Galitskii-1992 (1185113), страница 44
Текст из файла (страница 44)
1» (в частных случаях, когда т = *1, где 1 — момент частицы, одна из этих функций равна нулю тождественно). Из ортогональности с. ф. следует Отсюда 1» ~ 11в — О, или 1» — — 1д — — О. Второе из соотношений (1) эквивалентно равенствам нз которых следует, в частности: [„[„ + [„[, = б, 3.11. Так как ! + (~~ = 1 — ! = 1 (1+ 1) — т, то с учетом результата предыдущей задачи (з = (х =[1(1+!) — паз)/2. Далее, оператор проекции момента на ось з имеет вид »»а — — сова ° »» +з!пасов(3»» + ми а з!п(3 ° »»в, (1). где а, () — полярный и азнмутальный углы направления оси й Усредняя оператор (!) по состоянию Чт,, находим 1в юсова (согласно задаче 3.!О 1„=1з О).
Отметим, что для справед. ливости этого соотношения предположение об определенном значении 1 не является обязательным. Наконец, учитывая прн усреднении оператора эх результат предыдущей задачи, нахоФз дим 1-, асними 2 (/с/а)~ 1з — 1з = — (1(1+ !) — тз) э!и а, 3.!2. Приведенное соотношение следует непосредственно из (!И.6), если в последнем положить 6' = 6, <р' = ~р; прн этом сова = 1, Р~(!) = !. 3.13, В, ф. состояния с моментом 1 и проекцией /, = О имеет вид Ч ! 1 э (п) = ((21+ !]/4п)~~Р! (соэ6). Замечая, что з сов 6 = пй, где й — орт вдоль оси з, и имея в виду равноправ.
ность всех направлений в пространстве, получаем Ч' г 1 =((21+ !)/4п)~/эР1 (пп ). Значения коэффициентов в разложении этой з. ф, по шаровым функциям уо (и) непосредственно следуют нэ (П!.6) и вероятность значения 1. = т оказыьастся равной ш(т) =(4п/(21+ !)) (У~,„(пэ) (з (она зависит только от угла а между осями г и 2). 3.!4. Согласно !.43 имеет место соотношение (при этом речь идет о 11 - и !1лэпредставлеииях): ш (т,; т, а) = шэ,э (тг а) где ш, (шг а) является вероятностью значенияпр оекции т, на ось г в состоянии с определенным значением проекции тз иа ось 2.
Эта вероятность зависит только от значения (сс) и поэтому ш1, (шг и) = сес(гпз; гпг ц). Из приведенных двух соотношений н следует утверждение задачи. 3.!6. Вид проекционного оператора Ц( где штрих означает отсутствие сомножителя с т = М, следует из результата !.35. 3.!6. Из соотношений /,/з — /ь/, =/егьэ/и с учетом формулы 8 р (АВ) = Зр (ВА), следует 8 р 1; = О (сравнить с !.Б). 262 3.17. Матрицы Ез представляют векторный (точнее, псевдо. векторный) оператор, а их произведение ЕзЕ» ...
Е, — тензорный оператор. После взятия шнура такой оператор становится обычным числовым тензором, выражающимся лишь через универсальные тензоры бг* н езм, так как никаких других векторов и тен. воров в условиях задачи не существует. Поэтому имеем: и) Бр Ез = О; б) Зр(Сзбз)= Абм, значение А находии, взяв свертку по индексам з и й: ЗА = ЗРЕз= Е (Е+ Ц Зр! = Е (Е+ Ц (21. + Ц; е) Зр(ЕзЕзЕг) = Ва, г', для определения В имеем ЗР(ЕзЕзЕз) ЗР(ЕзЕзьз) ' ЗР(Ез) = 3 ЗР 1. = 1Е (Е + Ц (2Е + ! )/3 (здесь использовано соотношение ЕзЕз — Е,Е, = 1Ез)! в) ЗР(Е ЕаЕзЕ )=Сб О +Сбггб +СО б и (и Для определения С, выполним сначала свертки по з и /з, а также по 1 н т, н получим ОС, +ЗС,+ЗС,= Зр(ЕзЕз) =(2Е+ Ц Ез(Е+ Ц.
