Galitskii-1992 (1185113), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Из условий как уннтарностя, 00+ 1, так н эрмнтовостн, Оэ О, оператора следует Оз= 1. Таким является оператор, имеющнй с.э., равные только ~1 (сравннть с 1.!7). Примеры: операторы отраження 7 н перестановкн Р,» нз 1.1; матрицы Паули (см. гл. 5), 1.49. Звавшем О (О+ У+)/2+! (Π— О+)/2!. Так как 00+-0+0= 1, ((0+0+) (У вЂ” О+)] О. Поэтому эрмвьовы нпср»~тяпы 0.1-0+ н (Π— у+)/! а с ними н О, могут быть одновременно нрнведены к диагональному воду.
Прв этом а з".нэ бператора 0 удовлетворяют условвю )иэ] ы 1. 1.33, Тан как О+ == ехр( — »Р+) ехр( — !Р), то 00+ О+О:ль 1. Прн этом с.з. иэ оператора 0 связаны с с.з. /» оператора Р: я, ехр(!/ь). 7(злее: а) Х, ехр(!я(Т вЂ” 1)/2); б) Тя= ехр(!нй 'Р)! а) шгр ехр(!й »!по Щ+Рд)/2]. Этн соотйошенвя следуют нз 1.7, см. также 1.57.
1.37, Ий условий О+О 1 н А = ОляО+ следует Аналогнчно де(АА = де1 (ОАО+) = де1(АО+й) де1 А. 1.52. Унитарным преобразованнем эрмнтова матрнца может быть прнведена к днагональному энду. В новом представления, в котором (ехрл), =(ехрА )5,, прнведенное в условия соотношенне очевидно, а в снлу ннварнантностн шнура н детерминанта матрнцы относительно унитарных преобразованнй оно справедлнво н в пронзвольном представленни. 155. С одной стороны, де1(УО+) = де11 1. В то же время де1(йй+)= бе(й де1 О+ н бе( 0+ =бе1О' (де1О)'. Таням образом, ~ бе101 1, т.
е. бе1 О = ехр (га), где сг — вещественное чнсло (этот же результат следует нз свойства с.э, иы см. 1.50). Если ввестн матрицу О' = ехр( — га/М) О, где )У вЂ” ее ранг, то для нее де1 О' = 1. Для оператора О = ехр(1Р) согласно 1.52 нмеем соотношенне де1 О = ехр (1 ВР Р) 1.54. Всего имеется Лгз незавнснмых матриц ранга 51. Очевидно, столько же нмеется неэавнснмых эрмнтовых матриц.
Число незавнснмых унитарных матриц также равно Нт, так как между ннмн в эрмнтовымн матрицами имеется соответствие: О =* ехр(1Р), см. 1.50. Чтобы уннтарная матрнца была уннмодулярной, необходнмо, чтобы Зрр О, см. 1.53, так что число незавнснмых уннмодулярных матрнц, как н число эрмнтовых -1 матриц Р' г' — йГ Зр Р ° 1 с равным нулю следом, равно г(з — 1. 1 55.
Р' ОРО'-О~с,+~сД+~сгал,Яа+ .. 1й' И -с,+ Я с,йЛ,О++ ~ сгаЩЪай++ ... -0. (1) га Учнтывая, что О+О 1, произвольный член суммы в выраженнн (1) можно запнсать в анде „йл,Яа ... л,й -,а „ОЯ,О+ЩО+ ... ОЯ„О+- сш вЛ Яа, Яв так что (1) прннвмает внд се+ ~ сА+ ~ с1алгла+ ° ° ° Р(лг) 0 что по форме совпадает с нсходным соотношением н доказывает его ннварвантность прн унитарном преобразования операторов. 1.бй. Операторы й' = Ох0" и Ф' = Од0« имеют вид: а) Я' =' †, б' = †/); б) Х' = й + а, б' = /); е) х' = сй, ))' = с-'д. Приведеяиые соотношения наиболее просто получить, если воспользоваться координатным представлением. Так для У= Т имеем У+ Т~ Т, см. 1.1, и й'Чг (х) =УйУ Ч'(х) =Т хТ Чг(х) =Т (хЧг(х — а))= = (х + а) Ч' (х) = (й + а) 'Р (х), Отсюда й' = й + а.
