Galitskii-1992 (1185113), страница 41
Текст из файла (страница 41)
для Е = О, удовлетворяющее граничному условию Ч'а=з(+со) = 1. При х-~ — оо зто ре. шение имеет вид тра=а = Ьх+ 3, где постоянные Ь, д определяются конкретным видом потенциала. Сравнивая [!) с приведенными выражениями для Ч~з. и находим !Ь(! — А) ЬВ, 1+ + А ИВ. Отсюда А яз — 1,  — 2ГЬ/Ь, так что') при Š— 0 В(Е) = ) В )' йглЦЬ'й'оо Е. (2) Полученный результат теряет силу при Ь = О. В атом исключительном случае у.Ш. для Е = 0 имеет решение, которое не нозрастает как при х-ь+сс, так и к-~- — ос Такая ситуация может иметь место только а том случае, когда при малейшсм углублении потенциала в нем возникает новое по счету состояние дискретного спектра (см.
2.13). Для потенциала из задачи 2.31 имеем: Ч'г=~ = 1 при х ) л; Ч'и о — — с(т (3(х — а)) пРи 0 < х <а (здесь $= у/2глаз(/о/Ьт), Ч'и „вЂ” — с(тра — ($зййа) х при х <О, так что Ь = — $з)!3а и В(Е) на(4Е/(/з) зй $а при Š— ьО, что совпадает с результатом точного решения (для перехода к потенциальной яме следует под (/з ) 0 понимать ее глубину и заменить зп 3а на з!п $а). 2.40. У,Ш. для Е = 0 принимает вид юа(а) + азы (а) = О, где $ = ц/! + 2глаз(г,/йт. Теперь не представляет труда найти в. ф Чгс=,(х), удовлетво. Ряющую гРаничному условию Ч'з з(+ос) = 1: Ч' = (ц/хз+ аз/йп) з!п (й (и/2 — агс1п х/а)).
(!) Так как Чга=рю — ха!п(пй)/йп при х-~ — аа, то согласно пре. дыдущей задаче находим для медленных частиц В(Е) ян ж8лг(йп)зЕ/йза!пзп$. Это выражение неприменимо при п3 = = пйГ (йг — целое), или 2пган(/о/'йа Мз — 1. (2) Условие (2) определяет значения параметров потенциальной ямы, соответствующих появлению нового, Ж-го по счету уровня д.с., при ее углублении. г) Формула (2), как и асимптотики (!) в. ф., справедлива в случае потенциалов, убывающих при х -ьщ со быстрее, чем 1/™(х('. 235 Отметим, что для перехода от ямы к барьеру в полученном выражении для 1)(Е) следует под — Уэ понимать его высоту и заменить йаа)п-зяб на — йэай-'я(Ц при $э.- О.
2.41. У.Ш. в импульсном представлении и его решение, нормированное на й-функцию от энергии, имеют вид (Р /2аг) Фн (Р) (йраФй (Р) = ЕФн (Р), Фн(Р) =(2яйро) екр [ — (Р )бгн"Ео+ (ЕР)йро~. Значения Е, для которых соответствующая в. ф. в координатном представлении удовлетворяет условию Ч'т(х = 0) = О, или ч,(х=й)= ~Фн(Р) )Р= 1 — и = С ~ соэ (Ер)йрэ рз)бтйрэ) НР = О, определяют энергетический спектр для потенциала из задачи 2.0 (совпадение результатов при этом следует из интегрального представления для функции Эйри; отметим, что для таких связанных состояний Фг(Р) уже не является в.
ф. в импульсном представлении, сравнить с 4.15). 2.42. Имея в виду результат задачи 2.20, в которой была найдена функция Грина 6г(х, х') при Е ( О, замечаем, что нс. комые функции 6н при Е ) 0 могут быть получены непосредственно из выражения (!) указанной задачи, если в нем положить — 2 ЕЭ Ч Г Чр Е!М' О, т. е.
6н (х, х') = ш — ехр(~И) х — х'(). гт йзй Отметим, что функции Грняа 6й при Е ) 0 и 6х при Е ( 0 можно рассматривать как различные граничные значения единой аналитической функции комплексной переменной Е 6н = ( ч(/ — ех ~1 ~/ — ! х — х'( ~. 236 Точка Е 0 для нее является точкой ветвления. Проведя разрез вдоль вещественной полуоси плоскости Е ат Е = 0 направо, как на рис. 30б, замечаем, что на верхнем берегу разреза на физическом листе (см. по этому поводу задачу 2.30) функция дз совпадает с б~~, на нижнем берегу разреза — с бй, а иа полуоси вещественных отрицательных значений — с Оз из задачи 2.20.
