Galitskii-1992 (1185113), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ф(Р) убывает быстрее, чем (!(Р). При этом доминирующую роль в интеграле в (!) играет область интегрирования )р') ~ (бра, где а — радиус потенциала. Соответственно, вынося (1(р — р') за знак интеграла при р' ян 0 и используя связь в. ф. Ф(р) и Ч'(г), сразу приходим к искомой асимптотике (1=0)' Ф (р) ян — 2(2пй) 1 тЧг (0) Р ~У (Р), Р-э сю„(2) Вше одни вывод формулы (2), допускающий простое обобщение на случай 1 че О, см.
в 4.18. 279 4.!8. Сначала преобразуем У(р) к виду (положено й 1): чь 0(р) = (4мт(р) ~ гебжу ((г) ) дг. Имея в виду общие соображения о карактере убывания фурье. компонент при р со (см., например [14)), замечаем, что используемые ограничения на потенциал означают, что функция У()г)) — четное продолжение У(г) на область г ( О, рассматри. ваемая как аналитическая функции г, имеет особую точку г = О. При этом сингуллрносгь У(г) ограничена условием У(г)гз -ь0 при г-ьО, где е ) 0 (для У = гз/гз имеем У = а/4яр). Если для такого потенциала записать в. ф.
связанного состояния в виде Чг„ьн (г) г~уг,„(г(г) я„г (г), "г г то й„г(0) = сопя( чь 0 и А'„г(0) < оо. г "г Наличие особенности при г = 0 у потенциала проявляется и в радиальной в. ф. )с„г(г). Существенным, однако, является то обстоятельство, что сингулярность функции Фа г более слег бая, чем у потенциала. Это утверждение является непосредственным следствием у. Ш. В частности, если сингулярная часть У(г) имеет вид УМ1 (г) ян аг (при этом ч ) — 2 и ие равно четному числу, несингулярная часть представляет разложение по целым степеням г'), то сингулярная часть радиальной функ. ции (см. 4.19) (з) 2щп О тьз )(.,! И (ч + 2)(т + 21 + 3) й',г Ф ' и обращается в нуль при г- 0 в отличае от )са г (О).
"г Для дальнейших преобразований удобно записать шаровую функцию в виде (см. 3.41) ггуьа(п) =е; „(щ) х ... х, где е~...» является симметричным по любой паре индексов тенаором ранга 1 с равным нулю следом вн, = О. Для получения искомой асимптотики умножим обе части у. Ш. — — -Е„г)Ч„, (г)--У(.)Ч„,„(г) ( .. Ь на (2м)-Ыаехр( — (рг) и, проинтегрировав па координатам, вы- полним следующее преобразование: ( р„, — Вл,с) "'л,гю(р)- вг — Гт е э'лг ... х„У (г) Мл г(г) Н)г= — — з т аг „ — ...
— ~ г У (г) Р„ г (г) г()г. (2) д д Г -грг (2п)3/2 "° др ' ' ' др Г При р- сс значение интеграла в (2) определяется наличием у функции У (г) 7~„ г(г) особенности при г = О (точнее, г у ее четного продолжения, как и в (1)). При этом наиболее сингулярная часть такой функции, определяющая главный член асимптотики, содержится в У(г). Соответственно, вынося в выражении (2) из-под интеграла )г г(г) в точке г = О, испольл зуя соотношение дй(р)!др, = 2рг дй (р)/др и учитывая равенство нулю следа тензора ею м приходим к приведенной в условии задачи асимптотике в. ф. Имея в виду проделанные вычисления, легко заметить, что полученный результат может быть очевидным образом обобщен и на случай, когда единственными особыми тачками четного продолжения потенциала являются точки г = ша иа вещественной оси (различиого рода модельные потенциалы с резко выраженными границами или изломами): для этого в выражении для асимптотики следует заменить Д„ г(О) на кл г(а).
Однако ие- "Г г смотря иа внешне похожий вид асимптотик в этих случаях, между ними имеется существенное различие. Оно связано с тем обстоятельством, что в случае особых точек г = ша Ф О фурье- компонента 0(р) содержит быстро осциллирующий множитель вида з(п(ра), наличие которого приводит к тому, что все производные О(р) убывают одинаковым образом, так же как и У(р). Соответственно, в. ф. состояний с различными зиачепвями1 при р- ес также убывают одинаковым образом.
