Galitskii-1992 (1185113), страница 36
Текст из файла (страница 36)
вида )Ч' = -+1[»Ч' ([ю вещественно, фиксировано н введено лишь для соблюдения размерности). Если У+ = У- = О, то оператор самосопряженный; если У+ — — У = У чь О, то оператор допускает самосопряженное расширение, реализуемое наложением У дополннтельнык условий; если У+ чь У, то оператор максимально эрмнтоа. Читателю предлагается проиллюстрировать это положение на примере рассмотренного оператора — гй г(/г(х. Во-вторых, в задачах квантовой механики часто приходится сталкиваться именно с самосопряженным расширением эрмнтовых операторов, При этом выбор дополнительных условий обычно диктуется физическими соображениями.
В дополнение к отмеченному выше случаю оператора 1а укажем на самосопряженное расширение оператора р'/2т на отрезке с использованием граничных условий 4) Ч'(0) = Ч'(а) = О, реализующееся в задаче о частице в бесконечно глубокой потенциальной яме. Далее, ис. пбльзуемое при решении уравнения Шредингера условие ограниченности в, ф, в нуле (т. е. при г = 0), даже в случае «хороших» потенциалов (/(г), реализует фактически самосопряженное расширение оператора Гамильтона.
Прн этом более общее условие самосопряженного расширения вида (г'к (г))'/(гЧ« (г)) »а = сопя( прн г -» 0 с физической точки зрения соответствует включению дополнительного взаимодействия в виде потея~(пала нулевого радиуса (см. 4.10). В случае же сингулярных потенциалов притяжения, когда в квантовой механике возникает «паденне на центр» (см. [1), $ 35), указанные граничные условия уже не реализуют самосопряжениого расширения н должны быть модифицированы (см. 9.14). 1.ЗО. Рассмотрим интеграл /(а) = ~ [(аА, — (В,) Ч' ) бт) О, где А~ = А — а, В, =  — Ь; причем сс, а, Ь вЂ” вещественные параметры. Используя эрмнтовость операторов А, н Вь соотиоше.
') При этом самосопряжепное расширение определяется наложением двух граничных условий: Ч'(0) 0 и Ч'(а) = 0 в соответствни с тем, что индском дефекта оператора б»/2т, заданного на отрезке, суть (2,2) (приведенные условия реализуют один Нз частных случаев самосопряженного расширении).
нне [Аи,Ви[ йС и считая в.ф. Чг нормированной на 1, интеграл можно преобразовать к виду Х = $ ((аА — 1Ви) Чг) (аАи — иВи) Чг дт = ~ Чг'(а Ахг — !а [А!, Ви) + Веи) Чи ийт= = аз (А — а)з + аС + ( — Ь)з ) О. (! ) Положим а = А, Ь = В; прн этом условие неотрицательности квадратного трехчлена (1) по а приводит к утверждению задачи (А — А)з ° ( — В)з ) (С)о/4. (2) Равенство в (2) реализуется лишь прн условии (аАи— — 1В,)Чи = О. В частности, для операторов А = х, В = Р„, С = Л оно првнимает вид Ч" + ((х — хо)/ир — 1ро/Ь) Ч' = О (вместо а ( О, а, Ь введены более удобные их вещественные комбинации хо, ро и(). Отсюда Ч' = (або) Во ехр [йрое/Я вЂ” (х — хо)з/2до), что определяет явный вид в, ф., минимизирующей соотношение неопределенности для координаты и импульса (см.
также 1.!3). Прн приложениях. формулы (2) следует соблюдать осторожность. Это видно уже из результата ее применения к случаю операторов А = 1 = — 1д/дйи и В =ф = ир, для которых она дает (а(а)з (бир)и ) 1/4, что физически бессмысленно, так как (бир)и во всяком случае не превышает л', а (б(,)и может быть равным нулю. Дело в том, что прн выводе формулы (1) были использованы соотношения (АЧ )'(АЧ ) Нт = ~ иуоАзЧидт, .$ (АЧи)*(ВЧг) дт = ~ Ч *АВЧ' дт — * и аналогичные им с взаимной перестановкой А н В.
Обоснование их состояло в ссылке на эрмитовость операторов. Однако если иметь в виду результат предыдущей задачи, такая аргументация обоснована лишь в случае самосопряжеиных операторов, а для операторов физических величин, представляющих самосопряжениое расширение эрмитова оператора (таковым является /,), требуется большее: необходимо, чтобы не только в.
ф. Ч', но н функция ВЧ' входили в область определения оператора А как эрмнтова (н аналогично ЛЧ' по отношению к В). Если этн условна.выполнены, то соотношение (2) сохраняет свою силу. В частности, в рассматриваемом случае операторов [а н ф для этого требуется, чтобы в.ф.