Далее д"Р (х) = О ( — /й д/дх) У ~Ч' (х) = — /б Т«(д/дх) Т «Чг (х) = /йТ«(д/дт) Чг (» — а) = — (й (д/дх) Чг (х) так что Р' = Д Лналогичио выводятся остальные соотношения. 1.57. В соотношении 0(а, + а,) = 0(а,) 0(а,) положим а,=а и аз = аа О. Учитывая, что 0(И«) = 1+ /д«Р, находим ЫУ = У (а+ да) — У (а) = 1ЕУ (а) да.
Отсюда, с учетом условия 0(0)= 1, следует 0(а)= ехр(/аР) (то обстоятельство, что в данной задаче не возникает осложнений при решении дифференциального ураввеиия для операторов, связано с их коммутативиостью). При бескоиечно малом сдвиге имеем Те 'Р (х) = Чг(х+ да) ж (1+ да (д/дх)) Ч'(х), так что гЕ = д/дх и Т„= ехр (а (д/дх)). В случае оператора э), введем сначала с = е' и запишем й«, — = М(а).
Зависимость э)(а) от а удовлетворяет условиям рассматриваемой задачи. При этом М (да) Ч' (х) = ехр (да/2) Ч' (е «х) яа яв(1+ да/2+ да ° х (д/дх)) Ч (х) так . что 1Е = 1/2+ х(д/дх) и М« = ехр( — 1 1и с(х.Цд/дх)+ +1(д/дх)х)/2) (сравяить полученные результаты с 1.7). Глава 2 ОДНОМЕРНОЕ ДВИ)КЕЙНЕ 2.1. Уровни энергии и нормированные на единицу с. ф. гамильтониаяа частицы имеют зид /1'а' (а -(- 1)' ' / 2; и (а -1-1) х Е« = 2таз ' э/ а 'Р«(х) = у — Нп а 0<я<а, где и О, 1,:.. (Ч' ~ 0 при 'х ( 0 и х ) О). Искомые средние в л-м состоянии: — Г 1 1 *- л, оч -"' — — ! ) 12 2а (л+1) Х р=б (бр)а=бала(л+1)*/и*.
Нормируя приведенную в условии задачи в. ф., что дает А ц/30/аа, найдем коэффициенты С. в разложении ее по с. ф. Ч' согласно (1. 4): и /60 ( и(л+ 1) х Сл Ч/ — ') х (х и) з!п бх = л 1/ пб и з 1240 1+( 1)л из (л+ !)а Они определяют вероятность нахождения частицы в л-и квантовом состоянии и соответственно вероятность значения Ел энергии: ш(Е,) =)С„)', в частностя, ш(Еэ) ю0,999. Наконец, по формуле (!. 5) для средних получаем Е = бйз/таяла!,01»Е,.
В связи с данной задачей см. также 8,23. 2.2. В этой задаче У = йха/2 — ед'ех ( — еЕэх — потенциальная энергия заряженной частицы в однородном электрическом поле М',)., У. Ш, заменой переменной я = х — ед',/й сводится к у.Ш для обычного линейного осциллятора, что позволяет найти спектр и с, ф, гамильтониана: Ел — — йа(л+ 1/2) — е д'о/22, а = Уй/щ, и = О, 1, Ч' (х) = Чг~~~ (а) Чг~'~ (х — евое/й), см.
(11. 2). Установленный вид собственных функций гамильтониаиа частицы показывает, что как и в классическом случае, действие однородного поля на осциллятор сводится лишь к смешению его положения равновесия. Поляризуемости всех стационарных состояний осциллятора одинаковы и раввы ()э е'/ты'. 2.3. Покажем, что Е(а) ( 0 нри достаточно малых значениях а. Так как Е, ( Е, где Е, — энергия основного уровня, то тем самым будет доказано утверждение задачи. Находим: Т = рз/2т = Маца/2тсо а', а У яка ~У(х) Ых оэапри а-ьО, так что при этом Е(а) из У ( О. 2.4. Обозначим Е (Л) й Ч'.(х,Л) уровни д.с.ис.ф.
