Galitskii-1992 (1185113), страница 69
Текст из файла (страница 69)
б) Теперь г'ж ()э(1 — г/2а + г'/ба') и Е()) =()о(1 — + ]ба~+1 — 3!(!+ 1)]]. (5) 4$ 125э Как видно из (5) и (6), случайное кулоновское вырождение уровней по 1 снимается. Заметим, что для потенциала Хюльтеиа у, Ш. для з-состояний допускает точное решение, см.
4.8. При этом (для ! = 0) Е!о! совместно с (5) описывают точный результат. 8.16. У,Ш для радиальной части, Х = гР, с.ф. гамильтоииана кмеет вид й' „а йЧ(!+!) — — х" — —, х+ Х = Е„гХ. 2п г 2эгг Эффективная потенциальная энергия в этом уравнении а, йЧ (1+ 1) 0 = — — + гт 2лгг имеет минимум в точке йЧ(1+ !)~!11з-ч! га —— ити В случае ч ( 2 и значениях момента частицы 1-ь ос для нижних радиальных состояний область локализации в.
ф, вблизи этой точки миннмума (при этом гэ-г о~) существенно уже области, в которой можно ограначвться первыми члснами разложения эффективного потенциала (гэф —— — 2 а(2 — т)го + 2 а (2ч — т ) го " (г — го) +... (1) (сравнить с предыдущими задачами 8.13 — 8.15). Поэтому в нулевом приолнжеиви мы приходим фактически к задаче о гармоническом осцнлляторе с точкой равновесия г = гэ и упругостью гг й=(! «(го), что позволяет получить') (сравнить с (И,2)) хвю! =(2 "а чги и,!) ехр~ —, ~н„( — '), (2) Е ! — — — — а(2 — т)г +й ~ г 1Чп + — Г1, !о! 1 I а(2т — т') -з — ч г 1 т 2 ')/ „, э ( г (3) здесь а = (й г +~)ига(2ч — и )) '.
Для применимости полученных результатов требуется выполнение использованного при их выводе условия: радиальная функцкя (2) должна быть локализована на расстояниях !г — гэ( ьго. ') Учет следующих членов в разложении (1) (ангармоннческнх поправок) позволяет с помощью теории возмущений уточ. нить этот результат. Отсюда следует, что 1»(иг+ — рц/2 — т (сравнить с 8.18 2)/'Ч и 8.14). Проиллюстрируем полученный результат иа примере частицы в кулоновском потенциале, т. е. для т = 1; при этом Ел = = †т/2изиз.
Запн"ав и = ! + 1/2 + п, + 1/2 и выполнив разложение та' 1 л = — 2йз (!+ 1/2+ иг+ 1/2)' та' та' / ! '! 2йз(1 ! !/2)з + йз(!+ П2)з ~ г+ 2/' и' Г дз дз аз дз 2т ~ дх' ду' Ь' дг' 'Р (г' = а) = О, Так как по условию (а — Ь(~а, то, записав а =(1+ с)Ь„ где (е( С1, представим гамильтониаи в виде Н = Ез+ Р, выбрав дз , - дз дз Йз = — — Ь', Р = — — (2е+ е') —,. (1) 2т 2т дг'з При этом Р выступает как оператор возмущения. Для основного состояния вевозмущениого гамильтониаиа имеем (сравнить с 4.1) !е> зш ч/Ба г а г(а! Е! > — (2) изйз о 2таз (здесь и киже для упрощения записи штрихи у переменных опушены). Расчет поправки первого порядка по малому параметру е согласно (1) сводится к вычислению среднего значения дз/дга замечаем, что результат (3) представляет первые два члена разложения (4) для Е, по малому параметру (и, + 1/2)/(!+ 1/2) (при этом следует учесть, что !(!+1) = (!+ 1/2)' ввиду !»1).
8.17. Решение данной задачи получается заменой — а на сз и — ч на ч в формулах предыдущее задачи (теперь Е„> > () и ограничений на значения т ) О не возникает). В случае сферического осциллятора точный спектр Ел = = Доз(йг+ 3/2), где й> = 2и, + ! (см. 4.5) и ы = ц/2а/т . Формула (3) из предыдущей задачи воспроизводит этот спектр с единственным отличием; заменой 1+ 1/2 на Ч/! (!+ 1) (несущественным ввиду !»!). 8.18. Замена переменных х' = х, у' = у, г' = аг/Ь приводит у.Ш. и граничное условие для с. ф, гамильтониана к виду для основиого состояния.
