Galitskii-1992 (1185113), страница 54
Текст из файла (страница 54)
и описывает состояние с / = 3/2, 1 = ! и 1, = 1/2 (так. кан Р/ коммутирует с операторами 11 и /з, то с. ф, последних н после действия Р, остаются их с. ф.). Аналогично можно найти в.ф. и других Рзгз-состояний. Так, /1~ выбрав с = (1, АО) и )( ~ /, получим Ч"мз. ь вгз я т, дл ~О) сравнить с результатом 5.24.
5.24. 1) Рассмотрим спин-угловую функцию вида чР чь / у! (О, ф) ч описывающую состояние частицы с определен- О ными значениями 1, т, з, = 1/2 н /, = т+ 1/2. Она не является с. ф, )1, а представляет суперпознцию состояний с / = 1~ !/2 (кроме случая т = 1, когда ! = !+ 1/2). Подействовав на эту функцию проекционвым оператором з) Р; для состояния с заданным / Р( ! !!з = (1 + 1/2 ~ 1/2 ~ и 1)/(21 + 1) и учтя соотношения, аналогичные (1П. 8): и1= 21з= 21ззз+7эз +1 з+, /.~!1, = ~'(/- /.) (/+ /*+ !) ~!. 1,+~ 1-'р!1, — ~/(/+ /*) (/ — !з+ ') рд 1,— легко находим явный вид искомых функций: Сэ!(з, Д (г мэ!/2 ! Се1(2 /2! ! ! ~,— ) 2! + ! 1 ч/С - т у! ь! ) (2) /' З/1 — т Уг ч/21+ ! ~, — (/1 + т + ! у где коэффициенты Сиз выбраны из условия нормировки в ф. иа едивнцу, Из (2) видна ортогональность функций; (/ь 1, /, ! /з, 1, 1.) = О, где 1ь з = 1 ~ 1/2.
/у 2) Очевидно чг! !!з ! гэцз = ~ . Подействовав на эту ы О ) функцию оператором 1, гдел=1+1/2 — (,получимпг з) Вид которого следует из 1.35, если учесть при атом также 3.27. 311 Учитывая, что / ! +з, й~ О, и поэтому )а !а + !а-1. а также соотношения (1), приходим к уже известной из (2) функции тг-и Ы ~ Ч,, С! у~2!+! ~ 1/(,ну 5.25.
Утверждение задачи можно пронерить непосредствеаиым вычислением, но проще его подтвердить следуюп!им рассуждением, основанным на коммутатнвности операторов ") н (ап) и псевдоскалярном характере последнего. Пусть Ч' ! — с. ф. операторов )З, 1з, )м причем ! = / — 1/2. Эта функция имеет определенную четность, равную (, = ( — 1) '. Рассмотрим теперь функцию Ф = (ап) Ч' ! Для нее легко находим ! 'Р = /з (ап) Ч" ! — — (ап) ! '1" ! — — ! (ап) Чг ! — — 1,Ч', )зФ = )Ъ (ап) Ч!! =(ап) //аЧг!! = ! (!+ 1) Ф, 3 а !!з!з !т = Г(ап) Чг(! ! — — — (а ) ! !! ! — — (-1) '+ Ф. за 3 е Отсюда следует, что Ф также является с.
ф. операторов )1, /а, (, причем четность ее противоположна четности в.ф. Ч'!! ! . Так как при данном ! возможяы лишь два значения 1, равные !ь з =! ш 1/2, а четиость состояния равна ( — 1)', то Ч' отвечает значению ! = !'+1/2. Таким образом, функция Ч' является с.ф. операторов !з, 11, /, так что Ч'! — — Чг=(ап)Чг! . Отме. 1,!з 3 а тим, что после усреднения по спиновому состоянию частицы возникает соотношение т) Сравнить с 3.5 н 3.28. 312 выражающее одинаковый характер угловых распределений (по направленннм п) в состовннвх с в.
ф. Ч' ! и Ч" ! за 3 а' Теперь легко сообразить, что Ч'!! х щ !д = (1/ (/2 ) (1 .~. (оп)) Чг !1, н, учтя ввный вид функций Ч"!г! из предыдущей задачи, найти ч'!! х !/з )(/' 2! 1 1'!/!+ т+! сов(8/2) Уг,„+ / 2 Г (8/2) + !/! — лт яп (8/2) е ~ер +!) ~ е~е з!и (8/2) / Ч'.. ь нз = "т/' 2 !'!/!+ ш+ 1 з!и (8/2) Угю— / 2 г ге' у з1п (8/2) — т/1 — т соз (8/2) е пзУ ,) ~ — ена созт(8/2) / где т = /, — 1/2, при этом спнновая часть в. ф. такая же, как и в 5.3.
5.26. Для з = 1 описание спиновых свойств частицы с помощью симметричного спинора фе аналогично рассмотрению состояний с суммарным спином 1 в системе из двух спиноз с з = 1/2, сравнить с 5.!О, 5.11, Отсюда, по аналогии с соотношевием 3 = (», + аз)/2, сразу следует вид операторов компонент спина в спииорном представлении: зфаВ ааВфит заВ 1 /оа , 5В + ба пй ) ит ' вт 2 ~ в т и Связь между в. ф. фоВ в спинорном представлевии и в. ф. ф(о) в з,-представлеиии определяется соотношением з) ф«В У ф(,),».В 3 (2) где спинор ф является с. ф, оператора йв Этн спиноры, отвеса чающие различным значениям з„имеют вид ф"В 5"5В, ф  — (бе53 + 5"5В) ф В = 5Я (3) а з) Обратим внимание на двоякий смысл переменной з, в соотношении (2): как аргумект в.
