Galitskii-1992 (1185113), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В частности, прн У, = оо требуется, чтобы Уэ ~ пэлэ/Эиа', при У, = У, хотя бы одно состояние д.с. существует всегда. 2.!6. Среднее значение силы, действующей со стороны частицы на правую яму, дается интегралом (Е„в)„„= $ (ЛУ//л) Ч„'(л) б . о Выполнив интегрирование по частям н воспользовавшись у.Ш., получаем (' пв)вл Ел)юв (0)+ 2 (Р (ОИ ° (1) Для четных состояний имеем йг„(0) =0 и так как Е, < О, то (Е,г)„< 0; для нечетных уровней Чг,(0) = 0 и (Р„р)„„> О, что и доказывает утверждение задачи з). 2.17.
В импульсном представлении Т = рэ/2гл — = рз/2т является оператором умножения, аУ является интегральным опе. ратором с ядром У(р, р'), равным (см. 1.41) У(р, р') — = 1/(р — р'), У(р) = — „~ У(л) ехр( — /р /й)г/ж (1) э) ПодчеРкнем, что дла состоЯний д.с. Е„» Уэ, пРн этом уровни Е„повышаются как при увеличении Уь так и прн уменьшении а, см. 2.4.
а) Отметнм, что сила, действующая на левую яму, отлвчается от (1) знаком. Таким образом, у. Ш в импульсном представлении имеет вид М НФ (р) = — Ф (р) + ~ (7 (р — р') Ф (р') г(р' = ЕФ (р), (2) — СО В случае (Г = — аб(л) имеем (7 = — сс/2хЯ и уравнение (2) принимает внд а — Ф(р) — — С=ЕФ(р), С= ~ Ф(р)г(р. 2ш 2ай Отсюда (Е = — ) Е) (О) (3) (5) что представляет уравнение для спектра. Оно имеет (при а ) О) только одно решение Еэ = — шаэ/2Яэ. Этому уровню отвечает в.
ф. (4), которая при с = ь72хша/Я нормирована на единицу, сравнить с 2,7. 233. В данной задаче 0(р) = — а(еглша+е ~л~г~)/2хЯ и у. Ш. принимает внд (см. предыдущую задачу) — ф (и) — — '(еглэ)эС., + е-гяатаС ) Еф (р) (Ц 2т 2хЯ С = ~ э~~лэ1а Ф (р) ор. (2) Отсюда, обозначив х' = — 2глЕ/Яэ, и = ша/Яэ, накоднм ф( ) оЯ ( гля1аС + -гла1аС )( э+яэ э)-1 (3 Подставив (3) в (2) и вычислив интегралы (см. Д!.3), получаем Сж = — (Се+э знаС ) С вЂ” (е-энаС+ 1 С ) (4) х х Условием существования нетривиального решения этой системы является выполнение одного из двух соотношений х= о ().ь е эна) (5) которые и определяют энергетический спектр. 221 шо С хЯ р'+2т)Е)' (4) Условие согласованности второго нз выражений (3) и (4) дает Первое нэ уравнений (5), отвечающее выбору знака (+), имеет один корень (при а)0).
При его реализации нз (4) следует С+ С, т. е. соответствующий уровень является четным (см. (3)). Энергия этого уровня прн аа ~ 1 равна Ео+ нг зг 3 т — 2татд (две 5-ямы на близком расстоянии действуют как одна, но с удвоенным значением а, сравнить с 2.7). При Йа Ф 1 имеем Е+ на — (тат(2йт) (1 ~- е заэ) Е! яз (25а — 1) Ь~/2лгаз, а прина Ъ 1 находим Е, т — (та%Да) (1 — е-'а'). При а-ь со оба уровня, четный и нечетный, сливаются в один уровень, существующий в одной изолированной б-яме, 2.1В.
Ядро оператора 0 в импульсном представлении () (Р Р ) = — )гй (Р) Е (Р ) О Е(р) — ~ е 'л"!" ! (х) Их ч6йЯ (сепарабельнаа, или факторнэованная форма ядра оператора взаимодействия сохраняется, естественно, в любом представлении) и'у.Ш, см. 2.!7, принимает вид 2Š— гр(р) — АЕ (р) ~ а'(р') Ф (р') бр'= ЕФ (р). Отсюда (2) О С= ~ «'(р)Э(р)бр. (3) рз — 2тЕ ~ ! )' 2тАС (в этом случае зкспоненцнальное слагаемое з (5) мало, и пренебрегая им, получаем нч~~ т а; подставив это значение а пока.