Ввиду сферической симметрии его в.ф. имеем, очевидно, дз дз дз 1— — — — = — Ь дх' дуз дзз 3 Отсюда с учетом выражений (!), (2) следует Так как объем эллипсоида равен 4п , 4п з 4п агу аз(1 е) — ' )зз 3 3 3 то согласпо (3) замечаем, что Ез пзйз12т)(з, здесь )1 — радиус шара такого же объема, как и у эллипсоида. Таким образом, в первом порядке по параметру деформации е энергия осиовяого уровня определяется лишь объемом эллипсоида. Имен а виду, что в з-состояниях частица оказывает одинаковое по всей поверхности давлеиие на стенки сферической ямы, а также выражение для совершаемой работы, — Р д)г, при изменении объема, легко сообразить, что этот результат остается справедливым при малых деформациях поверхности достаточно произвольного вида, сохраняющих объем, 8.!9. Задача решается аналогично предыдущей.
Теперь йп !а зм 1 — 1гтз)з(аа -ь!, ! ))гсг Еа ! !о1 г ' а) г 2ра' см. 4.9; иевозмущениый уровень (21+!)-кратио вырожден. Ввиду сохранения Ь приведенные в.ф. являются правильными фуикцияма иулевого приближения для возмущенного гамильтоииана, так что сдвиги уроввей Для вычисления здесь интеграла рассмотрим сначала более об- зций матричиый элемеит вида дз (пг(га ( ( пг1пз). дх дх После выполнения в нем интегрирования по координатам ои прииимает вид (т'!Тзз)т), где Рм является уже обычиой матрицей, действующей в пространстве векторов состояиий момента величины 1, в котором векторы !т> определяют базис, Из 395 соображений о тензорном характере оператора Тм следует (сравнить с ЗАО, 1! — матрицы-векторы компонент момента): Т =Айза+Ва 1 + С(1 1а+!а/г). (2) Ввиду симметричности Тм имеем В = О. Далее, из условия дз (!~!а= ~! О О кг к следует соотношение (ЗУ А+ (21(1+ !) — !) С = О.
Наконец, свертка в (2) по индексам 1 и й дает ЗА+ 21(1+ !) С= Т,, = Л. (4) Определяя из (3) и (4) значения А и С, а также учитывая, что — (аз/2М) Ь = Е!е!и получаем а и П! 2(з+ 21 — ! — 2щз !о! чг!ю (21 !) [21+ 3) лтр Отсюда следует, что вырождение уровня частично снимается: он расщепляется на 1+ ! подуровней, из которых один (с т = 0) является невырождениым, а остальные (с т = = ~(лг() двукратно вырождены. В более высоких порядках теории возмущений дальнейшего снятия вырождения, очевидно, не происходит. Заметим, что среднее по всем подуровням значение поправки первого порядка равно лг!т 21 чс ! ~ р згггл 3 Яг! (о вычислении суммы см. 3.3), так что значение Ел гт как и г в случае основного состояния, определяется только объемом эллипсоида (см.
по атому поноду замечание в предыдущей задаче). 8.20. Уравнение !зчг =/РР с помощью подстановки ч/2п з!и О принимает вид одномерного уравнения Шрйдии~ера ! лгз — (/4 1 Хл+ ) С'+ — — — à — )Х = О 4 з!п 0 396 с й 1, «массой» )4 = 1/2, «потенциальной энергией» У(0) = (гле — 1/4)/а(п» 0 н «энергией», равной Ех + 1/4. В случае лгх~ 1 «потенциал» имев~ глубокий минимум при значении 0 = и/2 и в. ф. нижних «уровней» локализованы вблизи этой точки. Разлагая У(0) в ряд 4/(0)=[,пг 4)(1+(Π— — ") [ 3 СΠ— — ") + "'1' (2) замечаем, что рассматриваемая задача сводится к у.
Ш. для линейного осциллятора. В нулево,ч приближении, опуская в (2) слагаемое (Π— и/2)4, получаем (положено х = 0 — и/2). ! 44 ~/22» Ч/и и! (Е )!! т +2(т)~а+ — ~! — —, п=О, 1,2, л 2/ 2' (3) здесь С вЂ” фазовый множитель, см, ниже; в волновой функции и в выражении для Ьл опущены члены порядка 1/(т(. е Для уточнения значения Ь' найдем следуюшую поправку, соответствующую учету в (2) ангармоничности (Π— и/2)'. Она оказывается равной (1.
) = — 4хй — — ') =и +а+— !41 2т» / и ~4 а 1 л = 3 х 2) 2 (сравнить с [1, с. 166)), н прибавив ее к значению нулевого приближения из (3), замечаем, что получающийся результат Ьт (Ь„)!о!+ (Л~)14> = ( [ т ) + и) () пг ) + и + 1) (4) 8.21. Вычислим среднюю эяергию Е(а) и найдем ее минимальное значение ппп Е Е(ае). В соответствии с основной идеей вариационного метода его можно рассматривать как некоторое приближенное значение эяергня основного состояния Ею.»4» = Е(ао) Так как используемые пробные функции отражают характерные свойства точной в. ф. основного состониия 397 воспроизводит точное значение Ее = !(!+ 1) с ! = /лг)+ л. Отметим, что условие локализации в.ф.
