Galitskii-1992 (1185113), страница 61
Текст из файла (страница 61)
дг Отсюда чгп~ * с, (г) ц/2 хч', (х)/а, где г С~ (/) = )(2тйе) 1/зе ьв' ~ г" (Н)е'~~ И'. ь 348 где в соответствии с постановкой задачи Ч'р(х) — в. ф основного состояния осциллятора и Чпп(х,/ = †) = 0 (до включения силы осцнллятор находится в основном состоянии). Теперь с учетом вида волновой функции, см. (П.2), Имея в виду, что Чг,= (/2 хЧ'р (х)/а является в, ф. первоговозбужденного состояния осциллятора, замечаем, что под действием однородного поля в низшем порядне по г" только в это состояние н возникают переходы из основного состояния. При этом вероятность перехода при 1 -»- +со оказывается равной 'з) О)(0- ))=)С,(+ )(з= — ' ~ Р(1)е' гд/ 2тйм что длн случая слабого поля согласуется с результатом точного решения, см. 6.25.
6.3В Действуя на соотношение /Чг(а, 0) = /Чг(а, 0) слева оператором ехр( — 1/)1/б) и учитывая связь в. ф, и операторов в шредингеровском и гейзенберговском представлениях, получаем /( — 1)Чг(д,1) = /Ч'(61). Если здесь выбрать / = — д = а, / = д', то функция ч'(а, 1) будет совпадать и) с временнбй функцией Грина 6(д, /; а', О), и мы приходим к уравнению для иее, приведенному в условии задачи Для свободной частицы р(1) = р (оператор от времени не зависит). В импульсном представлении р = р и уравнеяне для функции Грина принимает вид р6 = р'6, Отсюда 6 (р, 1; р', 0) = с (р, 1) 6 (р — р')х ()) Воспользовавшись теперь у.Ш.
(по переменным р, 1), находим с (Р, 1) = сз (Р) ехР ( — 1Рз//2л1й), а из начального условия при 1 = 0 следует сз(р) = 1; приведенные соотношения полностью определяют вид временнбй функции Грина в импульсном представлении. Аналогично, используя соотношение г(1) = г + 1р/лг, имеем в координатном представлении (г — йз/т) 6 = г'6, что является системой трех дифференциальных уравнений; для х-компоненты (х + (161/лз) д/дх) 6 = х'6 и аналогично для других компонент.
Решение этой системы тоав- веиий имеет вид 6(г, 1; г', 0) =а (г', 1) ехр~( ( . )з.) 2А1 — (2) ") Как н следовало ожидать, выражение для вероятности перехода не зависит от конкретного выбора момента времени 1,. ы) Действительно, функция Ч" (а,1) при этом удовлетворяет у.Ш. по переменным д, 1 и при 1= 0 равна 6(д — а'), иак п требуется для функции Грина. 349 Подставив эту функцию в у.Ш., получаем й= — 3а/2(, так что а(г', /) =а,(г') Г Для определения аз(г') замечаем, что согласно начальному условию ~ 6дГ-ь! при /-ьО. Вычисляя интеграл, находим а (г', Г) = а (Г) = ( — гп>/2пд/) /з, что с учетам (2) завершает определение вида функции Грина.
Заметим, что зта выражение можно была бы также получить следующими двумя способами: 1) непосредственным вычислением интеграла (Л. 6), выбрав в пем с.ф. туе(г) в виде плоских волн и выполнив интегрирование па р, и 2) воспользовавшись (1) и общим выражением, связывающим ядра оператора в коордиватном и импульсном представлениях, как зто было сделано в 2.20 для функции Грина стационарного у.Ш. В заключение подчеркнем, что показатель экспоненты в выражении (2) равен Ю/й, где 1 т (г — г')' 3 (г, г', /) = — тазг = 2 21 является действием для свободной классической частицы. двнжущейся из тачки г' при Г = 0 в точку г в момевт времени В ее скорость при этом равна (г — г')/Д см.
(26) 6.32. Так как г(г) = г+ рг/т+ ГеГ/2т, см. 6.20, то урзвпение для функции Грина г( — /) 6 = г'6 отличается от рассмотРеинаго в пРедыдУщей задаче лишь заменой г' на г' — ГзГ/2т Это же замечание справедливо и в отпашении его решения (2) из 6.31. Теперь, однако, ц = ( — 3/21+ > (Г,г' — Гз/з/2т)) а. Отсюда находим п(г', Г) и аканчателю>ое выражение для фупн- ции Грина в координатном представчении 0(г, г; г', 0)= ( —,„) ехр ( — „~ — (г — г' — — ~ + Гогт —— (как н в 6.31, показатель экспоненты — действие для классической частицы, движущейся в однородном поле).
