Galitskii-1992 (1185113), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Заметим, что при изменении калибровки векторного потенциала, т. е. при переходе к А'=А+А/(г), функция Грина в новой калибровке получается умножением (2) иа ехр (!е [/(г) — / (га)[/Ас), сравнить с 6.27. В частности, для перехода к векторному по- Г/2 тенцналу А' = [еаг[/2 следует выбрать / —,Жху/2. 6,36.
Гамнльтоннан частицы имеет вид р2 !у = — — аб (х) — рх. (!) 2т Рис. 33 Уровень Е, дискретногоспектра в изолированной Ь-яме,см. 2.7, при наловсеиии однородного поля приобретает ширину (размывается) и становится квазистационарным состоянием частицы. Возникновение ширины уровня Г, определяюшей время жизни т = А/Г состоянии, связано с возможностью проникновения частицы через барьер и ухода ее на бесконечность, см.
рис. 33. Для 'е) Мультипликативный вид функции Грина связан с разделением яеременных поперечного и продольного движения час!ивы. 12 В. М. Галицкие в яв. определения параметров нвазистационарйого состояния следует найти решение у.Ш., вмеющее требуемые аснмптотики при х -«. -«- ~ао: уходящая направо волна при х -«. +оа (условие излучении) и затухающая волна в классически недоступной области прн х- —, см. [1, $134] Для решении уравнения Шредингера замечаем, что как при х ) О, так н при х ( О, оно заменой переменной г=й(х+ — ), й=( — „, ) приводится к уравнению Ч'"+ гЧ" = О.
С учетом отмеченных выше аснмптотнк его решение следует выбрать в виде следующих комбинаций функций Эйрн, см. [34, с. 264]: Ч«С«[А!( — г) — !В!( — г)] ал г ! ехр(! — г!з), х)0, !4 / 2 з 3 (2) Ч«=СоА!( — г) (-г) ехр(- — (-г) ), х <О. - 04 Г 2 3/2'ъ х.+— 3 Условия сшивания решения в точке х = 0 согласно 2.6 приводят к соотношению (го = $ЕУЕ) А! ( — га) В! ( — го) + ! А! (- го) =— айо (3) 2ив«о ' определяющему спектр квазидискретных уровней. В случае слабого поля и), когда Вйо/тса<(1, правая часть в уравнении (3) мала. Чтобы оно было выполнено, требуется малость и А!( — г,), а для этого должно быть Ве( — го) Ъ1.
Воспользовавшись асимптотиками функций Эйри [34], согласно уравнению (3) получаем ( — — ) [(1+ — + ...) + — (!+О ( — )) е ~~~= —, (4) 2 зд лап где и = — ( — га), оаа = —. 3 й' ' Решая уравнение (4) последовательными итерациями (Вет Ъ 1), находим в нулевом приближении (когда выражение в квадратных скобках заменяется на 1) Е яв Ео — й иэ/2вь что 2 3 ") Прн нарушении этого условия (в достаточно сильном поле) происходит сильное ушнрение уровня и специфические свойсува квазистациоиарного состояния на фоне непрерывного спектра исчезают.
354 соответствует кавозмущенному урони»о в б-яме. Записав далее Е Ее+ ЛŠ— — Г 2 н заменив ч в квадратных скобках в (4) значением нулевого приближения мо б не(43»пР, получаем сдвиг. уровня ае и его ши. 2 3 рину Г, возникающие при наложении однородного поля; б тР бтнз ' 262нз '4 ЛЕ= — 2 4 Г= — ехр~ — — ). (б) 32 4' ~ 3 Р Квадратичный по полю сдвиг уровня определяет поляризуемость основного состояния частицы в б-яме, равную ()4 = = бтез,(43»х~~ (положено Р = ед"), и может быть рассчитан на основе второго порядка теории возмущений, сравнить с 8.12.
Экспоненцнальная малость шарипы уровня связана с малой прошщаемостью барьера н может быть получена на основе квазиклассического выра»кения для проницаемости, см. (1Х. 7), а также задачу 9.28. Такая экспоненциальная зависимость ширины уровня от его энергии и «напряженности» поля характерна для частицы в достаточно произвольном потенциале, убывающем на больших расстояниях, см. 11.67. 6.37. В.
ф, каазистацнонарного з-состояния, Чг», »=.4 =уз(г)/г, удовлетворяет уравнению — Хе+ бб ( — а) Ха= 4~Ха, (1) я = 42тЕ)б», а = 2та/6», граничному условию Х»(0) = 0 и имеет при г-». «о асимптотику вида уе«о ехр((лг). В такой постановке задачи решение существует лишь при некоторых комплексных значениях й = й,— — й„при этом 4 й (Ф, — Аз):23 я4йг Е=Ег — — Г, Е,= Г= 2 ' ' 2»п ' т где Е„ à — энергия и ширина квазистационарного состояния (отметим, что й», з О). Решение уравнения (1) имеет вид С» з(пйг г< а, Хь(г) = Сз ехр (1(гг), г > а. ()=~ Условия сшивания в.
