Galitskii-1992 (1185113), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Итак, О ж О; отсюда н следует утверждение задачи: 1" — ~',1,Г '+ г ! и + 2 ~ /г(ь1" '+ ... +( — 1)" Ц[(г-О. (1) г,з; гала ! 1 прн Ф 2 из (1) имеем! =(гг+!з)! — Дь Отсюда в случае оператора отражения, у которого с.з. равны ~1, получаем 3 1 = 1, как н следовало ожидать. 1.22. Имея в виду результат предыдущей задачи, можно записать х-! л-! Р=с" (!) ~ сяГ; г" (!!)= ~ ев(вг, 1 1, 2, ..., г! (1) в-о в-е (сравнить е !.!7). Второе нз соотношений (1) представляет систему уравнений, позволяющую опредслнть значения с,. В случае й! 2 легко находим се.
ь а с ними и И (зР(6)-6РУз) Р(ап) — Р( г) ° + )з — 6 6 — ° (2) В случае йг 3 для указанных в условии задачи с.з. с помощью (!) получаем р Р(б) + Р()о) — Р(-Уо) р ! Р()о)+Р( — (о) — 2Р(0) рз 2)о 2ф 1.23. Продифференцировав по й обе части уравнения для с.ф. н с.эп ((Х)Ч',(фй) 1„(Х)Ч'„(д,д), получаем (,~~) ~л(Ч+7 ~,.„Чгя(А) ~~ ~в(Д)+)л ~,.„~в(~) ( ) д) Умножнм обе части (!) слева нз Ч'„н проинтегрируем по координатам е Учитывая при этом равенство Ч ) — Ч~ бт° д дд в е ~у вытекающее из зрмнтовостн (, получаем искомое соотношение. !.24. Оператор Р Р(!) следует понимать как оператор, с, ф.
которого совпадают с с.ф. оператора 7, а соответствующие с.э. равны Р~ = Р(Ц. Так как система собственных функций Чг! является полной (при этом существенна эрмнтовость оператора !), то действие Р на произвольную функцию Ч' определено; действительно РЧ = Р 'Я с ((„))"Р! (а) Х с ((,)Р 6„) Чг! (4) (') л Воспользовавшись здесь выражением (1.4) для с(!), находим, что оператор Р представляет интегральный оператор с яхрома) (2) з) Система с. ф. Чт (д) предполагаетсп ортонормнрованной. !» Так как (-' Д) Пз = Я (рв) Па лм Я/( р (, то согласие (2) ядро этого оператора имеет вид ЯР ~ (г, г():= „, „р ье~61 гь(адар= (2пз(г — г')з) (2пй)' (для вычислепия интеграла удобно воспользоваться сферическими координатами, выбрав полярную ось вдоль 'вектора г — г').
1.26. Из операторного равенства АŠ— ЕА = О, примененного к с. ф. Чьс бператора Е (Еь — с.з.), следует, что функция АЧ' ь и также является с. ф. Е, отвечающей тому же с. з. Е, (или АЧг =О). Если при этом с.з. Еь является иевырождевпым, то АЧ' = А.Ч', т. е. Ч' является с. ф. и оператора А. Точно гн ' с, с, так же опа является и с.ф. В, т. е. ВЧ' =В Чь' Если бы все ср с.з. Еь были невырождениыми, то во всех состояяиях имело бы место соотношение (А — ВА) Ч" (А В. — В А,)Ч' =О.
Но такое равенство, справедчивое для всех с, ф„ образующих полную систему, означало бы А — ВА = О, что противоречит условию задачи. В качестве иллюстрации рассмотрим свободное одномерное движение 'частицы.' Ее гамильтовиаи В = Рз/2т коммутирует с операторами импульса Р и отражеияя 1, ие коммутирующими друг с другом. Это обстоятельство объясняет двукратное вырождекие уровней энергии. 1.2б. а) Операторы различкых компонент момента ве коммутируют друг с другом, яо в состояиии с моментам Е = О все компоненты момента одновременно имеют определеяиые зиачеиая Еь = О.