В случае же особой точки г = О в.ф. состояния с моментом 1 убывает тем быстрее, чем больше 1. 4.19. Опустив в уравнении (1Ъ'. 2) члены, содержащие У и Е, приходим к главному члену асимптотики; Я„гжР„1 —— С г при г-ьО. 101 г г Для нахождения поправки Ея г имеем уравнение 01 » Отсюда 0) 2та С ьег » (2 — з) (21+ 3 — з) йг л»» Прн з < 0 первая поправка будет определяться уже чле.
ном, содержащим энергию, Если У =— О, то, как известно, )1 = С/г+г/г (йг)/ч/г . разложение этой функции по степеням (йг)' остается справедливым и при наличии потенциала, но лишь до тех пор, пока степень» не превышает значения 1+ 2 — з. Следующий затем член разложения опять определяется выражением (1). 4.20. Функция Грина удовлетворяет уравнению йз — (- Л+ к') б (г, г') = 6 (г — г') 2»п и (к =.ь/ — 2тЕ/йг ) О).
Из соображений симметрии представ. ляется очевидным, что она является функцией вида бз = = /()г — г')). При этом уравнение (1) при г Ф г' и его решение имеют вид — (г/(»)) — к~(г/(г)) = О, /(г) = Се "~/г (2) (экспоненцнально растущий член в /(») опущен). Соотношение Ь(1/г) = — 4лй(г) позволяет определить значение С в (2) и окончательный вид бз: е-«1»-»'1 б (г,г')= —, ° и ' 2пйг )г — г') (3) С помощью функции Грина у,Ш для состояний д.с, можно записать в виде интегрального уравнения (сравнить с 2.20): Ч» (г) = — ~ б (г, г') (/ (г') Ч' .(г') »(У' = с — «1» — ы) — — У(г') Ч» (г')»()»'.
(4) 2пйг ) (г — г') 4.21. Применим уравнение (4) предыдущей задачи к основному состоянию с Е, ( 0 (считая, что оно существует). Соответствующая в.ф. Ч',(г) сферически симметрична (1 = 0) и так как она не имеет нУлей, то можно считать Чге(г)) О. ПРи этом в уравнении е "')г г1 .()= —,.„.~'(...) (- ('))..(") ' (1) подынтегральное выражение также неотрицательно, Возьмем в (1) значение г = гз, прн котором Ч',(г) принимает максимальное значение. После этого, заменив под интегралам Ч',(г') на Чгз(гч) и «опустив» экспоненту (от чего его значение может лишь унеличиться), приходим к соотношению — (г')з пг' Ж') —. 1 1 / (7 (г')( . . . й 4п 2 (г — г'( 2т ' (2) Выполнив здесь интегрирование по углам (выбрав полярную ось вдоль вектора г), которое дает й( — ..Г .> "— в1 Ю вЂ” .г н,гг -н 1г — г'1(1 — к~((г+г 1 — (г-г'1)) 2П (1 — зн г) магг йагг и так же, как и в предыдущей задаче, получаем ) (/ (г) ( (1 — е тн'") дг ) В~на/2т о получаем утверждение задачи (имея в виду 4.1, легко заметить, что результат данной задачи является аналогом результата 2.25 для одномерного движения).
Для прямоугольной ямы необходимое условие существования связанного состояния принимает внд я таз(/,/Йз ) 1, а точное: в ) яз/8 як 1,24. Для б-потенциала необходимое уело. вне совпадает с точным. Для зкспоненцнальной ямы необходимое условие $ = таз(/ч/аз ) 1/2, а точное В ) 0,72. 4.22. Сделаем сначала в уравнении (1) из предыдущей задачи подстановку Чгс = у(г)/г. Далее, поступая как и при решении этой задачи, выполним интегрирование по углам вектора г', выбрав направление г за полярную ось. При этом что эквивалентно соотношению, приведенному в условии задачи (при этом ео 3 ка(2т), 4.23. Из уравнения и граничных условий следует (» = 1+ + 1г«2): С«(г') ]К» (ка) 1» (кг) — 1» (ха) К» (кг)], а(г <г'<Ь, 61 и —— Ст (г')(1» (кЬ) К» (хг)-К„(хЬ) 1» (хг)], а г'<г(Ь, ' (1) где 1», К» — функции Бесселя мнимого аргумента.
