Galitskii-1992 (1185113), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Обратим внимание на то, что для осциллятора при значении а' = 6/тв дисперсии как координаты, так и импульса в рас- сматриваемом состоянии не зависят от времени, а нх произведе- ние принимает минимально возможное значение, определяемое соотношением неопределенности Ьх.бр = 3/2. Такие состояния осциллятора называются когерентными, см. в связи с этим также !0.15. В заключение отметим, что вычисление искомых средних значений в шредивгеровском представлении существенно более трудоемко, сравнить с решением задачи 6.2.
6.22. Используя уравнения движения (Ъ'!. 4) для геизенбер- говских операторов, нетрудно найти, что 6 ] рг (Г), 2, (()]),)! = О, т. е. значение коммутатора не зависит от времени, и так как при Г = 0 оно равно — (йбьь то тем самым д казывается совмест- ность коммутационных соотношений с уравнениями движения. 6.23. Используя впд гейзепберговских операторов координа- ты и импульса, установленный в задаче 6.20, находим а) [6(Г), Х(Г')) = — 131 б) [ф ((), 2 (Г')] = — 13; в) [д (Г), Я (Г')) = — !асов м (à — Р) соответственно для свободной частицы, частицы в однородном поле и осциллятора. Равенство нулю коммутатора в) для осциллятора пра зна- чениях à — Р = и (л+ 1/2)/ы (л — целое) имеет следующий смысл.
Пусть в момент времени Г = 0 состояние осциллятора характеризуется чалым значением дисперсии коордкнаты (в пре- деле Лх — 0), так что координата имеет (почти) определенное значение. Тогда в моменты времени Г' =- п(л+ 1/2)/ы уже им- пульс имеет (почти) определенное значенне (сравнить с резуль- татом из 1.30 и выражениями для дисперсии координаты н им. пульса осцнллятора яз 6.21). 6.24, Взаимодействие частицы с полем описывается выраже. нием (Т = — Г(1)г(Г). При этом г) р (1)/,(Г = (1/3) [Й, р (Г) ) = р (1). Отсюда следует (аиалогичво классическому случаю) с р(1)=р(--)+ $ р(г) й. Так как при Г-~ ~аз гамильтониан частицы имеет вид Н (~ оо) = рз (-1- со)/2ш, то согласно (1) получаем Е (+ св) = = Е (- ) + — р ( — ) 1 Р (Г) 61 + — 1 Р (() (1 .
(2) Г лг 2ш ч 339 запишем гамнльтоннан рассматрнваемоб системы в вядс Й (Г) = Ьы (йе «) й «) + 1/2) — ч/Ъ|2та Г (Г) (й (1) + й+ «)). Уравнения движения для этна операторов й «) = — ' (й «), й (г)) = -1 й (г) + й Ч/2шйы ' (2) й «) =(ый «) + +, + Г(г) Ч/2шзы позволяют сразу найти их времепнчю зависимость") Отсюда прн (-» шсо имеем й«)=е ~йш й«) =е ~йг, а1 а;„+ а при (-»+ со. при Г -» — оо, (4) Здесь а=(злы) 1 $ Г«)е зн йг. Для гамнльтониапа системы получаем Й (- ~) = Й;„= ды (й+йш+ 1/2), Й (+ аа) = бш (йг+йг + 1/2), ') Оператор й+(1) получается эрмитовым сопряжением а«).
Не зависяший от времени оператор йм играет роль «начального» условия, при этом для него должно быть выполнено соотношение (йш, йз ~ = 1. 340 Это соотношевие, как и (1), по виду аналогично классическому, которое получается из (2) заменой киавтовомеханических средних величин их определенными классическими значениями, при этом естественно Е( — со) = рз( — о»)/2т. Если же рассматривать статистический ансамбль классических частиц с некоторым распределением по импульсам, то для средних уже в классическом смысле значений будет непосредственно применимо соотношение (2). 6.25. Используя гензенберговские операторы й «) = (ЛЯ «) +(Л )) «))/Ч/2пй, Л = Ч/тсо, (О йт «) = (ЛД «) — гЛ 'й(Г)3/Ч/2нй, '(й «), й' «)) =1, Не зависящий от времени в гейзенберговском представлении вектор состояния (Ч') рассматриваемой системы определяется тем условием, что при 1- — о» осциллятор находится в основ1 ном состоянии, т.
е. для него Н;с (Ч') = — Йю (Ч'). Согласно (5) это состояние является «вакуумным» по отношению к операторам аие йпш т. е. (Чг>=(0,!и), причем йы(0, !и) = О. Стационарные состояния осциллятора при !-ь +со описыва1отся векторамн состояний (и, !)=(п!) !/т(аге) (О, !), так что коэффициенты в разложении (О, !п) = ~ сс ( п, 1) опре- з деляют искомыс вероятности переходов осциллятора ш(0--л) = =(с„!з. Подействовав на обе части приведенного разложения оператором а,„и учтя его связь (4) с йь а также соотношение й,(п, М>=.т/п (и — 1, 1), приходим к рекуррентному соотношению с„=(а/д/п) с„,. Из пего следует, что с„= (ап/а/п! > с».