состояния удовлетворяла условию Чг(0) = 'Р(2п) = 0 (при этом Ч' фЧг(~р) входит в область эРмитовостн 1а)! длЯ таких состоЯний спРаведливо соотношение (й(з)з ° (сир)з~ 1/4. Оно допускает обобщение и на случай произвольных состояний; (ц!з)г ° (Йр)з~(! — 2п(Ч'(О) )а)з(4, которое читателю предлагается получить самостоятельно.
!.31. Записав произвольные функции Ч' н Ф в виде Чг * ~ сеЧ'1 и Ф= ~ ЬаЧг( (считаем, для простоты записи, ь а а спектр с.з, иевырожденным), убеждаемся в эрмнтовостн опера- тора Р(Ц: Ф'Р (()Ч'Нт с ~ Ф'Чг( бт сгб< ~ ( Р (У ) Ф] Ч' бт вв ~ ( Р+ ((г) Ф] Чг бт пря преобрааованнях учтена ортогональность с.ф. оператора () Из соотношений Р (!г)Чг Р(()(с Чг! ) с Чг! Р(! )Ч' следует, что Рз (!г) = Р ®; таким образом, Р (1 ) — проекционный оператор, проектирующий на состояние с определенным значением (~ физической величины !. Далее, легко находим Р((г) $ Ж'Р(( ) Чг Нт ( сг ! ~ (с((!) ( (считаем з.ф.
Ч' нормированной на !), т. е. среднее Р ((!) дает вероятность значения (с величины ! в рассматриваемом состоянии. Очевидно, что Р ((()) ~" Р (у! ), Так как Р (( ] Р (( ) е = ЬмРЦд то прн этом Рз(())) Р((!)), как н следует. Имея в виду, что операторы, входящие в полный набор, взаимно коммутнруют, нетрудно сообразить, что Р(!! ка " 11)=~((Г)'Р(ка) ! (11). 1.32.
Па смыслу проекционного оператора Р(хз -ь а) должно быть РЧг(х) = Ч"(к) для х рэ а н РЧ'(х) 0 для х ( и. Отсюда Р(хз ) а) = г)(х — а), где з)(г) — стУпенчатаЯ фУнкцнЯ, РавиаЯ з) = 1 пРи х) 0 н г) 0 пРн х(0. Очевидно, Р(хз )а)— эрмнтов оператор и Рг(хз ) и) Р(хз,,м а).
1.33. Эапншем пронзвольнув фуикцвят в виде суперпозиция четной н нечетной составляязпгих: Ф (г) (Чг (г) + Ч ( — г)))2 + (Ч'(г) — Ч' ( — г))/2. так как по смыслу операторов Ра должно быть Реч' (ч'(г)~ ~ Ч ( — г))/2, то онв имеют вид Р =(1 ~ 1)ГХ. При етом Ф~~ Ра, а также Ре+Р- 1.
1.34. Оператор Р с ндром Р(х,х') = с)(х)1'(х ) где с ~ )1(х))~Ы«, является проекционным. Он проектирует на состоаиие, описываемое в Ф. Ч'а(х) ~ г (х). 1.36. Пусть сначала 31 2. Пря атом нз условна Р ((~) Ч'1, 0 следУет, что Р(),) а(1 — (з), а Яз УсловиЯ Р((,) Ч'1 Ч'Л наводим а = (г, — 1 ) . Обобщение иа случай произвольного лг очевидно: з-! где штрих у символа произведения означает отсутствие сомножителя с Я = й 1.36.
Чг (г) *= Ь(г — г,), Ч' (г) = (йиЛ) ~1~ вар(гр г/Л), Ф (Р) (2нй) ~з ехР ( — (Рго(Л), Ф (Р) = Ь (Р— Р ). 1.37. Ф (Р) т' а~)В С ехр ( — 1 (Р— Ро) хо(Л вЂ” а' (Р Ро)з)2Лз). 1.33. Искомая вероятность г Р в = ~ ~ ~ ( Р(х, р, я) ~збхдр„б«, Р(х, р„, х) (йяй) 1з~ Ч'(х, у, х) ехр( — (р р)Л)НР, причем функция Ч' предполагается нормированной на 1.
1.39. 1) В координатном цредставленнн Ч'з(«) 1Ч',(х) яе м Ч',( — «). Умножив зтн соотношения на Чгр (х) (2пЯ) Вт ехр( — (рх/Л) и проинтегрируем по х. В результате получим Фз(Р) ХФ~ (Р) ея (йпй) от ~ екр(-1рх)Л) ЧГ~ ( — «) бх, (1) где Ф! я(р) ~ Ч'я(х)Ч'! я(х) с(х —.в.ф. ц нмцульсном' представлении.
