Galitskii-1992 (1185113), страница 48
Текст из файла (страница 48)
4.10. В рассматриваемой задаче ((С вЂ” 0 при г Ф 0) нормируемое решение у. Ш, при Е ( 0 имеет вид Ч', = Ае "'/ц/4хг, где х = -У вЂ” 2тЕ/й > 0 (оно отвечает частице, имеюшей момент ! = 0). При г 0 имеем %'о А (1/г — х+ ...)/а/4х. Сравнение с соотношением из условия задачи дает х = аэ Таким образом, если ае ( О, то связанных состояний в потенциале нулевого радиуса нет; при аэ .» 0 имеется, и только одно, связанное состояние с энергией Ео — — й ао/'2т. 3 31 Лля нормировки в.
ф, этого состояния на един>щу следует выбрать А = ц/2а» При этом в. ф, в импульсном представлении имеет внд 0>о="у' йпо/х (Р + й ао) Отсюда следует, что 7 = р~/2т = оо, соответственно 17 = — оэ (7+ 0 = Е,). 274 что определяет энергетический спектр частицы. Левая часть в (1) при х-»0, когда уровень имеет сколь угодно малую энергию, принимает вполне определенное значение, равное (21+ !)-'. Это означает (как н при 1 = О, см. 46а)), что при $~)$~ =(21+ 1) имеется лишь одни дискретный уров> вень (с данным 1). Используя формулы для асимптотик 1„(г) и Кч (г) при и-» 0 и г-» сс, из (!) получаем обобшение результата (!) из 4.6 на случай состояний с 1 ~ 0: 4.11. Энергетический спектр состояний с !~0 такай же, как и в случае одной ямы, см.
4.9б). Прн! = 0 решение у. Ш., удовлетворяющее условию Ч'(а) = = О, имеет вид Ч'=А з!па(г — а)/г. При г-оО его асимптотика: Ч' нн — Л гйпда(1/г — йс1дйа). Сравнив ее с соотношением из условия задачи 4.10, определяющим п. н.р., получаем уравнение для спектра з-урозней; й = (/2тЕ/До. (1) йа с19 йа = аоа, Отсюда прн ао = шоо следует йа = (л, + 1)и, что воспроизводит спектр а яме (см.
4.1), а прн а = оо в случае ао ) 0 имеем до=!тао, т. е. Ео = — й ао/'2ш — уровень в изолированном п. н. р, 2 е! (при Е ) 0 спектр уже непрерывный). Рассмотрим некоторые следствия уравнения (1). 1) Прн (аоа(» 1 в области значений йа « (а,а( (не слишком сильно возбужденные уровни) «ямные» уровни испытывают лишь небольшой сдвиг за счет действия п. н. р, Записав прн этом да =(и,+1)и+а, где )е) « 1, из (1) находим Е„о си Е!о'оХ Х (1 + 2/аоа). Если ао ) О. то имеющийся в п.
н, р. уровень также испытывает небольшой сдвиг, равный ЛЕо мо — 4е ' Ео. 2) Прн а,не„! ситуация совершенно иная. При этом у имеющегося в и. н. р. уровня (реального илн виртуального) энергия — порядка энергии нижних уровней з яме и, как видно из (1), спектр частицы при совместном действии п. н. р. н ямы сильно отличается от спектров в изолированных и, н. р. н яме: происходит перестройка спектра. В частности, при ио = 0 (когда в п н. р. имеется уровень с нулевой энергией связи) спектр имеет вид Е о = й'по(л, + 1/2)з/2тао.