(3) в области углов [Π— и/2) «1, использованное при решении задачи, требует, чтобы п«)т[, )т) ~! (сравнить с 6.!3). Наконец, как известно, фазовый множитель у шаровых функций фиксируется определенным условием, см. (П1. 8), (!П. 5). В соответствии с ним в (3) следует выбрать С = 4! ( — !)(~т ! Ч'в(х), очевидные из общих соображений. 1) условие Ч"в(х) сюх при х- О, 2) быстрое (экспоненциальное) убывание на больших расстояниях, 3) отсутствие нулей (не считая граничных), 4) ее плавный монотонный характер по разные стороны от экстремальной точки, то следует ожидать, что отличие Ев,.„ от точного значения Е, не будет слишком большим ').
При вычислении среднего значения Е = Т + 0 удобно, пронормировав пробную в. ф., воспользоваться соотношением — йв ~ Т = — ( Ч"' (х) (в г(х 2т,) и учесть значение интеграла (Д1.6). о) Из условия нормировки в. ф, имеем Ав = 4а'1 далее находим — й'а' —, ЗЕр Т= —, У= —. 2т ' 2а Минимизация Е(а) дает Ев,вар=( 3 ) ( ) 1966( ) ° (1) б) Аналогичным образом получаем Т = Зива/4т, (/ = 2Е,/а/аа, Вв = 4 )/ав/и Ев,вар=( ) ( ) 1,861( ) (2) Так как вариациоиный расчет дает ограничение сверху на значение энергии основного уровня, то заранее можно утвсрждать, что из полученных результатов (1), (2) более точным является второй; точное значение Ее = 1,866 (й Ео/т) ", Отмее з 1/3 тим, что в обоих случаях имеет место соотношение 2Т(ав) = = (/ (а,) в согласии с теоремой вириала, см. 6.12.
8.22. Поступая как н в предыдущей задаче, приходим к следующим результатам. в 1 зв ~ —. Йвтз (2т — 1) а) Ав= — (2т — Ца ", Т 2 2т (2т + 1) а' ' — (2т — 1) а (/ =— 2а ') Сравнение результатов вариационного расчета с точными в рассмотренных в этом параграфе задачах позволяет составить представление о точности таких расчетов с использованием простейших пробных функций. 398 Теперь минимизация по т (очевидно тр = рр) дает Ею, ррр = — таю/2йю, что воспроизводит точный результат, см.
2.7. Причину такого совпаденвя легко понять, имея в виду соотношение Пгп (! — з/т)~= е з при т-ь рр; пробпая функция для значений ар(и) из (1) прн о -ь ор совпадает с точной волновой функцией основного состояния. Как видно из (1), звачения Е(аю,т) блязки к Ер и при т, отличпых от ор = ро; 10 (существенное различие проявляется лишь для малых значений т, при которых начинает сказываться медленное убывание иа больших расстояниях, по сравнению с точной, пробной вол- НОВОЙ функцин). б) Используя значевие интеграла (Л1.5), находим 2Р-г(ч !)1 азю †! и (2т — 3)1! йхр йа' й= — = 2 2(2о — 3) ' т (2р — 1) Ию Т = 8(т+ 1) таю Мииимизация по параметру а дает (ы = й/и/т) / 3 Е(аю т)= Ьы, 2 Ч 2тю — т — 3 Нрт (2о — 1) (2т — 3) )г14 4йт (т + 1) "=( ' (2) а последующая минимизация по о воспроизводит (при =те= ор) тонное значение Ею = йы/2 (объяснение этого обстоятельства — такое же, как и в случае б-ямы, а сделанное выше замечание о близости е(ар, е) к Ер и при р Ф тр остается справедливым и для осциллятора).
в) Для кулоиовского потенциала, (/ = — а/г, находим 4нЛ = (т — !) (2т — 3) 12т — 1) а Р Т = — т (т — 1) (2т — 3) йр — (2т — 3) а — (/ =— 2(2т+!) таю ' 2а 399 Мииимизируя Е(а,т) сначала по параметру а, получаем та' г 1 23зтю Е(аю. Н) = р ~1 ю) аю ю. — 2ИР 'Х 4тю / (2Н+ 1) та ' (1) Минимизация по параметру а дает Г 3 Х таг 2ч(э+1) Яг Е (ао, ч) = — ~!в 8ч(ч — 1) ) 282 ' (2ч+ 1) та ) г по= , (3) а последующая минимизация по ч приводит к точному результату Е, = — пнхг/2Я'. Ситуация здесь такая же, кап и в случае рассмотренных выше потенциалов. В заключение отметим следующее обстоятельство. Как известно, если испольэуелгая пробная функция обеспечивает достаточно высокую точность варнациояпого расчета Ео, так что ) Ео „р/Е, — 1 ) = — у~ ~ 1, то вычисление с ее помощью каких-либо других характеристик / осяовного состояния (таких, как плотность вероятности (Ч'(г, (Ьх)г и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
