Galitskii-1992 (1185113), страница 53
Текст из файла (страница 53)
333. Запишем спиновую функцию системы в виде Ч'„р = Ч",р + Ч'„р, где Ч'„р = (Ч',В ~ Ч'р„)Р. Имея в виду характер симметрии функций Ч'зз, замечаем, что Ч'+р отвечает суммарному спину 5 = 1, а Чг р — значению 5=0 (сравнить с (3.11). Поэтому ЗзЧ'„р-— 2Ч"+р и соответственно ! Ч.Ь=Ч.Ь-2 3 Ч' р Согласно определению С имеем СЧ.'„р — — Чг р — Ч' .
Из приведенных соотношений следует 1 С = $' — 1 = — (1 -1- н,о,) 2 (о связи операторов $' и п,аз см. предыдущую задачу). Отметим свойства оператора С. Это — эрмитов оператор. Спиновые функции Ч'з (5 — суммарный сини) являются его с.ф., а соответству!ощие с. з, равны +! при 5 = 1 и — 1 прн 5 = 0; очевидно также бт = 1. 3.14. Напомним сначала, что а,о, — 3 + 23э, 5а 1 = — (0|а + бзз). 2 а) Спинавые функции Ч"з являются также с.ф.
оператора ) = а+ Ьп1пг, отвсчаюишми с. з. !з = о — ЗЬ+ 2Ь5(5+ 1); со- ответственно с. з. оператора Р1 равны ((г1)з = г" ()з). и) Спнновые функции 'Рзз являются с, ф. оператора Рз, отвечающими с. з. ((гз)аа — — 2а5» — ЗЬ + 2Ь5 (5+ 1) а) Так как 0 д: 25т — 1, то, как и в б), функции Чгза !а за а являются с. ф. Рз, а с. з. равны ((г) = — а+2а5 — ЗЬ+ + 2Ь5 (5 + 1), г) Найдем вид оператора 1 ! Уч — — — (а, + а,) (аш+ а„) + — (а, — а,) (д,е — а„) + Ьд,д, 2 2 в 83жпредставлении, где он является матрицей с элементами (8 В ~ Р ~ 33 ). Используя в матричных элементах следующую нумерацяю состояний, определяемых квантовыми числами В, Ям Я = 1, Ве 1-е1„(1, — 1)-эй; (1, 0) -ь3! (О, 0) -з.4, и учитывая явный внд спиновых функций Ч'зз (см.
5.10), на- г ходим (А А=а, + аз+ Ь, В = — а~ — аз+ Ь, С=Ь, В=-ЗЬ, 0 0 0 В 0 0 0 С Е 0 Е* В Е =Е*=а~ — аз. Унитарным преобразованием эта эрмитова матрица может быть приведена к диагональному виду, непосредственно определяющему ее с.з. Из аида матрицы Р4 летно заключить, что два еес.з. равны (Ут)~ = А и (Уч)з = В и им отвечают с.ф., равные 'Рз г з ! и Чг, ! соответственно. Унитарный оператор (мате рица), диагонализующнй Рг, «перемешивает» лишь состояния с квантовыми числами (1, 0) и (О, 0), н задача отыскания двух других с.
з. сводится к днагоналнзацни двухрядной матрнды ( ) С Ет Их летно найти, если учесть, что при унитарных пре- Е' В/' образованиях след н детерминант матрицы не изменяются (см. 1.5!); отсюда получаем (У4)З,4 — Ь ш ч/(а1 — аД + 4Ь 5.15. Спин любых и частиц имеет определенное значение, равное лз, При этом спнновая функция симметрична по отношению к взаимной перестановке спиновых переменных любых двух частиц (сравинть с 3,30).
Если же 3 ( йг/2 для з = 1/2, то при ЬГ ) 2 спнвовая функция уже не имеет определенной симметрии при перестановке любых двух частиц (см., например, 5.19). 5.16. Учитывая, что з в„з и что в рассматриваемом состоянии между спинами отдельных частиц нет корреляции и средние значения е равны О, 1 = 1, 2, (ав)г=~ 1,;=з, — /=З, о)п+1, легко находим 3» = (М» — 4лМ+ 2М+ 4п»)/4. При в = ! и и = М вЂ” 1 суммарный спин может принимать тишь два значения: 3» = М/2 и Я» = (М вЂ” 2)/2 (М ) 2), вероятности которых легко найти, имея в виду значение 8»: и» (3 = М/2) = 1/М, и» (3 = (М вЂ” 2)/2) = (М вЂ” 1)/М (сравнить с 3.29).
