Galitskii-1992 (1185113), страница 66
Текст из файла (страница 66)
з. з, = ~1/2, см. 5.1. 7.9. Гамнльтониан частицы отличается от гамвльтониана бесспиновой частнцы дополнительным слагаемым, имеющим внд — рзЖй» (см. (/И. 1), ось г направлена вдоль магнитного поля), Оно не зависит от пространственных координат, так что в уравнении Шредингера координатные и спиновые переменные разделяются. Это обстоятельство с учетоы результата решения задачи 7.1 и сохранения з позволяет записать с.
ф. рассматриваемого гаыильтониана в виде тк 1 лркч (г) Хз здесь Чглр ч (г) — с.ф. гамильтониана бесспиновой частицы; их лркл явный вид зависнт от выбора калибровки векторного потенциала (при этом ч = =рк и ч = — гл соответствует случаям а) и б) из 7,1). Приведенные собственные функции (1) отвечают энергии частицы 3 Елр к =Едлк + —, Ег, лк = "ын~ и + — ) — 2роубз, (2) рк «к к 2т' к 2 ' к' л = О, 1.
2, ..., ы» = )е)рб/тс; при этом дискретная часть спектра Ег „связана с поперечным движением частицы н ушыывает также взаимодействие с полем магнитного момента частицы. Для электрона магнитный момент р,, = — (е)6/2глс и из (2) СЛЕдуст Е~ „, ~ Ем — — йапйГ, Гдс Ф = я+ах+1/2, р/= = О, 1, ... Этот спектр имеет следующие характерные особенно- 374 стн. Основной уровень. й/ = О, нвляется «невырожденным» т), при этом его энергия Еэ О (и= О, з, = — 1/2), а уровню с Аг чь 0 «двукратно» вырождены: им отвечают состояния как с и = Ь/, з, = — 1/2, так и с и = Аг — 1, з, = +1/2. Отмеченные особенности спектра отражают суперсиммегрнчный характер гамильтониана поперечного движения электрона в магнитном поле.
Действительно, этот гамильтониан сводится к гамильтоннану суперсимметричного осциллятора, рассмотренному в 10.26, так как его можно записать в виде Й =- (р „+ ) е ( А /с)~/2т+ ) е) ЫЖда/2 си == Аюн (Ь~Ь + 1/2) + Ае'н(/~/ 1/2) (3) гО ОА Здесь / = (д, — /да)/2 = ~ ), при этом /+/ = (1+ дз)/2 — ~1 0) г (/, /~)~ =1, а Ь=(й +/й,)/.А/2тдын, причем я =— тт =(р+(е) А/с), [Ь, Ь~) = 1.
Соответственно спин играет роль фермяонной степени свободы, нри этом аг = з. + 1/2, а орбитальное движсние отвечает бозонной степени свободы, так что лз = я. Спектр гамильтоннана (3) теперь записывается в виде Ег „а = Лыы(пп+ пг). Он совпадает, естественно, со спек, аиая тром Ег „, и объясняет отмеченные выше его закономерности. ' "зг В заключение приведем выражения для операторов сс преобразованич суперсимметрии, см. 10.26, в условиях данной задачи: Ят == (с)1+ 4т)/2 = дЬ/~ = " " ( Ъ/2т 'ч О 0/ Я = Я ), Я1 = Сс+ + 1с = (д,йу — дай»)/Ъ/2т, 4с = — 1 Я вЂ” 1;1) = (дзйя + ддйу)/Ъ/2т. При этом д= )/Аы и гамильтониан (3) может быть записан в следующих эквивалентных формах: Йг=41~=()~~=(С1 0~)+..
7.10. 1) Имея в виду соотношения (У. 3) и (У11,2), выполним следующие преобразования указанного в условии задачи гамильтониана: Й = (а(р — еА/с))'/2т+ еф — = тадьб б (2+ еф = = т(д +/е, о ) б б /2-~-еф= тчз/2+еф — ейЯо/2тс. (1). ') Мы отвлекаемся от вырождения, присущего уровням Еь, поперечного движения в магнитном поле бесспиновой частицы. Отсюда видно, что он действительно является гаммльтоннаиом Паули для заряженной частицы со спином з 1/2, зарядом е и собственным магнитным моментом ре ей/2тс в электромагяитном поле (такое значение ре.