(2) Затем возьмем свертки по 1 и т, а также й и й ЗС, + ЗСз+ 9Сз = Бр(ЕзГз) = (2Е + Ц Ез(Е+ Цз. (3) Наконец, свернем ') по индексам 1 и 1, а также й и пп ЗСз+ 9Сз+ ЗСз =(2Е+ Ц Ез(Е+ Цз Е(Е+ Ц(2Е+ Ц (4) Из (2), (3), (4) следует Сз Сз =(2Ев(Е+ Цз(21-+ Ц+ Е (1. + Ц(2Е+ Ц)/ЗО Сз = [/.з(Е + Цз(21-+ Ц вЂ” 21 (Е+ Ц (2Е+ Ц)/15. 3.18.
В. ф. состояния с 1 = 1 и 1, = О есть Узз(п) оз эсозО= пй, где !г — орт вдоль осн г. Ввиду равноправности всех направлений в пространстве для перехода к случаю 1х = О следует просто заменить к на пз — орт вдоль оси У, так что (сравнить с 3.13) зР1 з ш о = 1(3/4п) (поп) = з/2 = 1 (3/4п) ~/ (соз О соз а + зги О ып а соз (ф — 3]), ') ПРи этом в (Ц Удобно подставить ЕаЕ = 1.
Х +!аз! Е и воспользоваться соотношением в) и равенством е„ага -— 6. Ыв 1ва 3.19. Имея в виду выражения для У~ и равноправность различных ориентаций системы координат, искомые в.ф, можно получить с помощью циклической перестановки переменных х, у, а. Так / 3 у~!х Ч' !' !х з/ Зл г / 3 л~/ — (з!п 0 з!п ф ~ !соей). )/ 8п Аналогично устанавливается внд и других в. ф. (см, также 3.18). 3.20. Обозначив через в(~1) вероятности проекций момента т = т1, согласно 3.11 имеем 1з= ~' в(т) т= в(1) — в( — 1) = т сова, Я в (т) тз в (!) + в (-!) = т + (1 — Зтя/2) з!и а.
Отсюда в (1, т) = — в (1) = (2тз+ 2т сов а+ (2 — Зтз) з!па а]/4, в ( — 1, т) = — в (-1) = [Зтз — 2т сов а+ (2 — Зтз) з!из а]/4, в(О, !)=1 (И, ( И. 3.21. В. ф. Ч'! з(В, ф) (! 1, 2, 3) имеют вид (а=Ее/3/4п)с ! Ч'! о = У)о — — аа/г = а соз В; Ч'! — — ах/г = а з!и 0 соз ф; х Ю х О Ч'! е — — ау/г = а з!и В з!пф з и их независимость и полнота очевидны (в случае ! = 1 имеется трн независимых в. ф.). Легко заметить, что различные в.
ф. Ч'! с ортогональны: Чгз,.-оЧг! =о "11 = бт з и поэтому коэффицяенты С~ в разложении произвольной, нормированной в. ф. %=1 по этим функциям определяют вероятност в(!) =(С~(з того, что проекция момента на йю ось равна нулю. Отметим, что этот результат не имеет непосредственного отношения к обычному разложению произвольной в.ф. в ряд по с.ф. эрмитова оператора! 254 3.22.
По формулам (П1. 9) для Е = 1 получаем а г Обозначив Ч'е о — — ~ Ь ~, имеем уравнение на с. ф. в виде к с 0 !/~ 2 0 о Ь/З/2 ззхзге =о 1/!/2 0 1/!/2 Ь = (а+ с)Я2 0 1/Ч/2 0 с Ь/З/2 Отсюда: Ь = О, а = — с, причем для нормировки в.ф. на единицу следует взять (а(= 1/т/2. 3.23. Так как с.з. Е, н Ег прн Е = 1 равны лишь О, ~1, то /„ Е„ и /„ = /в (сравнить с 1.17). Далее, и состоянии с Е = 1 и Е =ш имеем Е„= Ел=О н Ез =Е, (2 — т )/2 (см., например, 3.1!). Отсюда следует: Е'„'=Я=О, если в — нечетное; Е'„' = Ек=(2 — т )/2 при четном в (и > 0). 3.24.
Так кап оператор ~рз! в пространстве векторов состояний с Е = 1 имеет лишь три с. зо О, ~уь то согласно 1.22 следует Ет = ехр (Ефз() = 1+ Е з!и ~рз (пе() — (1 — соз <рз) (пз1)з, (!) где по = фа/фо Выберем вектор поворота фз таким, чтобы в результате вращения ось з исходной системы координат по отношению к осям повернутой системы имела бы такую же ориентацию, как и ось з по отношению к исходной системе. Прн этом в.