Отметим также, что на физическом листе ~бз)- 0 при (Е) -ь а вдоль любого направления. Функции Грина Ой (р, Р') в импульсвом представлении имеют вид Оф (р, р') = б (р — р')((р )2т — Е ~ те) (2) (сравнить с 2.20), здесь в ) 0 — бесконечно малая величина. Дифференциальное у. Ш. с граничными условиями вида (П. 4), соответствующими процессу прохождения н отражения частиц с импульсом р через потенциал, эквивалентно интегральному уравнению Чг+ (х) =в~я"(» — $ онт (х, х') У (х') 'Р+ (х') Их' (3) (сравнить со случаем состояний д, с., рассмотренным в 220).
Первое слагаемое в правой части (3) описывает падающие частицы, а интегральный член на больших расстояниях х-~- шаа описывает как отраженные частицы, так и изменение в. ф. прошедших частиц пад действием потенциала (чтабы убедиться в этом, следует рассмотреть аснмптотнку второго слагаемого при х- ~аа и учесть, что й =)Р)/3). Для потенциала У= аб(х) уравнение (3) принимает вид Чг~ (х) = в РЮ вЂ” — ег» ! ! Чг~ (0), (4) Отсюда находим Ч'+ (0) (а тем самым и Чг+ (х)): Ч'+, (0) = (1 + (агаггй») (б) следующие из (4), (б) значения 0 и Я совпадают, естественна, с полученными ранее в задаче 2.30. 2А3. РассмотРим интегРал ! (х, х') = ~ Ч'р (х') Ч"р (х) г(Р, — ч считая в.ф. Чг" (х) нормированными на б(р — р'). Они лишь множителем (2пй)-ыэ отличаются от в. ф.
(4), найденных в предыдущей задаче. Учитывая это, запишем интеграл в виде: га (г / ехр(-1(йх' — )йх))] 2п,) ( )й)+(а ехр (1 (йх — ) йх' ) )) )й) — та + 2 () й) — 16) — О2.*.'.)=пью) (ч 2 ( ) й ) + 1а) где сс = нгсс/Лз. Первый интеграл в (() равен 6(х — х'), во втором же проделаем следующие преобразования. Замечая, что он является четной функцией х н х', заменим их на )х) и )х'); разобьем область интегрирования на две: ( — ьа,О) и (О,оь), и после простых алгебраических преобразований приводим его к виду га '( ехр[гй()х)+)х'))) 2п,) й + 16 (2) Так как а ~ О (б-барьер), то, замыкая контур интегрирования в (2) в верхнюю полуплоскость, находим, что этот интеграл равен нулю, Таким образам, 1(х,х') = 6(х — х'), что и выражает условие полноты системы функций Чт~ (х), 2.44.
Сделав в формулах предыдущей задачи замену и на — а, имеем (а = лга/йз ~ О): Ю Ч'(+Ы (х') Чгр+ (х) г(р = 6 (х — х') + Ф О (й '( ехр(16()х)+)х') )) 2п й — 1а — а ехр(-а () х)+) х'))) = — Ч'о(х') Чге(х). ') Интеграл вычисляется с помощью вычетов замыканием контура интегрирования в верхнюю полуплоскость.
238 Учитывая значение интеграла в правой части ') и вид нормированной в. ф. Ч'э(х) единственного состояния д. с. в 6-яме (см. 2.7), замечаем, что второе слагаемое справа в (!) равно Таким образом приходим к соотношению Чге(х')Ч'о(х)+ ~ Чг~~+Р(х')Ч'р (х)бр=О(х — х'), — Ф выражающему подногу системы с. ф. гамнльтаниана в случае б-ямы. 2.45. Искомые функции Грина удовлетворяют уравнению Яз г)з — — — + об (х) — Е1 0 (х, х') = б (х — х') (1) 2гл охз н и соответствующим граничным условиям. Используя общий метод их построения (см., например, [13, с.