следующее из уравнения Дмрака (29), нмеют электрон, мюон и их античастицы). 2) Для описания стационарного магнитного поля (в отсутствие электрического поля) удобно выбрать м = О, прн этом векторный потенциал А(г) не зависит от времени. Соответственно не зависят явно от времени как оператор скорости частицы, так и оператор ож Поэтому, имея в виду выражение для гамнльтоннана Й= т(оч)з/2 и формулу (У1.4) для дифференцирования операторов по времени '), приходим к выводу о том, что оператор оч является оператором сохраняющейся физической величины (интегралом движения).
Далее, при движении частицы в однородном магнитном поле чз также является ннтегралом движения' ), Сохранение как оч, так н ч' означает, что проекция спина частицы на направление ее скорости является интегралом движения. Этот результат является отражением того физического обстоятельства, что изменение со временем векторов скорости и спина (н, в частности, их средних значений) частицы в однородном магнитном поле имеет одинаковый характер н представляет прецессию с частотой, равной ыю см.
7.15. Если же магнитный момент частицы отличается от значения ей/2ягс (для з = 1/2), то угол между векторами скорости и спина изменяется со временем. Это обстоятельство лежит в основе экспериментального метода 'е) определения аномальной части магнитного момента Но — = ре — ей/2шс в случае, когда она является малой величиной. 3) Соображения об отсутствии связанных состояний при движении заряженной бесспииовой частицы в магнитном поле, высказанные при решении задачи 7.5, непосредственно перено.сятся и иа гамильтониаи (1) (в случае гр = 0).
7.11. В условиях рассматриваемой задачи в гамильтоииаие Паули (УП. 1) первые два слагаемых не зависят от спина, а последнее — от пространственных координат. Поэтому уравнение Шрйдингера нмеет частные решения с разделенными перемен- е) Заметим, что дч/дг= — (е/шс) оА/дй ') Для бесспяновой частицы чх сохраняется прн движении и :-в неоднородном магнитном поле. 'з) См. подстрочное примечание к решению 7.15.
вымн вида Ч'(г, 1) ф(г, 1)Х(1), в котормх функции ф м Х удовлетворяют соответствующим у. Ш. И вЂ” 1ь — (р — »А!с)з+ ефз( Ф И вЂ” — — »ьаХ. (1г дф Г1 дх дт 1 2гл дг з Общее же решение уравнения Шредингера описывается суперпознцией (2з+ 1) (в соответствии с числом независимых спиновых состояний) таких частных решений. При этом, записав волновую функцию произвольного состояния частицы в момент времени Г = 0 в виде (для наглядности считаем з = 1/2) ч (,)=о) =(ф' ' )=ф,(,о)( )+ф,(,о)( ), где каждое из двух слагаемых представляет в.ф. с разделенными переменными, в силу линейности у.Ш. получаем в прона. вольный момент времени Чг (г, 1] = 1Р, (г, 1) Х~ (Г) + 1Р» (г, Г) Хт (Г) где функции фа т и уь т удовлетворяют уравнениям (1) и соответствующим начальным условиям. 7.12.
Направив ось» вдоль магнитного поля, имеем спиновую часть гамильтониана частицы в виде Н = — ПУУп,. При д этом у. Ш. И вЂ” Ч'(Г) = гт'Ч" (Г) для спинозой в. ф. Ч'(Г) = д( г' С, (г) '1 ) сводится к уравнениям С1 = (ыСь Сз — — — гыС»,.