Еще один пример — см. 1.27, б) Операторы импульса и кииетической энергии коммутируют друг с другом, ио, например, функция Ч'= Сз1п(рг/Я) является с.ф. лишь оператора кинетической энергии, яо ве импульса. Эти примеры яе противоречат, конечно, общим кваятовомехаяическим утверждекиям об одновременной измеримости двух физических величии, в том числе и соотношению неопределенности, см. 1ВО. 1.27.
Имеем (АВ + ВА) Ч'„= (а6 + Ьа) Ч', ь = 2аЬЧ'.ь = О. Таким образом, либо а, либо Ь равно кулю Пример: 12+ 21=О; при этом имеется только одна в.фл Ч'ь = Сб(к), являющаяся с. ф. операторов х и 1 одновременно, причем с.з. координаты хь = О. Отметим, что аитикоммутируюшие операторы могут и ие иметь ии одной общей с.ф. (см. матрицы паули, глава б «Спика) . !.28. В класскческой механике рг глг = рп, где п ггг. Квантовомеханнческим ' аналогом этого соотношения )!влг(бзсй эрмнтов оператрр Й ! д р„= — (рп+ пр) =пр + —,д>тп —..
—.— г. "(!) 2 21 1 г дг Решение уравнения на с.ф. к с.з. этого оператора -имеет аид Ч' (г) = (С (8, ф)>г) ехр (1р г/й), где С(9, ю) — произвольная функция угловых переменных. При этом формально с.з. р, могут принимать комплексные значения р, = р, +1р, с рз ой, а с.ф., как легко убедиться, не являются ортогональными. Установленные свойства с.з. н с. ф. оператора ро исключающие их физическую интерпретацию, иллюстрируют деликатность положения квантовой механики о сопоставлении физическим величинам (ноблюдаелам — по терминологии Дираха) эрмнтовых, нлн самосопряженных, операторов. С физической точки, зрения этот пример показывает, что не всякая физическая величина классической механики имеет четкий квантовомеханическнй аналог (так же, как не всякая квантовомеханическая величина— например четность — имеет классический аналог).
В математическом плане он отражает различие понятий эрмитова и самосопряженного операторов н свойств нх с.з. и с.фг оператор д, эрмитов, но не самосопряжениый, см. следующую задачу. !.29. Понятия зрмитоаа и салосолрлэсенного операторов довольно близка и связаны с существованием соотношений ~ Ч,")Ч, а = ~~~'Ч,)'Ч, д = ~ (~Ч,)'>Р, д, (П а различие проявляется лишь в наличии ограничений на классы функций Ч', и Чгз, для которых ори должны выполнятьсв.
!) Если соотношение (!) выполнено на некотором классе функций Оь то оператор 1 называют эрмнтовым (на,этоы классе функций). Если этот класс функций. совпадает с областью, олределеная 1>> оператора 1 (вообще говоря, он уже), то такой эрмитов оператор называют самосопряженным. Прн этом, по определению, область >>г включает все фУнкци~ Ч'(1>, длЯ кдтоРых Ч'(!> )здт < оо, ' (2') ~ ( (Чг(1> ! г(т < оо, ~ Ч'*~зр(!> г>т < оо, (2") где Ч' — уже произвольная функция, удовлетворяющан лишь условию, аналогичному '(2') (конечно; ' смысл 'могут иметь и выражения >Ч' дли' функций, не входящих в >>>).
С,з. самосопршкенного оператора вещественны, а с.ф. взаимно ортогональны в образуют полную свстему ь). Так, в случае оператора — рйб/Их, действующего в проетранстве функцвй, задаяных на всей осн, имеем ы Ч,'(-И вЂ” ")Ч,Ичь 00 ~ (- И вЂ” Чг ) Ч И вЂ” гйчт~Чг 1 . (З) И» Прн атом для функций Ч'ьт, входящих в область определения оператора, вненнтегральное слагаемое равно нулю, как вто следует из условна (2'), так что оператор является самосопряженным. Его с.з. р, вещественны, а с. ф. Ч' (х) ортогональны я образуют полную систему.