При этом условие нормировки (О, !и ! О, !и) = ~, (сп(з=! з дает !сс(т = ехр( — (а!з), и для вероятностей перехода получаем ш (О-ь и) = ( а ('" ехр ( — ( а )з)/и! (б) (распределение Лусссова). Воспользовавшись значеаием =(а)з, находим Е (+ оо) = ды (и + 1/2) = йю ( ( а (з + 1/2). Укажем способ вычисления Е(+ос), не требующий расчета вероятностей перехода осциллятора. Согласно (4), (5) имеем Й (+ со) = Н;„+ Ды (( а ( + ай+ + а*й „). Соответственно если при Г-» — со осциллятор находился в своем п-м квантовом состоянии, т. е. (Ч')=(гь1п) (прн этом (Ч (й!„(Ч>=(Ч )й,.„)Ч'>=О), Е (+ со) = Е (- оо) + йы ( а (з, Е ( — со) = йы (п -1- 1/2) то 34« (ааметим, что среднее значение приобретаемой осциллятором энергии, равное йы(сс(з, не содержит постоянной Планка и совпадает с результатом классической механики, см.
(20!). 6.26. Пусть система К' движется со скоростью У вдоль оси х относительно системы К, так что х = х'+ гт, Е = Е'. Потенциальные энергии частицы в этих системах связаны соотношением и' (х', Е ) = и (х - УЕ, Е) = и (х, Е). Унитарный оператор') О, соответствующий преобразованию Галилея, нахолнтся из того условия, что если волновая функция Ч'(х, Е) удовлетворяет у. Ш. в системе К: д 1 И вЂ” Ч'(х, Е) = Нту == ~ — рз+ и (х, Е)~ Ч'(х, Е), (1) дЕ ' ' 1.2т то функция Ч" [х', Е) = 0%'(х, Е) должна являться решением у. Ш.
в системе К' (и наоборот); И вЂ” Ч"'(х', Е) = Н'тР' — = ~ — (д')з + и'(х', Е)т Чт'(х', Е). (2) Так как обе функции 'Р, 'Р' описывают адно и то же физическое состояние частицы (но по отношению к различным системам координат), то должно быль выполнено условие ! Чг' (х', Е) (й = ! Чг' (х — (ЕЕ, Е/)х = ! Чт (х, Е) (т, (3) выражающее незавяспмость от выбора системы координат плотности вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. Из (3) следует, что искомый оператор имеет внд й = р ( 5 (х, Е)), где 5(х, Е) — вещественная функция. Подставив в уравнение (2) Ч" (х', Е) = ехр(15(х, Е)) Ч'(х, Е) (4) н перейдя в нем к переложенным х, Е, получим д йз дз й д5 чдЧ' И вЂ” Ч' (х, Е) = — — — 'Р (х, Е) + И ( — — — — Р ) — + дЕ ' 2т дх' ' т, щ дх )дх Из д'5, йз г д5 чз д5 д5ч +~и (х, Е) — — — + — ( — ) + й У вЂ” + й — ] Ч (х, Е).
2т дхз ~ 2гп (,дх ) дх дЕ3 Потребовав, чтобы это уравнение было тождественно (1), при- ходим к системе уравнений й д5 И дз5 й у д5Чт д5 д5 — — +У=О, — — — + — ~ — ) +Р— + — =О. гл дх ' 2т дхз 2т 'чдх) дх дЕ (б) ') Не путать с потенциальной энергией и(х, Е); мы ограничились для краткости записи случаем одномерного движения. 342 Из первого из инх следует, что 5 = — т)Ех/й+/(Е), а второе позволяет найти /(Е) н получить 5 (х, Е) = — т)тх/й + щузт/2й+ С (несущественную постоянную С здесь можно опустить). Найдем закон преобразования волновой функции частицы в импульсном представлении. Умножив (4) на Ч'р.
(х') (с. ф. оператора импульса) н проинтегрировав по х' с учетом (5), полу- чаем , т(гз( . р(гт т ф'(р', () = ехр ( — 1 — +1 — ) Ф(р, Г), р= р'+ту. (6) 26 Л У Отсюда следует естественное соотношение ш' (р — ту, Г) = ш (р, Г) между функциями распределения по импульсам частицы н системах К' и К. б.27. Пусть в, ф. Ч'(г, Г) являетси решснием у. Ш. дЧг 1 г- е ч2 И вЂ” = — (р — — А (г, Г)) Чг + ет (г, 1) Чг, (1) д( 2т 1, с где А(г, Г), ~р(г, Г) — потенциалы внешнего злсктромагнитного поля. Инвариантность у.Ш. относительно калибровочного преобразования потенциалов означает, что если перейти к новым потен- циалам А'=А+у((г,(), ~р'=ф — — 1(г, Г), д с де то должен существовать такой унитарный оператор О, что волновая функция Ч" = ОЧ", описывающая то же самое физическое состояние частицы, что и исходная в.ф.
Ч' (но с другим выбо. ром потенциалов), и повтору удовлетворяющая соотношению (Ч" (г, Г] (з = (Ч'(г,1) (2, является решением уравнения Шредин- гера дЧг' 1 г е,~2 ьй — = — (ьр — — А') Ч" + е~р'Ч". д( 2ть с (г) Ввиду неизменности плотности вероятности, искомый оператор должен иметь вид й = ехр ((д (г, Г)), Ч" (г, Г) = ехр (15 (г, Г)) Ч' (г, Г) в уравнение (2) н потребовав, чтобы получающееся уравнение совпадало с уравнением (1), приходим н соотношениям сагЗ(г, Г) е(71 (г, Г), сд — 5 (г, «) = е — 1'(г, Г). д д д( ' д( 343 где 5(г, Г) — вещественная функции (сравннть с предыдущей за- дачей). Подставив в. ф. вида Отсюда находим Н(г,1) = е((г,1)/йс+ С, что н решает задачу (несущественную постоянную С здесь можно опустить). Очевидно, что для системы заряженных частиц Г1 ч У = ехр — э ед) (га, 1) ~ демаг и 6.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