ватель экспоненты, приходим к более точному выражению для ме+, наторев.н;нспольэовано при вычислении Еа+). Второе из уравнений (5) определяет нечетные уровни. Единственный нечетный уровень имеется лишь при а а ) 17к, сравнить с 2.13. Его энергия в момент появления (т. е, при 0 ~ < о а — 1/2 ~ 1) равна Условие еогласвввняостн вгцх вырвасеннй прнводнт к саотно.
шевню (4) определяющему энергетический спектр связанных состояний частнцы. Рассмотрнм следствня этого соотношения. 1. Прн Е < О интеграл в (4) является монотонной положнтельной функцней (Е), равной нулю прн (Е( ае, Соответственно в случае Х < О уравненне не имеет корней (связанные состояння отсутствуют). Еслн Х ) О, то нмеются две возможностн: а) я(0) чь О, так что ннтеграл в (4) прн Е- 0 равен +со. В этом случае всегда нмеется только одно связанное состояние. В пределе Х-+-О также я Е, -~- 0; прн этом в ннтеграле в (4) существенна область малых р, так что можно вынестн за знак ннтеграла (я(0)(з н получять Ееяг — 2цзтЗР)Е(О))', Х-ьО. (5) В другом предельном случае, Х-ьсо, также н --Ез-ьсе, прн этом 40 Ез" — ) ~ (а(р))*бр.
Заметны, что )Ее(л)) является монотонно возрастающей функ- цней параметра )с. б) Е(0) =О, причем ~ )д(~ р зар А. В этом случае О прн Х >(2глА)-' также имеется одно связанное состояние, а прн а <(2еА)-' нх нет. 2. Прн Е>0 в случае сепарабельного потенциала может пметь место необычная ситуация, еслн л(рз)= О для некоторого ра Ф О, прнчем В атом случае прн з = зс =(2глВ)-' имеется связанное состояние частнцы с энергней Ее — — рзз)'2т>0. Этот днскретный уровень находится непосредственно на фоне непрерывного спектра.
223 .-."'«2О: ггй2извйм'уравйе((йя Й)я функцэин згрннач 62 при х ~ х' имеет вид 6,= А(х') екр (и(х — х'))+ В(х') екр(-н(х — х')), м=*ц/ — йшЕ/я~ >О. Условие убывания 6« при «-ь — ао требует выбора В(х')= О.'Аиалогично при х) х' имеем 62 = = С(х')екр( — я(х — х')). В точке х = х' фуикция 62 иепрег рывнаг а производаая 6Л имеет скачок, равный (сравнить с 2.3) 6л (х = «' + О, х') — 6и (х = «' — О, х') = — 2т! яз, С учетом этих условий находим 6л (х, х') = — екр (-и |х — х' ) ).
Эг ХЯ2 С помощью функции Грина общее решение уравнения Я2 — — Ч'" (х) — ЕЧ' (х) = г (х) 2лг (2) для Е ( О можио записать в виде э Ч'(х) = Ае ""+ Ве""+ ~ 6л(х, х')1(х') Ых', (3) Если в (2) положим ) = — У(х)Ч'(х), то приходим к у.Ш., а его формальное решение (3) при этом является уравнением Шредингера в интегральной форме. Так как для физических приложений обычно представляют интерес решения у.
Ш., не возрастающие при х-~ +го, и так как при этом интегральное слагаемое в (3) убывает, то в (3) следует положить А = В = О, так что у. Ш. в интегральной форме цринимает вид Ч',(х) = — — „2 ~ ехр( — и! х — х') ) У(х') Ч.'и(х') 2Г«'. (4) — 22 Оио эквивалентно дифференпнальиому у. Ш. с учетом граничных условий — убываиня Ч'(х) при х-ь ~ее, н имеет решеиие лишь при значениях Е ~ О, принадлежащих энергетическому спектру. Для У = — ссб(х) уравнение (4) принимает внд Чгл(х) = яз Чги(О) екр ( х)х)), 224 непосредственно определяющий в.ф, и эиергию Ез = — тсгз/232 едянствеииого уровня д.с, в б-потенциале.
Отметим, что функцию Грина можно рассматривать как линейный оператор Оа, ядро которого в координатном представ- Для более полного анализа (4) удобно преобразовать это выраясенне, воспользовавшись формулой Д1.3. Возникающее со. отношение воспроизводит формулу (4) из задачи 2.19, к которой мы и отсылаем читателя. 2.22. Рассмотрим Ч'э(х) — в.ф. основного состояния с Е«~0 ()Е«(~(Ее(). Эта функция не имеет нулей при конечных х я Ч',(х) ) 0 (этому условию можно удовлетворить соответствующим выбором фазового множителя), функция Ч'э(х) удовлетворяет интегральному уравнению — уравнению (4) задачи 2.20. Возьмем в этом уравнении х = х,, где х,— точка максимума Ч'о(х): Чг,(х,) = — „, ~ е ""'" " 110(х'))Ч'о(х') ах'. (1) кэй' Замечаем, что подынтегральная функция здесь — неотрицательная и замена ехр( — м«(х« — х'))Чга(х') на Ч'э(ха) может только увеличить правую часть.