Эта же формула описывает спектр сильно возбужденных уровней и прн произвольном ао. 4.12. У. Ш. для сепарабельного потенциала удобно решать в импульсном представлении (сравнить с 2.19 и 1.41): — бо (р) — йй(р) ~ и'(р') Ф (р') бор' = ЕФ (р), (1) оо д(р) =(2пй) ! ~/(г) е о'! йр. Из (1) видно, что рассматриваемый потенциал оказывает действие только на частицу с ! = О (в.ф. сферически симметрична). Решение задачи дублирует решение 2.19, В частности, полученные в 2.19 результаты в отношении энергетического спектра связанных состояний полностью переносятся иа данную задачу с единственной заменой в них (н(р)(з на 4пра(й(р) )оЧ(р), где 275 т)(р) — ступенчатая функция.
Так, уравнение для спектра прини- мает вид (2) Отсюда видно, что единственное связанное состояние возникает при А ) Хс йзуз«4пт, при этом его энергия "хо Яу Е, =— — — = — — ~.«!Я)йс — !)т, (4) 2лг 2л! а нормированная в. ф, в координатном и импульсном представ- лениях имеет вид 4ЛЗ. У.Ш. в импульсном представлении имеет вид рз — Ф (р) + ~ и (р — р') Ф (р') йзр' = ЕФ (р), (!) 2лт где (2пй)-з ~ гг(,) -гчг(а ЛР и уравнение (!), с учетом того, что прн ! = !) в. ф. не зависит от углов, принимает внд Ф(Р) Рз з)п Огйдр, (2) или, после интегрирования по 8: рз Г (~ — Е) Ф (Р) = — з)п ( — ) ~ з!п ( — )~Ф (Р) Р г(Р.
(3) о 4хрз(л (р) (з ~1р рз — 2тЕ о Для потенциала Ямагучи 1 = е «'/г, при := ~/2й~я(рз+ Я'у') !. Вычисляя интеграл в (2), (й«+ «72лт ( — Е)) = 4хлгй!«. «гйзхсу (у + х,)' х (Р + йзх~~)(рс + йсу-) / х,у (х, + у) е "" — е ,р, ,) , / г (сравнить с 2.!7). Для б-потенаиала П (д) = — (ао)2хзйз4) з)п (ад)й) ( ! — Е) Ф (р) = па '( '( з!и (а ~lрз+ Р' — 2рр соз В/й) пй' 3 ) .)/Рт+Р' — 2рйсоз6 этом и (р) получаем (з) Отсюда С = ~ з!п (ра/й) Ф (р) р с(р.
(4) о 4таС з!и (ра/Я) Ф (р)оо айр (рз — 2тЕ) ' Условие согласованности этих выражений приводит к соотношению, определяющему спектр з-уровней (Е = — й'к'/2т): оо 4та ! з!пз(ра/й) ЙР =1, или —, (1 — е о") = ам (5) таа -зоч рз — 2тЕ йз о (для перехода от первого из них ко второму следует заменить 2 з!пт(ра/й) на 1 — соз(2ра/й) и вычислить интеграл с помощью вычетов).
Приближенное решение уравнения (5) приведено в 4.8а) (см. также 2,18). Здесь же напомним, что единственное связанное з-состояние имеется при условии таа/йз ) 1/2. 4.14. Решение может быть получено в результате простых замен в формулах решения предыдущей задачи. При этом следует учесть два обстоятельства. 1) Ввиду условия Ф(р) = 0 при р ( р, в формулах (2) — (5) нижний предел интегрирования по р (равный нулю) надо заменить на ро.
2) Связанному состоянию частицы теперь отвечают значения энергии Е < Ее= рз(2т 2~ (а не Е ( О, как раньше), удовлетворяющие уравнению 4та (' з1п' (ра/й) бр=!. пй ) р' — 2тЕ Ро яз з!пз(роа/й) ~ Р— Ро+ 2тз Ро Р г(р Р— Ра+ 2те з1пз (р,а/й) 4Е, 2ро в Здесь е = Ео — Е) 0 — энергия связи частицы. Из (1) и (2) при $ С 1 следует в Ео ехр ( — аров/2РЯ з!пз (роа/й)) Так как левая часть (1) монотонно возрастает с увеличением Е от значения, равного нулю при Е -ь — оо, до значения +ос прн Е -~ Ео (предполагается, что ро чь ппй/а н, естественно, а ) О), то при любых значениях параметров ямы имеется, и только одно, связанное з-состоянне. В случае $ =- таа/йз -ь 0 (мелкая яма) из (1) следует, что Е -о Е„ при этом значение интеграла определяется областью значений р, прилегающих к нижнему пределу, и приближенно равно оо оо (определение предэкспоненциального множителя в (3) требует более точного вычисления интеграла (2)).
