Galitskii-1992 (1185113), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Если же в распаде фиксируется спиновое состоивие нуклона, описываемое спннором )(~~ 1, то — ~ Хх!') (Ьп) Х'"(' 321 11 В. М. Гвлнцква и ар. здесь, как и в случае б), произведено суммирование по иезави. симым спнновым состояниям возникающего в распаде нуклона. Характерным свойством этого распределения является асимметрия вылета «вперед — назад» пионов в распаде относительно вектора поляризации Р— (пУ, распадающейся частицы В.
Существование такой корреляции между направлениями аксиального (пу, и полярного и векторов, неинвариантной относительно отражения координат, как раз и является проявлением несохраненвя четности в рассматрпнаемоч процессе ы), 5.34. а) Так как момент системы У = О. то с аин-угловая часть в. ф. конечного состояияя имеет вид Ч'г „ — — ~ Оюю„ . У,. (и) у =. ~ с (п, чг)т (1) гю= -1 ы (орбитальный момент относительного движения равен 1 — спину частицы В, и — единичный всктор вдоль импульса относительного движения, сюю — ( 1)1 — "г(2'+ 1)-Чз — коэффициенты Клебща — Горлана (см.
3.39), у — с. ф. оператора компоненты 1', синга частицы В). Величины с(п, гг~) при фиксированном п можно расс аатривать как спниовую ю, ф, частицы В в 1' -представчении, так что матрица плотнсщи имеет внд р,=Ус(п, ги) с" (п, ш') = ( — 1) У (п) У ° (п) (2) 21+! [Ж = 4л — нормировочный коэффициент). Отметим, что при фиксированном и спиновое состояние частицы В является чистым, так как при этом з = р. Если же усредни гь р ° по всем направлениям и вылета распадиых частиц, то с учетом ортогональности шаровых функций получается естественный результат р = Ь,,г(21+ 1), что списывает матрицу плотности полег юг юг юг'г постыл пеполяризованного состояния. б) Чтобы перейти к этому случаю (см.
условие задачи), следует, очевидно, в (2) считать и направленным вдоль оси г. Так ы) Заметим, что примерами распадов такого типа, идущих с иесохранением четности, являются распады гипюровою на нуклон и пион, например, Лю-ь рп-. Читателю предлагается самостоятельно показать, что в таких распадах неполяризованных частиц у нуклона возникает поляризация, равная Р = 2 (йе аЬ') и('( ) а ) з + ) Ь ('). 322 как то теперь находим ,=5 б,.
! лглг' т,с лг',О' Этот результат имеет наглядный смысл. Он означает, что проекция спина частицы па направление и имеет определенное, равное нулю значение. Это вегосредственно с.тедует из сохранения люлшнта: в условиях задачи (У = 0) проекция У яа любое направление равна нулю, а так как проекция орбитального момента па направлевие п всегда равна нули, то, следовательно, и проекция спяна на это направление также равна нулю.
5.35. Проекция спина частицы В на ось з, направленную вдоль вектора пг — — р,/рм равна нулю. Соответственно в системе покоя этой частицы распадные частицы Ъ и с имеют орбитальные момент 1 = ! н его проекпию 1: = 0 и их угловое распределение описывается выражением — -) у... (п) )з = у)(,) г(ш 21+ 1 сИ„'" 4п (такое же распределение следует из результата 5.32, если для матрицы плотности р ° воспользоваться ее видом, установленным в пункте б) предыдушей задачи). Так как )Р~,'сов О)(( 1 и ) Р,(сс)) ) = 1, то частицы в распаде В-~ Ъ+ с вылетают преимупгественно вдоль (по плв против) импульса частицы а (при )~о).
5.36. Спиновые матрицы плотп~ сти имеют внд р!а. ЬГ (1+ Р Ьи) (они описынают спиновое состояние одной из частиц в случае, когда проведено усреднение по спиновому состоянию другой), В силу сферической симметрии рассматриваемого состояния (У = 0) векторы поляризации Р ь = йз ьп определяются единственным вектором и. Такое соотнопгенпе между акснальпым Р и полярным и векторами, неинвариантное по отношению к инверсии координат, может иметь место лишь при несохранении четности в распаде, Если четность сохраняется, то $*,ь = 0 и спиновое состояние каждой из частиц является полностью неполяризованным.