1Зб]) и учитывая, чта в поле отталкивания отсутствуют состояния д. с., имеем а = ~~ Ч"("*( ')Ч ( ) и 3 Р * Р рз — 2т(Е~(у) (2) (у ~ О бесконечно мало). Здесь Ч'" (х) — нормированные па р б(р — р') в. ф,, описывающие процесс отражения. Подставляя их явное выражение (они без множителя (2пй)-Ыз приведены в 2.42), получаем т ~ ехр (рй (х — х')) й' — (йб (у) (та '( ой ) ехр ( — 1 (йх' — ) йх ( )) Я',) й' — (й'о~ту) ~ (й)+Ка ехр (1 (йх — ) йх' ( )) ехр ( — 1 ( ) йх' ( — ( йх ( )) (й) — (и 2((й) — сб) 2 ( ( й ) + (о) где о та/Я', йт = 2тЕ/Яз. Первый интеграл здесь представляет функцию Грина свободной частицы (см.
Д!.3 и 2.42) Ой „= ~ г оlт/23 Е ехр (сс 1 оу 2тЕ) Я ) х — х' () (4) 239 (отметим, что ~ ч(Е = цlЕ~!у и для перехода ат значений Ел О, для которых и приведено это выражение, к Е.- О следует просто заменить ' 1 ~/Е на — ц)( — Е)).
Второй интеграл в (3) (фактически сумму четырех интегралов) можно упростить, если заметив, чта он является четной функцией к и к', заменить их на (х(, (л'( и затем разбить об- ласть интегрирования на две: ( — оо,О) и (О, оо). При этом про- исходит взаимное сокращение большинства слагаемых, так что весь второй интеграл в (3) приводится к виду (та ) ехр ((й ( ) к ) + ) к' ) )) Ий айз,) (йз — (йз, т 1у)) (й + (а) ' (5) Его легко вычислить с помощью вычетов замыканием контура интегрирования в верхнюю полуплоскость.
При этом внутри контура имеется лишь один пачюс в точке А = ~не+ ку (при Е(0 полюс в точке й = 1(йч)) и выражение (5) оказывается равным та ехр (ш 1/гз((х)+ (к') )) й йч ж Ао+(а Окончательное выражение для функций Грина имеет ввд Ой = ~/ †„ Е ~ 1 ехр ( 1 ~ / й, ( х — х' !) + та ехр (ш (ч~2тЕ/ФР((х(+(х'()) ~ (щ т/2тйзЕ +(та) 240 Точно так же, как и в случае свободной частицы, найденные функции Грина можно рассматривать как граничные значения единой функции дл, рассматриваемой как функция комплексной переменной Е и получаемой из (6) опусканием знаковых индексов (пс) (сравнить с 2.42).
Отличие аналитических свойств дг в данной задаче от случая свободной частицы состоит в на. личин у нее полюса в точке )/Ез — — — га Ч/т/26з, т. е, Е, = = †т/2йз, причем так как а ) О, этот полюс находится на нефизическом листе и отвечает виртуальному уровню (сравнить с результатом следующей задачи). 2.46. Из уравнения для функции Грина частицы в 5-потенциале и граничных условий следует, что полученное в предыдущей задаче выражение (5) справедлива при любом знаке а, т, е как для барьера, так и ямы. При этом в случае потенциала притяжения полюс бг находится уже на физическом листе и Ез совпадает со значением энергии уровня, существующего в б-яме. Отметим, что если иметь в виду формулу (2) предыдущей задачи, то переход от барьера к яме состоит не только в замене а на — а, но и в добавлении к правой части слагаемого 'ро (х') Ч'о(х)/(Š— Ео), отвечающего связанному состоянию, Однако теперь при вычислении интеграла (5) с а ( О внутри контура появляется еше один полюс в точке й, = 1)а).
Вклад от этого полюса компенсирует указанное дополнительное слагаемое, что и обеспечивает справедливость формулы (6) при любом знаке а. 2.47. Уравнение для функции Грина в импульсном вред- ставленни ( — — (Е ~ ру) ) 6~3 (р, р') + а +25 ~ 6п(Р Р)Р =б(Р Р). П) Здесь учтен внд оператора 6 (си. задачу 2.!7) и введены добавки ~!у к энергии, обеспечивающие выполнение требуемых граничных условий (сравнить с 2.45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