ф чгьт (О, Ф) = И'е,„(О, Ф) будет описывать состояние частицы с моментом Е и его проекцией ог на ось г в соответствии со смыслом оператора Е! как оператора вращения системы 255 0 1/.1/2 0 Ез = 1/ц/2 0 1/'!/2 О !/ц/2 О 1 ь-(о 0 'О ц/2 0 /+ = 0 0 ц/2 0 О 0 0 — Е/ц/2 0 Ен = Е/З/2 0 — Е/ц/2 0 Е/ц/2 0 0 0 0 0~); (1) 0 — 1 г Р = ч/2 0 0 координат, Нетрудно сообравитть что для этого следует выбрать ~рз (сза!п(), -ассар, 0). При этом )г 1+! 3!ПО(г» 5!п р !ясов!з)— — (1 — соз а) (1» з!и р — 1я соз О)з и для в. ф. Чгж о=)су!о, воспользовавшись выражениями для О и явным видом Ум, после простых вычислений получаем Ч'ж е 1 т/3/Зп(саз а созО+ з!и аз!п О сов(ф — р)) (2) в согласии с результатом задачи 3.18.
325. Для Р(ш) имеем выражения (сравнить с 3.!5); Р(О) =1 — Е',, Р(~ 1)-('!',~ (,)/2. (П Проекционные операторы Р(ш) получаютсн из выражений (!) заменой ! иа оператор 1, имеющий внд !я=по) созе! -(-сйпасозф„+з!вамп()/„, пз — орт вдаль оси г, а и р — полярный н азнмутальный углы направления пэ В частности, для оператора Р(т = 0) в 1»- пред. ставлении, воспользовавшись формулами (!) нз 3.22, получаем Р(ш=О) = (з!и а)/2 — е зб(з!п2а)/2 т/2 — е ~~3(з!п а)/2 = — е Р (з1п 2а)/2 Н/2 соз а е !б (з!п 2а)/2 у'2 — е~~й(з1п а)/2 е~б(з!п2а)/2 (/2 (з!и а)/2 Подействовав этим оператором иа произвольную функцию (которую удобно выбрать, например, в виде Ч' = ~ О ~), иа- О/ ходим с.
ф. Ч'ш е —— СР (т = 0) Ф оператора 1 . отвечающую с. з. 1е — 0; (з!и а)/(/2 Чщ о — е ! созп -ез Р (з!и а)/Ч/2 где С = ч/2/з)п а выбрано для нормировки в. ф, на 1. При а и/2 и р = 0 функция (1) воспроизводит результат из 3.22 для в. ф. Ч'1 о. Далее, учтя вид шаровык функций У,„(п) (см. (П1.7)), замечаем, что в.ф. состояния (1) в координатном представлении, Чг ~ сту,т, лишь фазовым множителем отличается от найденных ранее в 3.18 и 3.24 другими способами. 3.26. Оператор момента системы из двух частиц имеет вид !. =1, + 1, = -1(гсЧс) — 1(ггЧг). (1) Перейдем от гь гг к новым переменным г, (е; г = гг — гс, !(= (тсгс + тггг)/(юг + тг).
гс = !( — тгг/(тс + тг), гг = )(+ тсг/(тс + тг). Так как Ч, = (тс/(т! + т )) Чн — Ч„, ч = (т,/(т, + т )) ч„+ ч„, то оператор (1) можно записать в виде "= — '(ГЧ вЂ” '[Ври) где первое слагаемое является оператором момента системы двух частиц в с. ц. и., а второе представляет оператор момента, связанного с движением центра масс. 3.27. Из соотношения 1. =1с +1г следуют выражения 1,1, = (Е' — 1', — 1,') /2 При тс = 1с, тг = 1г — 1 возможны лишь значения суммарного момента Е, = 1, +1г и Ег = 1, + 1г — 1.
Так как прн этом в(Ег) = 1 — в(Ес), то, с учетом (1), имеем 1. ~' в (Е) Е (Е + 1) = Е! — Е с + 21 св (Е!) ь = 1, (1, + П + 1, (1г+ !) + 21, (1, — 1). Отсюда: в(Ес) 1г/(!с+!г), в(Ег) = 1с/(!с+ 1г). 9 В. М. Галяцкна а лр. йб7 У. = (Ег + 1'! — 1,')/2, 1г1. = ( 1г + !гг — (г!)/2 (здесь учтена коммутативность одноименных компонент Е н 1с г). Из них непосредственно видно, что в состояниях с определеннымн значениями !., 1о !г рассматриваемые скалярные прог г г изведения также имеют определенные значения. 3.28. Коммутаторы имеют такую же структуру, как н в З.б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