При несохранении четности в распаде, вооб.це говоря, йм ь чь О, но между ниии сушествует соотношение $~ = — 5ь. Действительно, так как У = О, то проекция У~ на любое 11а направление равна нулю. Рассмотрим теперь среднее значение проекции полного момента иа направление и. Так как ! еа О, то з!'»= — з!Ь» и соответл ' п л ственно Р, = — Рь (так как Р = 2з). Примером рассматриваемою распада, идущего с несохранением четности, является яиг-распад: я~ -» р+ + т. В этом распаде мюон и нейтрино полностью поляризованы, Р = 1, апти- параллельно своим импульсам.
Глава 6 ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ 63. Стационарные состояния этих систем были рассмотрены в 2.1, 3.1 и 3.2. Воспользовавщись (Ч!. 2), находим: 1) Ч'(х, 1) — е !ч3 яп — — е з!и — г», А г»/ ях а;г Зяхд 4 'ч а а )' язд ы = 2та' ' А 2) Ч" (ф, 1) — [1 — ехр ( — 2161/!) соз 2ф), 2 А 3) Ч'(6, 1) — [1+ ехр( — 3131/1) (3 соз'6 — 1)) 3 (для определения коэффициентов разложения в. ф. Ч'«по с.
ф. гамильтониана удобно воспользоваться известными тригонометрическими формулами, не прибегая к (Ъг1.3)). Через время У, равное: 1) п~аз/2лй, 2)я1/Ь, 3) 2я//33, рассматриваемые системы возвращаются в исходные состояния (чвтателю предлагается самостоятельно обсудить вопрос о перяо. личности «движения» квантовомеханических систем в общем случае). 6.2.
Разложим в.ф. Ч'«(х) по с.ф. оператора импульса, являющимся также с. ф, гамильтониана свободной частицы: Чгз (х) = ~ с (р) Ч'р (х) г»р, Чгр (х) = (2яд) '»з е Р"1, Используя значение интеграла Пуассона, находим с (р) = ~ Ч'о (х) 'Р', (х) гМх = — ехр ~ — (р — р, ) а%3~~. (1) ./3 Теперь, воспользовавшись (Ч!.
2), получаем ;,г! » г !я! ч-г(з Ч' (х, !) = ~ с (р) ехр ( — — ! Ч' (к) с(р = А [1 + — 1 Х 2лтй / Р 1. шаг л Х ехр Х р[ — та»Я»(к — ог!)г+(Ягхг(+!а«тгогй(2к — ог!) г 2т (а«йг + (гя«/тг) г г аде оэ — — ре/щ. Отсюда (аз (!) = аг (1 + йгтг/гига г)) а) А)г Г (х О,!)гч ( Ч" (к, !) )' = — ехр ![— (П ( "(!) Х (3) Выбрав (А!г = (па')-пг для нормировки в.ф. на единицу, на- ходим к(!) = ~ х ( Ч'(х, !) )г с!х = о,г, (Ьх (!))г = аз (!+Яггг/тигаа)/2 (4) Так как с(р, !) = ехр( — !ргг/2тй)с(р) является в.
ф. в импульсном представлеаии, то с учетаи (1) находим р (!) = ~ р ! с (р, !) )г йр =- рг, (Лр(!))г =- й'/2аг (5) Ч (к !) = ~ с (Е) ехр (- — ~ Ч'д (к)г(Е !е! к 325 (независимость импульсных характеристик от времени связана с тем, что для свободной частицы импульс — ньпеграл движения). Результаты (3) — (5) имею-, простой смысл: распределение по координатам (3) — гауссовский пакет, центр которого х(!) перемешается со скоростью ог (равной р/т = б); прн этом ширина пакета Чг(бх(!))г увеличивается (пакет расплывается).