гамильтониана Е(Л) = ра/2т+ У(х)+ ЛбУ(х). Согласно формуле (1. 6) имеем (Е„(Л)/,(Л= ~ бУ(х))Ф„(х, Л)) бхРэО,. 21» Отсюда вытекает утверждение задачи, так как Е, Е»(1» = 0), а Е,=Е,(1 1). 2.2. Уровни знергии в симметричном потенциале У(х) имеют определенную четвость, равную ( — 1)". При этом для нечетных состояний прм х ~ 0 у. Ш, и условия Ч'(0) = Ч'(оо) = 0 точно такие яге, как и в потенциале О. Соответственно спектр Е» созна. дает со спектром нечетных уровней в потенциале У, а нормированные с.ф. различаются лишь множителем: Ез Еза+р Ч»а(х) 1/2Ч'за+1(х), х~О, А О, 1, ...; здесь учтено, что четные и нечетные уровни чередуются, а са.
мый нижний — четный (см. рнс. 29). Аз 20 2 Ч ю(х) + (У(х)+ аб(х — х )1 Ч»ю(х) ЕЧ ю(х) (1) Из у.Ш. (1) вытекают непрерывность в.ф. Ч'»(х) в точке хо и разрывный характер ее производной. Величина скачка Чгю оог о з Е » л Ег Рнс. 29 должна быть такой, чтобы 6-функционное слагаемое в 'Гю (производная разрывной функции пропорциональна б-функцнн) компенсировало член аб(х — хо)Ч'г(х») в левой части (1). Проинтегрировав (!) по узкой области хо — а ~ х ( х»+ е и устремляя а к О, находим ОЧ»ю (хо) м» 1рю (хо + 0) Чгю (хо 0) (2л»а/А ) Ч'ю (хр), Ч ю (хр + 0) Ч ю (хр 0) (2) 2.7, Решение ') у. Ш с У вЂ” аб(х) имеет внд Чг =Ае при х)0 и Ч' Воях прн х <01 здесь и=*( — 2п»Е/А»)Уз>0. ') Экспоиенциально растущие прн х-~жсо слагаемые в решении у. Ш. опущены. Испольэуи соотвошевиа (2) предыдущей ведати (с учагом вамеиы в инх и иа — а), находим А В и уравнение даа спектра: и та/йв Из него следует, что прн и с.
О (6 — барьер) связанных состояний иет, а прн а ~ 0 (6 — яма) амаагеа, врачев тоаько одно состоинне д. с. с Ес -шмэ/ййэс ари этом нормированная в. ф. Чгс (х) ц/нсе ш1" 1, где мс та/8' Искомые средние и 2Ее, т Ес, 2=0, (Хбх) 1/2,~~, Р О, (АР)' йт.от В.ф. основного состояния в импульсном представлении Г Фс(р) = —,— ~ Ч'с(х)с '*' «х= ..., (1) „/2— .Л ) 'Ъ/ЯР + й ме) сравнить с 2.17. 2.8. У. Ш. заменой переменной х Р(х — Е/Рс) с (2пгРс/Ас)пс прнводится к виду Чс"(х) — хЧ'(х) О. Его решением з), убывающим при х (и х)- +со, является функция Эйри А1(х). Соответственно Ч'(х) сА1(()(х — Е/Рс)), прн этом граничное условие Ч'(0) = с А1 ( ОЕ/Рс) 0 определяет энергетический спектр.
Обозначив — аю где й = 1,2, ..., посяедовательность нулей функции Эйрн (они отрицательны) в порядке возрастания аь находим уровни энергии Е„- (йтРте/2т)ВЭ а„+ и п-б, 1, ... (1) В частности, учтя значение а,ж 2,338, получаем для основного уровня Езм 1,858 (А ге/ги) с . 2.9. У,Ш. сводится к гнпергеометрическому уравнению хв" + (1 + 2на — я) в' + ( — ма — 1/2 + Ь()/2) в О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