В импульсном представлении О (р, /1 р', О) = >г / 1 2 = ехр ~ь ~~Р Гор/+ Га~ )1 й (Р Р Га() 350 6.33. Сначала найдем фуннцию Грина с помощью (Ч1,6). Для осциллятора ч'„=(2" чггп ап1) Р ехр ( — — 1 ня / — 1, ~э=пю( + 2) где а = 3(б(псы; суммирование в (Ч1. 6) проводится с исполь- зованием нзгестной нз теории полиномов Эрмита формулы Ю на ~ 2хух — (х'+ у') х'1 ~э Нп (х) Нэ (у) а 1 хз ) ~ ~ 2ап( л:-о н приводит к следующему результату: ехр (( с(ц (ю() (х' — 2хх' весома+ (х')з)(2а') 6 (х, 6 х', О) (1) При определении вида функции Грина с помощью уравнения из 6.31 имеем (гейзенберговскнй оператор координаты осциллятора см.
в 6.20): д М( — () 6 =. (х совы(+ (а' з1п ы( — ) 6 = х'6. дх ) Отсюда 6 = с (х', Г) схр (1 (хз с16 ю( — 2хх' созес и()(2аз). Подставив это выражение в у.Ш., получаем уравнение с+ — (ыс16ы(+ (а(х')з(аз з(п ю() с = О. 1 3 2 Его решение с = сс (з1п ю() '(з ехр 11 (х') с1ц (а()(2ах~, при этом нз начального условия имеем сэ — — (2п(аз) — ыз и для функции Грана опять приходим к выражению (1). Так как для осциллятора у.Ш. в цмпульсном представлении имеет такой же вид, как и в координатном, то выражение для функции Грина 6(р,(; р', О) получается из (1) в результате очевидных переобозначеиий; х — ~- р, а -и 3(йгпы .
6.34. Гамильтониан частицы во вращающейся системе координат имеет вид (см. 6.29) Н э — — р (2гл — ыбх — Рх, Р = ей(м Временную функцию Грина найдем с помощью уравнения из 6.31. Для этого сначала установим вид гейзенберговских 351 операторов г(1) и р(1). Для упрощения записи ниже в них будем опускать аргумент 1 (а для шреднигеровских операторов будем использовать лишь их явные выражения; г и — 167!), а также положим й = ш = !. Уравнения движения для операторов имеют вид 2 = Рх + ау, уг = ди — вй, 2 = дз, 1)» — — адр + Р, ()в = арах Рз = 0 Ввиду линенности эту систему уравнений можно Решать как для обычных иеоператорных функций. Вводя комбинации д, -~- 1дг и х -~-!у, находим ))х + 1др — — Аре ьзг — 1У/а, 2+ 1У = (Ах + 1АР) е — г1а где А„, Ар — не завнсяшие от времени неэрмитовы операторы.
Их явный вид определяется из совпадения при 1 = 0 гейзенберговских и шредингеровских операторов, что дает д д Ах — — х + гу + У/вг, А = — 1 — + — + гр/а. дх ду Функция Грина с точностью до множителя с(г',1) определяется из системы уравнений г( — 1) 6 = г'6, сравнить с предыдущими задачами. Для решения системы уравнений удобно перейти от переменных х, у к и = х+ 1у и о = х — гу Далее, определяя с(г',1) так же, как и в указанных задачах и), можно получить окончательное выражение для функцки Грина: 6 (г, 1; г', 0] = (2и11) 1 ехр ч — гь — (г — г') + рр' (1 — соза1) + — 32 (г Г! г ( 1 ь2 + (х'у — ху') мп а1+ а гг (! — соз а1) (х+ х')— г гчл — в гг" (а1 — з(п в1) (у — у') + а ггг(! — соза1) — (2а') 'Уг(гЯ, (!) здесь р — составляюшая радиуса-всктора в плоскости х, у.
При со-~0 выражение (!) переходит в функцию Грина из 6.32. 6.36. Рассмотрим сначала поперечное движение частицы в магнитном поле, воспользовавшись векторным потенциалом А = (О, Жх, 0). Учвтывая устзновленный з задзче 7.! а) вид гр„р„ (р) с. ф. галгильтониана и его спектр Ег, „ согласно м) При этом, учитывая независимость гамильтоииана от времени, при подстановке функции Грина в у Ш. гамильтониан удобно выразить через шредингеровсиие операторы ноординаты и импульса частицы, формуле (У1. 6), как я в 6.33, получаем -!агг9Ф+!/$1 ! ггг(Р.
ф рв О) = / ~ е 'йгвр (р)йгнр (ро)г)р я = — з! 0<сц(Х, !; 2», 0)е а ' НРе. (1) ! . !р (е-е,)/» 2яА 5 Здесь О„ч — функция Грина линейного осциллятора, найденная в 6.33, с частотой ын = [е[ЗУ/тс; х =х — срг/ела и аналогично для «з. Вычислив в (1) интеграл и умножав получаюшееся выражение и) на 6е(з, !; гм О) — функцию Грина свободной частицы, см. 6.31, приходим к искомои времепнбй функции Грина (а' = А/тын): 0(г, !; гм О) =(2я!А!/т) з!те!з/», (2) т (я *о) 2А! гг е + — [с(й —" (р — р,)'+2 — (х+х,) (у — уз)~, Ее»~ 2 ' о [е[ где 5 — действие для клзссичесиой частицы в магнитном поле, сравнить с 6.3! и 6.32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