Расплывание пакета связано с тем, что импульс (скорость) частицы нс имеет опрелеленпого значения. Ширина пакета увеличивается вдвое за время (г — — у/3 глаз/Я. Приведем числовую оценку тг в двух случаях. 1) Для микроскопической частицы с массой т = 10 " г (электрон) при а = = 10 — г см (атомные размеры) инеем !г 1О-'« с. 2) Лля малой, ио уже макроскопнческой частицы с т = 1О-г г прн а = 10-' см находим !а 1Оп с 10'г дет. Подчеркнелг, что особенно быстрое расплывание пакета с первоначально «узкой» локализацией Лк(О) свнзано с соотношением неопределенности Лр.бх )~ й (и так как расплывание определяется неопределенностью Ло скорости, то оно особенно ярко проявляется при уменьшении массы частицы). Как видно из (4), ширина пакета удовлетворяет соотношению (Лх(!))г ) (й(/гло)г.
5.3. В произвольный момент времени Чг (х, 1) = ехр ( — — ') с Ч' (х) + ГЕО1Ч + ~ с (Е) екр ( — (ЕГ(Н) Ч'н (х) дЕ, е где Чге (х) =,~/но оеар ( — не ) х! ), Ео = " но%ш кз = лнз)й представляют в. ф. и зьергпю единственного состояния д. с. в б-яме, см. 2.7. Второе слагаемое в (1) — вклад непрерывного спектра— при т — ь со обрзшается в нуль ',сравнить с 6.3), так что ! Чг (х, т = ьь) !з =- (сеЧге (х) !' = нз ) сз !' ехр ( — 2нь ( х ! ). (2у Выбрав А = Чl~ для нормировки в.
ф. Чгз на ! н вычислив со — — ~ Ччз(х) Ч'е (х) г(х= 2 .у™з() (ма+ р) перепишем выражение (2) в виде Ит (х) .= — )Ч'(х, ! = ее) !з =, е 0 З вЂ” зш!х) (() + нз)' (3) определяющем распределение по координатам частицы прн 1 -ь ьь. Оно нормкровазо на значение и = ~ йт (х) Ых = 4~из ф+ кз) ~(1, (4) отлкчне которого от 1 означает, что частица с конечнои веро- ятностью, равной (1 — ш), уходит на бесконечность.
Лля пояс- нения полученного результата отметим, что в общем случае ! пп ( Ч (х, 1) ) з Их ~ ! пп 1 ( Чг (х, 1) (з г(х = 1. т.ь г-ь з 326 н убывание (Ч'(х, 1) )з при 1-ь оь представляется очевидным= ввиду быстрой осцилляции подынтегральной функции (ее вещественной н мнимой частей) происходит взаимная компенсация вкладов соседник областей интегрирования. Убывание !Чг(х, 1) !з означает, что частица при 1-ьее уходит на бесконечно большое расстояние.
Это соответствует нифинитному характеру движения в классической механике. Отметим, что одновременно с уменыпением плотности вероятности увеличивается ширина пакета — он расплывается, что и обеспечивает сохранение нормировки в. ф. (в качестве иллюстрации см. (3) из 6.2]. 6.4.
Разложив туз по с. ф. гамнльтониана, имеем $.6. В.ф. имеет вид ~г(х 1) = ехр — — — — рх)~ Фо(р) др, (!) ц/2пй ~ й ч 2т При 1 — «оо (и х-«тсо) фаза в показателе экспоненты сильно изменяется уже прн небольшом изменении переменной р, что приводит к быстрым осцилляциям и к взаимному сокращению вкладов от соседних областей интегрирования. Наименее скомпенсированным (а поэтому и доминирующим) является вклад тех областей интегрирования, в которых фаза как функции р имеет экстремум и изменяется наиболее медленно. Экстремальная точка ро = тх/й Вынося пз-под знака интеграла значение «плавной» функции Фо(ро) в этой точке, находим искомый асимптотический вид в.ф.
прн 1-«оо: Ч'(х, 1) ее ' л! ехр ~ — — ~ — — рх)~ др = Фо (тх/1) Г Г е г рзе у12»гй й 2оп = «/т/11 Фо (тх/1) ехр((тхо/2ЯЕ) (2) (очевидно, что она, как и Фо(р), нормирована на 1). Отметим наглядный смысл результата (2): зп»чение в. ф. при 1-«со в точке х-~-=о=~ (так, что х/Е = сопя! = — ио = ро/т) определяется в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
