй + Гти) !, В нэ йсй (йсй + (тц) Полученный результат весьма нагляден, так как он означает, что в условияк задачи отражение частиц происходит так же, как и в случае 6-потенциала 0 = сгб(х) с а = ~ У (х)г(х (см. 2.30). 2.39. В выражениях для асимптотик в, фд Ч'а — егхх+ + А(й) е ~х" (пРи х < О, (х (>>а), Чга+ =В (/г)еге" (пРи х>>а), 234 перейдем к пределу й-ь 0: < 1 + А (й) + !Ьх (1 — А (й)), х < О, )х ) > а, (1) ( В (й) (1 + Их), хЛ а. Рассмотрим теперь решение у. Ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