ф, ф(з,) она имеет смысл переменной з,-представления, а в случае спииора фей является с.з. 3 оператора з,. 313 (сравнить с 5.10), компоненты спииора бр~ равны б~ бзз = 1, Ьз бз О. Из (2); (3) следует ф ф(1) ф ф( 1), ф' =фа~ =ф(0)/Ч(2. (4) Переход для спина з = 1 к векторному представлению аналогичен рассмотренному в 3.44 в случае орбитального момента 1 = 1. В этом представлении ~Л в— м О ЗЛ зб щ 'вшг Обобщение соотношения (2) на векторное представление имеет вид '=Хф(о)тш Здесь векторы тз, являющиеся с.ф. оператора йм равны ) т е~=~=(1, шйО), 1 тз э —— (О, О, 1) (6) (сравиить с 3.41). Ввиду взаимной ортогональности этих векто- ров имеем ф(о) = Ут*(п), откуда следует связь в. ф, в вектор- ном н в з,-представлениях: С помощью (4), (7) приходим к соотношениям между спинор- ной и векторной волновыми функциямн (/ („рш ф~~) )г ' (ф~~ 1 фзз) )г ч/2 ф~з к — ~- ° ив з (8) Более наглядно зти соотношения могут быть записаны в виде т' = Сот„фее р = Сптзфэ, где я — антисимметричный единичный спинор второго ранга, рт компоненты которого равны дм = — ди = 1, дп = йзз = 0 а з) Отметим, что выбор фазовых множителей в выражениях (3), (6) для с.ф.
т, фз" прн различных значениях з, соответ. ствует принятому в теории момента, см. (1, $27) (впрочем, в (6) по сравнению с (1) опущен несущественный, общий для всех векторов т, фазовый множитель. павиый В. з 814 ф (Ш 1) = (Ш )'з + й'З)/Ч/2, Р. = (ф(-1) - ф (1))Ы2, р(о) =)г (7) .-- (ф(1)+ф(- И/ % оз„п" = 23~~3~ — Ьр~б", получаем фр = — Уп а ! а ~/Т ф' = —,' (ф;а"'+ Ф"') У= —, 'Вр ! а з.
ф! ф2 1 2 !2 (й) фэ= — ф ° ф~ ф 2 22 (значения компонент контравирионгного антиснмметричного спиноРа 3~3 совпадают с дар). Обсудим теперь для частицы со спивом з = 1 вопрос о спин- орбитальных с. ф. ~ Чг!1! ) (в различных представлениях). Ковечно, в общем виде он решается соотношением из теории сложения моментов (орбитального ! и спинового з = ! в результиРУющий 1): !Чг!г! )= ~', Сгзйорг (и) (1, о), В о (1О) где (1, о) — чисто спиновая (т. е. не зависящая от координат) с, ф. оператора йм отвечающая с.
з. з, = о; напомним, что коэффициенты Клебша — Горлана в (!О) отличны от вуля лишь при т+ и. В соответствии с формой записи соотношения (1О) коэффкциент перед (1, а) в нем является в. ф. рассматриваемого состояния в з,-представлении, т. е. ф/О (о) С~! У ы (и) ш=! — о, (11) Если же под (1, и> в соотношении (10) понимать базисные векторы то из (6), то оно будет описывать спин-угловую часть в,ф.
частицы в векторном представленаи, а заменив (1,а) на спиноры из (3), приходим к в.ф. в спинориом представлении. Поучительно, однако, рассмотреть состояния с низшими значениями 1, не прибегая к (1О), а нгхозя лишь из общих совбражений, связанных с трансформационными свойствами в.ф. состояний, отвечающих различным значевиям момента (сравнить с задачами иэ $4 главы 3). 315 С 11Чг'3! пРн этом фб= фабре, пРичем фе 0 ввиДУ симметричности спннора фоб. В таком виде связь волновых функций У н ф очевидна заранее, так как пбф является единствен.
аб а ным (с точностью до множителя, естественно) вектором, который можно сопоставить спинору ф"Р. Воспользовавшись также со. отношением ф — — е ашпй, 11 с т/2 = — соз 8, 1З С ч/2 (12) = — а чз!ой, с ч/2 где О, ф — полярный и азимутальный углы направления вектора и, а по формулам (4) или (7) находим в.ф. в з;представлении: ф (1) = У,, ( )/Ч/3, ф (О) = — У1з (п)/Ч/3, 1Р ( — 1) = У„(п)/ч/3 в согласии с (11). В заключение сделаем замечание о виде спин-угловых в.
ф. в случае ! Ф О на примере состояний частицы с ! = 1. Теперь в.ф. включают «внешние» тензоры, характеризующие состояния с отличным от нуля моментом 1, сравнить с 3.41. В частности, в векторном представлении искомые в. ф, имеют вид Ч, = (3!йп) оз (еп!, Ч = (3/4п)1!з е, и, (13) пРнчем иэ УсловиЯ иоРмиРовки е'в = 1, агав!а 1. КонкРетный выбор е(/«), ем(!»), прн котором векторные функции (13) ") Примером частицы со спином з = 1 является фотон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