Из условий при г = г', 1) непрерывности 6«. з и 2) равенства скачка производной дбь зг«дг значению — 2т/Ьз (сравнить с 2.20), с учетом значения вронскиана 31 = (1» (г), К» (а)] = -1га, находим С«(г') = С»]1» (хЬ) К» (кг') — К» (кЬ) 1» (хг')), (2) Сз (г') = С» ] К» (ха) 1» (хг') — 1» (ка) К» (хг')], где С„= — з(К. (ха) 1 (кЬ) — К»(хЬ) 1» (ка)) . (3) Соотношения (1), (2), (3) определяют вид функции Грина.
Так как К(0) = 1(«о) = «о, то при а = 0 и (нлн) Ь = «о этн соотношения несколько упрощаются. 4.24. Пусть в. ф. Ч'л ьл — — Уьлил (г)1'Чгг отвечает лГму по счету, самому верхнему уровню с Е г < О, при этом г а = аг — 1, а и„1(г) имеет (аг+ 1) нулей, включая г = 0 я г = «о, и удовлетворяет уравнению (1Ч. б). Пусть, далее, а н Ь представляют соседние нули ил и Имея в виду результат предыдущей задачи, замечаем, что ил г на отрезке [а, Ь] удовлетворяет уравнению ь л ! (г) ~ 61, е (г' г ) ~ 6 (г ) ил ~ (г )~ «(г (1) а е( о' )] а (2) На этом отрезке ил 1 не меняет знака и будем считать г ил 1 з О.
Имея в виду монотонность функций 1 (а), К (г) (1 возрастает, а К„убывает), замечаем, что функция Грин 61 Е иа 4.23 61 и~~0 и 6 Е принимает максимальное значение при г г'. Соответственно подынтегральная функция в (1) пестри. цательна. Взяв в (1) значение г = г«, отвечающее максимуму и 1 на отРезке (а, Ь] и заменив ил г(г') под интегРалоч аа "г г «„г(го) (от чего он может только увеличиться), получаем г Ь Заменим бее в (2) ее максимальным значением при га г'. Имея в виду формулы (1) — (3) из 4.23, нетрудно получить 2шг' 2лгг' Ог н(г', г') ~ ~7 (тч (кг ) /ч (мг ) ~~ ( з (3) (в условиях задачи следует считать к сколь угодно малым— верхний уровень только появился, соответственна в (3) использованы асимптотики /т(г) и Кт(г) при г-»-0). С учетом (3) мз (2) следует г ( — (/(г)) бг ) (2!+ 1) Дз/2лг, а (4) г(еК/г(ха+ аД = О, а = 2лга/Нз.
(1) Решение его, в силу условия при г-» ао, следует выбрать в виде !т = В з(п (ц/ц /г). При этом условие )с(а) = 0 определяет искомые значения параметров потенциала ц/а /а = иМ, или лга/бааз = цзг/з/2, (2) б) Имея в виду уравнение (1У. 5) и граничные условия к нему, замечаем, что спектры з-уровней в потенциалах (Г,(г) = =/(г+а) и (Гз=/(г) прн г>а>0 и (Ге=со при г<а совпадают (при ! Ф 0 это утверждение уже ке справедливо). Соответственно, искомые значения параметров потенциала определяются формулой (2).
в) УРавневие (!У.5) дла (! = — (/са'/(ге+а')з пРи ! = 0 и Е = 0 с помощью водстановок и = )(/ц/гз+ аз и х = = агс15(г/а) принимает вид бзш/бхз+ 5зш = О, $ ц/1+ 2т(/еаз/бз. н так как на полуоси (О, оо) имеется лр интервалов, на которых «л Г не изменяет своего знака и на каждом нз них справедливо "г аналогичное (4) неравенство, то, суммируя по всем таким интервалам, приходим к утверждению задачи. 4.25. Условию появления нового, !У-го по счету связанного состояния с ! = 0 при углублении потенциальной ямы отвечает существование решения у.Ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