Далее, эрмктовы, но не самосопряжеиные операторы делятся на два различных класса: а) сущеетеенно самосонряяеенные операторы, допускающне самосонрлженное расширение н б) максимально эрмитоеы олерагоры (не допускающие такого расширения) . 2) Еслн реализация оператора ( как эрмитова с областью определення Дг такова, что соотношение (1) выполнено для любых фуякцнй Ч'с« нз ()г н нарушается, если хотя бы одна нз них таковой не является, то говорят о самосопряженном расширения эрмятова оператора, связанном с теми дополннтельпыми (тяпа граничных) условнямн, которые отвечают данной реализацнк н ограничивают область функций бг.
Свойства с.з. н с.ф., удовлетворяющих указанным условиям, такие же, как н у самосопряженных операторов. Так, в случае оператора — рйбуИ», действующего в пространстве функций, заданных на конечном отрезке, нмеем Чр( рй )эЧг И» а ь е И ~ ~ — «д — Чт ) 'Р Их — гйЧт«(х)'Г~(х) ~ . (4) Их «3 е э) Прн этом, однако, с.ф. уже могут быть н не нормнруемы на единицу, т. е. для нйх не требуетсн существования пнтегралов (2), а условне ортогональности формулируется с помощью б-функцнн. 202 Внеянтегральное слагаемое, вообще говоря, отлично от нуля, так что оператор не является самосопряженным, но он зрмнтов н допускает самосопряженное расширение. Например, он зрмитов на классе функций, удовлетворяющих граничным условяям Ч"(и) Ч'(Ь)=0. Однако такие условия не реализуют самосопряженного расширения.
Действительно, для обращения виенитегрального слагаемого в нуль при этом достаточно, чтобы лишь одна нэ функций, Ч", нлн Ч'з, удовлетворяла этому условию. При таком выборе граничного условия у оператора — ИЩх вообще нет с.ф. Другая реализация оператора как эрмитова связана с наложением граничного условия %', (Ь)/Чг, (а) = (Чгэ (а)/Чгз (Ь))' = сопз( = ехр ((О), (5) где )) — вещественное число. Выбор такого граничного условия определяет самосопряженное расширение оператора — Й Ифх на отрезке. Прн этом с. з.
н с. ф. оператора: Л„= ()3+ 2лл) й/(Ь вЂ” а), Ч'„(Ь вЂ” а) паехр ((ЛэхЮ), л=О, ж1, шй, ..., причем с.ф. ортагональны н образуют полную систему. Отметим, что к такому типу операторов принадлежит (, = — ГЬ г(/Йр — оператор проекции орбитального момента на ось х, прн этом а О, Ь 2п, () = О, 3) Если у эрмнтова оператора не существует самосопряженных расширений, то его называют максимально эрмнтовым опе. ратором. Оператор — ГйбУдх, действующий в пространстве функций, заданных на полуоси, представляет пример такого оператора: 'Рх (х) (- ИЧгг (х)) Ы» ~ о ) ~ ( — гйЧгх (х)) 'Р1 (х) Ил+ Ейных (0) Чг1 (0).
(6) о Единственная реализация его как зрмнтова оператора связана с наложением граничного условия Ч'(0) = О, причем для выполнения соотношения (!) этому условию в (6) должна удовлетворять лишь одна из функций Ч'ьь так что оператор является максимально зрмнтовым. С. ф., удовлетворяющих граничному условию Ч'(0) = О, у этого оператора не существует (если же «забыть> о граничном условии, то с.з.
оказываются комплексными, а с.ф. не ортогональнымн, как и в случае оператора ))„ 206 рассмотренного в предыдущей задаче и также являющегося максимально эрмнтовым оператором). В заключение сделаем два замечания. Во-первых, класснфн. кацня данного эрмнтова оператора [ может быть просто уста. новлена по его так называемым индексам дефекта (У+,У ), где У вЂ” числа независимых нормируемых на 1 решений уравнения на с.ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