5.17. Имеем 1» !1/4+ 2п»з (сравнить с 3.29). Так как возможны лишь два значения полного момента: ! = 1~ 1/2, то значение ~1 позволяет нанти нх вероятности: вг (1+ 1/2) = (1+ 2тзе+ 1)/(21+ 1), ю (1 — 1/2) = (1 — 2л»з~)/(21 + 1) 5.13. «Спиновая» функция для состояния с У = 3/2, /, = 3/2 имеет внд при этом проекции «1,» и «з,» имеют определенные значения, равные 1 и 1/2. Подействовав на зту функцию оператором У = Մ— 1/„= /! + /з, находим (вид опеРатоРа / дла 1 = 1 см. в 3.22): 00 = — )(0»2 0 О)»( ))(О)( ) — „7 (»)(').»» (0)(0)»,0 множитель 3-~гэ введен для нормировки.
Из (1) следуют иско- мые вероятности в состоянии с Х = 3/2 и Х, = 1/2; ю ((е 1) = ш (зэ-— — 1/2) = 1/3, ш (1» =0) = ю (э«=1/2)=2/3 и средние значения 1« = 1/3, э« = 1/6. Записав «сяиновую» функцию для состояния с Х = !/2 и Х» = 1/2 в виде 1 0 г„ч,„-с,(о)( )«С(~)('), 0 0 и воспользовавшись ортогоиальностью ее к Чэгэ ыэ, находим значения С, = — 1/2, Сэ =.~~2/3 (с учетом нормировки), а с ними искомые вероятности в состоянии с Х = 1/2, Х, = 1/2: ш (1а = 1) = ш (эе = — 1/2) = 2/3, ю (!э = О) = ш (эе = 1/2) = 1/3 н средние 1, = 2/3, э, = — 1/6.
Результаты для состояний с Х,(0 могут быть получены аналогично и представля!отся очевидными. 6.19. Возможные значения суммарного спина: 5 = 3/2 и !/2. Теперь набор с.з. 5 = 1/2, 5е является вырожденным в тол» смысле. что при 5 = 1/2 и данном 5, имеется два независимых спиновых состояния. Действительно, значение 5 = 1/2 может быть получено двумя независимыми (при данном 5,) способами: !) путем сложения спинов первых двух частиц в их реэультируюший спин 5м=О, при этом значение полного спина системы определяется олином третьей частицей, 2) путем сложения реэультируюшего спина 5~» = 1 со спином третьей частицы в суммарный спин 5 = 1/2. Таи как числа независимых спиновых состояний при данном 5 (в отсутствие вырождения по 5, 5.)' равно 25+ 1, то общее число независимых спиновых состояний равно (2 3/2+ 1)+ 2(2 1/2+ 1) = 3, как и следует.
Вид спиновых функций Ч'з э э з !э очевиден: Также беэ вычислений можно указать спиновые функции при 5 = 3/2, 5, = -4-1/2, имея в виду их симметричность по отношению к перестановке спииовых переменных любых двух частиц, для которых их результирующий спин равен ! (сравнить с 3.10): 1/3 1(О) (О) (1) (О) (1) (О) '('),('),(З "'- =+К'),('),(').'('Э,('),('). 'И,('),('М Далее, если спииовая функция отвечает результирующему спину первых двух частиц, равному 5м = О, то она, очевидно, описывает состояние с 5 = !/2. Поэтому Втору1о вару функций Ч"цз я1 з, лииейво независимых по (з> отношению к (3), можно найти, рассмотрев состоянся с результирующим олином 5м = О второй и третьей частиц: Отметим, что хотя функции (3) и (4) линейно независимы, они прн одинаковых значениях 5, ие являются ортогоаальиыми. Наиболее общая спиновая функция состояния с 5 = 1/2 представляет суперпозицию функций (3), (4).
Читателю предлагается рассмотреть состояние с результирующим спином 5„= О, также отвечающее 5 =- 1/2, и убедиться в том, что соответствующая функция выражается через функции (3) и (4). В заключение отметим, что сливовые функции состояний с суммарным спином 5 = 1/2 не облада|от определенной симметрией по отношению к перестановке спиновых переменных любой пары частиц. Так, хотя первая из функций (3) антисимметрнчна при перестановке спиновых переменных 1-й и 2-й частиц, при перестановке 1-й и 3-й частиц она переходит совсем в другую фуннцию /в — Ига 1(з1 5.29.