Замечая, что интегрвд в (1). равен Ф,( — 'р), имеем УФ,(р) =— Ф~( — р), т. е. У, в импульсном представлении также является оператором отражянця. Аналогично находим н для другнк операторов: 2) ТаФ (р) ~ехр (1ра)й) Ф (р)! 3) й(сф (р) — (1!Чlс ) Ф (р/ч/с) 4) КФ (Р) Ф* ( — Р)! 0) Р!яФ (Р!, Ря) . Ф (йя, Р!).
1.40. Так как рй-ь — 1; то ''(юХ/сЬ) (р-гЧг(х)) ((гй)Чг(х) Интегрируя в пределах от — оэ до .с, находим явный вид оператора ))-1 в.координатном представлении: .х 1 — Ч'.(х) = — ~ Чг (х') ох'. р . й С другой стороны, интегрируя в пределах от х до оэ, получаем несколько иное соотношение: (2) Однако для функций, входящих в область определения оператора. р-', оно совпадает с (!).. Такие функции должны удовлетворять соотношению ~ Ч' (х) с!х = О, обеспечивающему обращение в нуль функции Д-'Ч((х). при х- ~со, как этого требует условие') ~ ) )Ч') Нт < со для всех функций из области определения )У! оператора ) (см.
1.29). Заметим, что с. ф, оператора-р-к являются, как и следовало ожидать, с.ф. оператора имйульса. ') В импульсном представленйн р = р н вто условие принимает вид '~ р я) Ф(р) (эцр < оо', отсюда Ф(0) О, что тождественно ~ Ч'(х) г(х = О. 208 Аналогично для оператора Я-1 в р-представлении поаунаем М Р вЂ” Ф (р) — Ф (р') Нр' = — — ~ Ф (р') г(р', к О ~ Ф(р) Ар=с (см, задачу 4.15, в которой это соотношение используется при решении уравненив Шредингера в импульсном представлении дли частицы в кулоновском потенциале).
1.41. Приведем ответ: = [2аай (р — р')~] 1 Для оператора Оз = з аналогично находим гз йз(г, г') ' г-Ч (г — г') н Оз (Р, Р') = [4пй' ( Р— ' Р' 1'1 (по поводу вычисления интегралов см. Д1.4). Читателю предлагается показать, что ба = С1.6, (в импульсном представлении). 1.43. Обозначим Чгл (4) н Чгл (д) с.фч операторов' А 'и'В л 6 в некотором д-представлении, а Ч'(о) — в.
ф, произвольного состояния. В. ф. этого состояния в А- н В-представлениях, а(А,) й Ь(В ), определяются соотношениями а(А )= ~ тл т ~(т, (1) Ь(В„)=~Ч' Ч Ат Чг (д) = ~~~~ а (А„) Ч'л (д), а Чг(4)=~~~ Ь(В )Ч( (4) ш' (для простоты записи мы ограничились случаем, когда спектры операторов А и  — дискретные н невырождеиные). Е(р, р') =(2пй) з ~ ~ ехр(1(р'г' — рг)/А) Е(г, г') Ы)где, Е(г, г') =(2пй) $ $ ехр(1(рг — р'г')!А) Е(р, р') Азрг(зр'. 1 1,42.
Оператор 6, =ь — имеет в координатном предстаале- Г ннн ядро 6,(г,г')= гс'б(г — г'), а в импульсном представлении (см. 1.41) его ядро 6 (р, р') (2пЯ) з $ г 1 ехр (1(р' — р) г/й) Нр = Взяв в качестве»Р с.ф. з»в, яахолнм согласяо (1) ее внд а в А-представленвв нв (Ая) $»рл„(4)»рва (4)»(т (2) я аиалогнчно получаем ввд с, ф. тул в В-представленнв л ьл„(В») - 1 'Рв, (д) ч'л„(4) лт. (3) зрА'- зр(ОАО+) = зр(АО+О)- зр А. Из выражений (2) н (3) вытекает а»! (А„) Ь,» (Ва); как яллюстрапню этого соотношення см.
задачу 1.36. Из установленного результата следует равенство вероятностей шв (А ) э) ~ ав (Ая) ]з ~ Ь,! (В») ~ ю,! (В») (его приложения см, в 3.14, 3.33). 1.44. Уннтарнымн являются операторы 7, уы Мо Рм. 1.46. Из Оз 0 н 00+ О+О = 1 следует О !Ай. !с! 1, т, е. с схр(!а), а — вещественное число. 1.47. Иэ у 0»0 следует О+ = Ох~О~е, откуда Оу+ = О+У 1 (здесь учтена унитарность операторов Оь»). !.48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