(.с,(г) ) где ы = )ьЯ/й. Отсюда С, (Г) =еымС, (0), Ст(т) =е 'вгС»(0), где постоянные Сь э(0) определяются начальными условиями,. причем для нормированной волновой функции )С,(»+ (С»(э = 1, Средние значения компонент вектора спина равны: а (Г) = Чг" (Г) 2 Чг (Г)1 У» (Г) = У» (0) сок 2еы + за (0) з(п 2аС, Уз (Г) = зз (0) соз 2ыт — У» (0) з(п 2оы, У» (1) = У» (0) = сопз1, (1У т. е, вектор з(Г) прецессирует вокруг магнитного поля с угловой скоростью, равной 2ы. 7.13. Результат предыдущей задачи непосредственно обобщается на случай магнитного поля»э (Г) = (О, О, М (Г)).
Теперь. у. Ц1, принимает внд УйС,--РУ(У(У)С,, гйС»= р®(Г)С„ а его решение с Сс (1) е~й(0С, (О), С,(1) =е ~й(0Сз(0); й(1) = — яу(1) о. й о Средние значения компонент вектора спина з(!) опясыиаются формулами (!) предыдущей задачи с заменой в них в1 иа й(1), так что вектор з(1) вращается (вообще говоря, неравномерно) вокруг направления магнитгого поля.
7.!4. Спнновая часть гамильтоннана частицы имеет внд зеоехр(-йоос) ) Жс / а (1) 'т При этом у. Ш. для спинозой в. ф. тр (1) = ( ) сводится [,Ь(1) ! к системе уравнений /йа = — Нтзса — НМо ехр ( свес) Ь, 1ЬЬ' = — СсМо ехр (свос) а + рЖ, Ь. С помощью подстановок а = ехР ( — сао1/2) а, Ь = ехР (ноас/2) Ь она приводится к системе дифференциальных уравнений для функций а(1), 6(1) уже с постоянными коэффициентами, что позволяет легко найти ее решение (сравнить с 6.9): а(1) = С, ехр(свс) +Сз ехр( — 1вс), Б (1) = у' С, ехр (са1) — + у' С, ехр (-сас); ут ус здесь У! =Рзес/Ь + ао/2 Уз = Резо/й а ='~/У! + Уз Учитывая, что согласно начальным условиям а(0) = (, Ь(0)= О, находим окончательный вид нормированной в.ф.
[(в + у,) ес" + (а — у,) е ™ ) е !Р (1) =— наст ) 2а — '.'" ""') 2!уз юп вс еСеь11 так что вероятность переворота спина, т. е, значения проекции з, = †!/2, в момент времени 1 равна Ж(за= — )/2, 1) = [ — ) з!паа1 — и интас, (3) гусхт где +) —; ')3 2 уз Мо ®о+ [М! + йво!29) 378 Вероятность переворота спика, как и зиачеиие параметра и, при выполнении условия Ма<Ж, мала при всех зиачеииях частоты во, за исключвнием узкой области частот вблизи точки Ва,аа = — 2раву/Л И ШНРИНОй ПОрядКа ЬВО Мар/6. ОТМЕЧЕН- иый резоиаисиый характер зависимости вероятности переворота спина от частоты лежит в основе одного из экспериментальных методов определения магнитных моментов частиц.
7.15. Задача Решается аналогично 6.20. Приведем выражения для гейзеиберговских операторов компонент радиуса-вектора, импульса и спина частицы: 2 (1) = Х соз ват + х тип во( + (1 соз во() тво тво р (1) = р сов вог+ р з!п вот — твоя ып вог, ро Р (1) = Р— Х а!и ва1 Ф вЂ” (соз ва1 — 1) + — з!и вог, тво тва Ро (1) = Ф„, з (1) = 2+ 1Р,/т Р, (1) = Р,! зх «) = за соз в1+ з„з!и в(, 4 (1) =1 созвг — з„з!п в1, У (1) =йю во = еубо/тс, в = 2ррба/й.
Здесь хь Рь М, — соответствующие операторы в шредингеровском представлении. Оператор скорости частицы а =- ог(1)/Ж находится непосредственным дифференцированием оператора г(1). Изменение со временем средних значений а(1) и з(1) описывает прецессию этих векторов с угловыми скоростями, равными во и в соответственно, так что в случае во = в угол между ними остается неизменным. Подчеркнем, что этот случай соответствует частице, имеющей сливовый магнитный момент р, равный ро = = ея/2тс, сравнить с 7.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