Указанные функции легко найти, имея в виду результат задачи 5.3, см. также (У. 4): е!мк/а соз (9/2) Ч Рю. ~ !/з ( й)э/э 1 св ! (9/2) )' е!эвг/а г з!п (9/2) в х--Цэ= (2мй)з/з (, эгбсоз(9/2))' здесь 9, ф — полярный и азимутальный углы вектора р,. 5.21. Подействовав на указанную функцию оператором )в, приходим к выражению (! + а/2)э(пп) у. Учитывая соотношение з) (/пап) 0 и равенство 12.=0, приводим это выражение и виду (пп) (и/2)' у., или (3/4) (пп) у.. Отсюда следует, что 3)Чг = (3/4) Ч.', т.
е. 1 имеет определенное значение, равное 1/2. То обстоятельства, что указанная функция отвечает значению ! = 1, следует из ее линейной зависимости от вектора п (сравнить с 3.42). Так как Ч"*Ч' = Х*(оп)~2= т*т, = сопз( и не зависит от п, то распределение по направлениям импульса (нли радиуса-вектора) является изотропным, как и в случае з-состояния, а условие нормировки ~ Чг*%' д() = 1 будет выполнено при д*д = =1а1з+ )Ь!з = 1/4я.
Наконец, из соотношения ) =(Чг !) (Чг)= ~ у'(пп) (1+ — ) (пп) дгй)= 4п2' — 2 2 2 следует, что вектор полного момента в рассматриваемом состоянии точно такой же, как и вектор спина в состоянии со спнно- /15 вой функцией д. Соответственно, выбрав ц/чп 2 в виде ~ ) и () ОЧ /1, полУчим ноРмиРованные фУвкции Р,ы-состоаний с /, !) = +!/2 и — 1/2; так / соз 9 ! Оэ, 1-ц /,-цз = = пп ~~ 1/4п ~0/ у'4п чз(пй е~э/ Аналогично можно найти спин-угловую функцию состояния с /, = — 1/2; сравнить полученные результаты с 5.24. 5.22.
Приведенные в. ф. являются суперпозициямя функций з,ы-состояния )( и р~м-состояния (оп) у. (см, 5.21) и поэтому ') В связи с приведенным значением коммутатора см. также 3.5 и 3.28. отвечают определенному значению 1=1/2 полного момента. Орбитальный же момент 1, как и четность, не имеет определенного значения. Имея в виду одинаковую нормировку указанных выше функций, заключаем; что ! с одинаковой вероятностью 1/2 мажет принимать два возможных значении: 0 и !. Далее, заме- 1 чаем, что Аз.' = ~ — Ч." (так что проекция спина на направ.
ление вектора п имеет определеанае значение, равное соответственно ~1/2). Прн инверсии координат функции Ч" взаимно переходят друг в друга. 6.23. Наиболее общая спиа-угловая зависимость в. ф. состояния с ! = 1 имеет вид 'Рг !=(сп)т,, где с н Х уже не зависят от и, сравнить с 3.42. Эта функция не отвечает, вообще говоря, определенному значению /, а представляет суперпозицию состояний с / = 1/2 и /= 3/2. Чтобы выделить из нее часть, соответствующую / = 3/2, воспользуемся проекционным оператором 1 )э1-вы = 3 (2+ (а), сравнить г) с 3.36. Легко находим 1 3!я = ! ! в!ту!=! 3 с (2п + ! [пп) ) Х (1) в согласии с условием задачи.
Читателю предлагается самостоятельно нормировать в. ф. и убедиться в том, что < ча ортогональна в. ф. рыпсостояния нз 5.21. Отметим, что число независимых функций Ч'~ ~ равно 6 (трн независимых снособа выбора вектора с и два — спннора т); независимых же фупкпий вида (1) лишь 4, так как они получаются исключением из Ч',=~ двух независимых функций'), отвечающих / = 1/2.
/1~ Функция ту~ — ~ при выборе с =(0,0, 1) и у=( 0) описывает состояние с 1, = 0 (см. 3.18), з, = 1/2 и соответственно с /, = 1/2; при этом 1 не имеет определенного значения. Функция же (1) для таких с и у имеет вид 2 соз 0 ~ж ! !~ 3 — епв 3!и 0 ') См. также 5.24. ') Заметим„что функцию (1) можно записать в виде Чг!"„з/з пЧ", где спин-векторная величина Чп = (2е — ! (сп)) 2п. Такой спин-вектор удовлетворяет дополнительному условию аЧ = О, а соответствующему исключению состояний с ) = 1/2 (сравнить с 5.27).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