После сокращения на Ч'э(хэ) получаем 1 ~ — "„, ~ ) и (х) ) х. кой' Отсюда и следует " "с 12 )Еэ)к»)Е«)= 2 « — » У(х) пх . (2) Приближенно равенство (2) имеет место для «мелких» потенцнальнык ям, в связи с данной задачей см. также 2.23. 2.23. Воспользуемся интегральной формой у. Ш. — уравнением (4) задачи 2.20. Умножнм обе части уравнения на 0(х) н проинтегрируем в бесконечных пределак.
В получающихся интегралах существенную роль играют х, х' а, н так как ка «1, то можно разложить экспоненту, ограничиваясь первымн двумя членамн. Таким образом получаем и(х)Ч (х)П = — 1~ Π— м(х — х'))Х ,3» 3 Х У (х) 0 (х') Ч'(х') 0х г(х' Отсюда, с рассматриваемой точностью — ~ ( х — х' ( 0 (х) 0 (х') Ч' (х') Нх пх' гп Г йз э н яз — — ~ ГГ (х) Нх 1 + йт З ~ У (х) Ч'(х) Нх В поправочном члене (второе слагаемое в скобках) можно пренебречь изменением в.ф. в области интегрирования, заменив ее 226 иа Ч'(0), н получить уточненное значение к (а тем самым н энергии Ео = — йоко/2т): т /тъзГ и= — — ~ У (х) Ых — ~ — ) ~ ~ [х — х'[ У(х) У(х') бхо(х' (1) (поправка всегда отрицательна в согласии с предыдущей задачей), 2.24.
функцию Грина можно получить нз решения уравнения как в 2,20. Однако, имея в виду результат этой задачи, на еснованин соображений, аналогичных используемым прн решении электростатических задач методом изображений, ответ можно напясать сразу: бд (х, х') = — [ехр ( — н [х — х' [ ) — ехр ( — н [ х + х' [ Ц. (1) У. Ш. в интегральной форме, автоматически учитывающее граничные условия Ч'(О) = Ч'(оо) = О, записывается в виде (сравнить с 2.20) Ч' (х) = — ~ б ,(х, х') У (х') Ч' (х') о(х'.
(2) о 2.25. Идея доказательства точно такая же, как н в 2.22. Укажем оценку экспоненциальных слагаемых в у.Ш. (см. предыдущую задачу), входящих в функцию Грина. Так как [х-1-х'[— — [х — х'[< 2х' (напомннм, что х, х' ) 0), то 0 -"=. ехр (-н [х — х' [) — ехр ( — н [ х + х' [ ) = = ехр( — м[х — х'[) [1 — ехр( — н[х+х'[+н[х — х'[)[ < ~ (ехр ( — х [ х — х' [ ) [1 — ехр ( — 2нх')) < 2нх'.
Теперь утверждение задачи представляется очевидным, Для прямоугольной потенциальной ямы необходимое условие существования состояний д. с. принимает вид Устаз/Ао о 1, а точное условие: У,та'/я' ) пз/8 - 1,24. Для 6-ямы необходимое услове 2таа/до ) 1 совпадает с точным. 2.26. Уравнение для ба(х,х') н его решение имеют вид — (бо/2т) (о(з/о(хо) б, (х, х') — Вб (х, х') = 6 (х — х'), би=' )' А (х')сбп нх, О<х <х', [ В(х') з1п (х — ), х' < х<а. Здесь учтены граничные условия: ба = 0 прн х = 0 н х = а. Условия сшивания ба(х,х') в точке х = х', совершенно аналогичные отмеченным в задаче 2.20, позволяют найти А н В и окончательное выражение для функции Грина> Уи(х, х') = — 2т яп [н (х+ г ' — х' — х [) >2[ Х Х мп [н (х+х'+ [х' — х [ — 2а)/2[ нй з)п нп Отсюда видно, что Уа является аналитической функцией Е (и = у'2шЕ>йз), имеющей следующие особые точки: а) точка Е = оо — существенно особая точка; б) точки Е„ = й н„/2т, где м„а = (п + 1)и, п = О, 1, ..., являющиеся полюсами Уа; прн этом поло>кенни полюсов совпадают с уровнямн частицы в яме (точка Е = 0 является устранимой особой точкой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