Таким образом, прн 4-ьО энергия связи стремится к нулю по экспоненциальному закону оо е отй. 4.18. Сначала у,Ш. для У = — агх иа полуоси х ) 0 с гра. ничным условием Ч'(О) = О запишем в виде такого уравнения, уже на всей оси х, которое при х ) 0 эквивалентно исходному, а при х ( 0 из него автоматически вытекает условие Ч"(х) = 0: ра а йз — Ч'(х) — — Ч'(х) — ЕЧг(х) = — — Ч" (О+) б (х) (1) 2т х 2т (так как при этом Ч'(Π— ) = Чг(0+) = 0 и Ч" (Π— ) = О, сравнить с 2.б, то Ч'(х) ~ 0 при х ( 0). Имея в виду 1.40, запишем урав. иение (1) в импульсном представлении: рз (а 1 — ор (р)+ — ~ бо (р') Ф' — ЕСР (р) = 2т й 3 о Ч" (О+).
(2) 2 (/2М т Дифференцируя (2) по и, приходим к уравнению с разделяющимися переменными, решение которого имеет вид (Е 0) бг (р) = С ехр агс12 2!та р (3) рз+2т)Е( ( 1/2т)Е(й ЭГ2т)Е~ 1 а условие Ч'(0) = (2пй) Чз $ Ф (и) йр = 0 дает спектр уровней: ита та' з)п =О, или Е„=— , л=0,1,... (4) Чlйт (Е) й 2йо (л+ 1)з Для нормировки с.ф.
[3) следует выбрать С вЂ” 1/2(м (та!й (и + 1))з)з Чтобы обобщить полученные «одномерные» результаты на случай з-состояний в кулоновском потенциале, воспользуемся связью и. ф, в координатном представлении Ч"о,оо (г) = Ч'кг(г)~ ЭГ4п г, см. 4.1.
Переходя к импульсному представлению, получаем еро оо (р) = Ч'л оо (г) е ' "(" д)г = (2мй)згз 1 оо Г о (б) 278 где Ф„определяется (3) и (4) с п ме и,. Воспользовавшись соотношением ехр (1 ага!6 ~р) = (1 + <рз) Н + йр (! + ЧР) перепишем (5) в виде (фазовый множитель ( — !) опущен) у~2 812 з1п (2 (пг + 1) ага!6 (Рг Р~ ) ) Фч оа (Р) = Рп тгр аг Р +Ри г ша 6 А(в,+1) (при л, = 0 и а = ез отсюда следует результат 46в)), 4.16.
Воспользовавшись соотношением е — Игпп'У ( ~)бВ ( ) 2 / и г (Д)У вЂ” Р вытекающим из известного разложения плоской волны по полиномам Лежандра и теоремы сложения для последних (НБ 6), и учтя внд функции Бесселя ут(г) при з-~О, получаем Ф„(р) = ~ Е 1аМ~Чг„Г (Г) Л' = СГРГУ, (р) ), 1 (2~6)~~ ~~с где г С = ) "")! (.) б. г 2!тмздсьзгзр (1+ 6)2),) чг! о (сравнить полученный результат Фг со р при Р— ~.0 с соотноше! нием Ч' оо гг при г ь О). 4Л7. Несложный анализ у. Ш, в импульсном представлении Ф (р) + ~ й (р — р') Ф (р') б'Р' = ВФ (р) (1) 2ш показывает, что при степенном убывании У(р) о р "при р-ьсо с л ) 1, в.ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