ф, в точке г = а согласно 2.6 дают рйа — йа «15 йа = аа, (3) что и определяет спектр квазидискретных з-уровней. 12* 355 В случае ба.м) нэ уравнения (3) следует, что значения йа для ннжвях уровней (таких, что (йа) «аа) близки к (и+1)я. Записав йла *(н+1)н+в~ — (ат! а О, 1, ..., (вцз(ч.;! н подставив в (3), легко находим приближенные значения вьз. а, — (а+1) н(аа, а ~аз, а с ними н спектр нижних нваэндискретиых з-уровней: (4) 1э1 н»А»(л+1)' л 2та» Как и следовало ожидать, положения квазидискретных уровней близки к з-уровням Ел частицы в бесконечно глубокой 1О1 потенциальной яме радиуса а и переходят в них при и -~-оо, когда потенциальный барьер становится непрозрачным.
Ширина квазистационарного состояния Г = Аш определяет вероятность ш его распада в единицу времени (или время жизни состояния т = 1/ш). Выражение (4) для ширины уровни позволяет наглядно проиллюстрировать эту связь, если его записать в виде Гл ( 2н (л+ 1) )з Ан (л + 1) А (. аа ) 2таз здесь 0(Ео») — вероятность прохождения 6-барьера прн одно- кратном столкновении, см. 2.30, а Дг = нй (л + 1 )/йта » = и/2а определяет число столкновений («ударов» частицы о барьер) в единицу времени.
Подчеркнем, что ширйны уровней много меньше расстояний между соседними уровнями. В заключение отметим следующее обстоятельство. Полученные результаты полностью переносятся в на случай и ( О (б-яма), что на первый взгляд представляется удивительным. Здесь проявляется особенность квантовомеханического отражения частиц потенциальной ямой в случае, когда она имеет резкие скачки илн изломы; коэффициент прохождения прн этом может быть малым, 0 К1, даже прн достаточно большой энергии частицы. Однако если перейти к плавной яме («размазать» б-функцию), то уже будет 1) 1 и квазистационарное состояние фактн. чески исчезнет (время жизни его будет такого же порядка, что и 'время пролета частицей областн локализации). 366 6Л8. Поступая обычным образом, находим — р [г, Г) + б(к) (г, 1) — — О, (г) ) Чо (г, 1) )з, (1) д 2 дг Ю р =! 2« ( Г) (; ) — — (%"рт — ойрой").
г» 2т Интегрирование (1) по произвольному объему дает В случае (Г~ — = О соотношение (2) представляет закон сохранения вероятности: изменение вероятности нахождения частицы в объеме К за единицу времени равно (со знаком минус) потоку вероятности через окружающую этот объем поверхность Я. В случае же (), чь О второе слагаемое в правой частя соотношенкя (2) нарушает этот баланс и тем самым представляет дополнитедьный механизм изменения со временем вероят. ности, а следовательно, и нормировки волновой функции, что можно интерпретировать как изменение числа частиц: «поглощение» при (Г, ~ О и «рождение» при (го ( О.
Отметим, что оптический потенциал обычно используется при описании какого-либо конкретного канала в многоканальной системе. При этом процессы «поглощения» н «рождення» отражают связь каналов, см. следующую задачу. Дли комплексной б-ямы, как и в задаче 2Л, находим (ао. ~ ) О) йшЕ ЧОЗ ш н= ( — — ) = — (а,+го~). йо у й ор = Ае-я1»1 Отсюда Е = Ео — оГ/2, где ш (ао з— аз) 2йк 2таоа, г= — „,— определяют положение и ширину квазндискретиого уровня. 6.39.
Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид где т — приведЕнная масса частиц; ниже считаем С)о ) О, так что 1-е состояние составной частицы, которому соответствует верхняя компонента волновой функции (см. условие задачи), является основным. Уравнение Шредингера сводится к системе двух уравнений, причем дли х ~ О имеем а з Ф фо — йофг фз = — йзфз — ('Р(г, 1) (»о(У = — <~ ) На — — (Го (г) (ор(г, 1) )оду. (2) о(1 3 й ~ где й> = 1/2тЕ/й' н йз —— 1/2т (Š— Яз)/йз. Решение этой системы следует выбрать в виде ф> з С>,зехр(гй>,з>х>), здесь учтены как условие непрерывности волновой функции в точке х = О, так и характер асимптотикн м) — расходящаяся волна— пря .с-». ~со. Сшнванне производных в.
ф, в точке х = О производится как в 2.6 и дает (й> + а) С> + ()Сз = О, ()С> + (гйз + а) Сз = О, (2) где а = тсг/йз и р = т(>(йз. Условие существования нетривиального решения этой системы уравнений приводит к соотношению (Гй, + а) Оя + а) = бз, (3) определяющему энергетический спектр дискретных и квазидискрстных уровней системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
