Galitskii-1992 (1185113), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Ее с.з. равны ') ! Вц о = — [е, + во + Рн + Утг =и 2 ж Ут(е~ — ет+ )м — Уот)'+ 4)Уы) 1 (2) В условиях отмеченной выше малости матричных злементов У,о разложение в (2) радикала по степеням параметра У/(ео — е,) соответствует ряду теории возмутпеннй для не- вырожденных уровней, первые члены которого совпадают, естественно, с выражениями (1). С другой стороны, в случае е1 — — ео результат (2) непосредственно следует из секулярного ураввения (У111. 5) для двукратно вырожденного уровня. Соответ. ственно при е1Ф ео формула (2) дает обобщение теории возмущений на случай двух близко расположенных уровней, взаимодействие которых друг с другом учитывается точно, а взаимодействием нх с остальными уровнями системы пренебрегается.
8.7. Рассмотрим значения параметра Л, близкие н неноторому Ло, и запишем гамильтоннан в виде УУ(Л) = У(Л,) + (Л вЂ” Л,) йт. Используя прн Л- Ло теорию возмущений, находим Во (Л) = Во (Ло) + 4 (Ло) (Л Ло) + В (Ло) (Л Ло)о+ о) Сравнить с 6.9. 388 при этом В(Лч) < О, так как поправка второго приближении к основному уровню всегда отрицательна. Отсюда и следует утверждение задачи, так как йзЕо (Л)/Жт = 2В (Л) < О. Проиллюстрируем установленное свойство выпуклости зависимости Е,(Л) от параметра Л на примере линейного осциллятора. Для него )) = р'/2т+ йхз/2 и Е, = де/2, где ы = П/й/ш. В роли параметра Л можно выбрать Л = й и непосредственным дифференцированием убедиться в выполнении неравенства м Ео < О.
Аналогично можно рассмотреть и случай кулоновского потенциала. 8,8, Для невозмущенного ротатора имеем, см. 3.1; т=О, ~1, ~2,... (1) Возмущение (г = — дд' = — 83' соз ф. Воспользовавшись формулой соз ф = (е'Ч+ е гв)/2, находим, что матричные элементы )г . отличны от нуля лишь для значений ш' = т ~! и равны при этом чЖ/2. Теперь согласно (ТгП1.!) н (1) получаем для основного уровня ротатора Е = Е!е'+ ЕО>+ ЕОН = — Пз/ез/йэ о- о о о= (2) Соответственно поляризуемость основного состояния ротатора ()а — — 2гР//Д', сравнить с 8.2 и 8 3. 8тя Хотя возбужденные уровни ротатора являются двукратно вырожденными, для расчета их сдвигов в однородном электрическом поле можно использовать теорию возмущений для невырожденных уровней, если заметить следующее.
Возмущение )' = — ЫМ' соыр, как и гачильтоннан Йм инвариантны при отражении координат относительно оси, направленнои вдоль электрического поля, т. е. при преобразовании ф -~ — ф. Следствием этого является возможность классифицировать с. ф. гамильтониана по значению Р = ~! четности и рассматривать соответствующие состояния раздельно. При этом сразу определяется система правильных с. ф. нулевого приближения (сравнить с 8.8): + = — соз !мр, тр = з!п !ир, )но> ! 1о! Š—, р=(т(=1, 2,...
6'р' 21 И ЗРО~ !+ — — 1/Ч/2М, Ео! )т — — О ДЛЯ Р = О. Начнем с расчета сдвигов четных уровней. Для них находим, что отличны от пуля лишь следующие матричные элементы 13* 387 возмущения: ~ —,(йг/2) р'=р~(, р'ныл, р~о, ~ — дй'/З/2; р'=1, р=О или р'=О, р=1, и по формулам (Ч1Н.!) получаем ()) (г) 5((г/б'г з) ((г/3'г Ей г=О; Е, е= бйг, Ен, ь (4)(г — 1) йг (!) для р ~ )2.
Для»ечег»»гл уравнен У, = — а(Е/2 при р' = р ~ 1 н-, н'- (остальные матричные элементы равны нулю), и их сдвиги равны Е(() = О; »г/яз» уг/ояг Е() = — —., Е() = (2) блг ' н (4рг — 1) Л- для р) 2. Из сравнения выражений (1) я (2) следует, что во втором порядке теории возмущений уровень ротатора с )»)! = 1 расщепляется и вырождение снимается, а при значениях (»г~ ) 2 происходит лишь сдвиг уровня (его расщепление возникает в 2)»г)-м порядке теории возмущений).
8.10. С. ф. и с. з. гамильтониана невозм> щенного ротатора имеют вид (см. 3.2) (р(с) ! (О ) .(с) Р(а) дг( (( + ! )/2( Ео = Ео + Ео + Ео = (о) (() (2) /й Ж ' 3йг (2) так что поляризуемость основного состояния ротатора равна !3» = 2/((г/Зйг. 8.11. Для вычисления матричных элементов возмущения (см.
предыдущую задачу) воспользуемся соотношением созб У а У, — а, У а = — ( >/((+ ш+ 1) (( — гл + 1)/(2(+ 1) (2( + 3) (для его получения следует учесть связь шаровых функций У(»г с присоединенными полниомами Лежандра Р!( ( и воспольэо- а возмущение У = — ((о сов О (ось з направлена вдоль электрического поля).
Учитывая соотношение сов б.уы — — — (У,г/>/3, см. (111. 7), и ортогональность шаровых функций, находим, что матричный элемент возмущения У~,„отличен от нуля лишь при ( = 1, т = О и равен 1'|𻻠—— (((д'/Э/3. Согласно (Ч1П. 1) получаем ааться рекурреитными соотношениями для последних; фазовый множитель у У,, см. (1225), выбран как в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица 1!]).
Согласно (1) отличны от нуля только матричные элементы возмущения 'г'! „! г = — У „= — Ы'а! Хотя уровни энергии невозмущенного ротатора вырождены (по проекции момента т при 1 Ф О), для расчета их сдвига и расщепления в электрическом поле нет необходимости применять теорию возмущений для вырожденных уровней. Ввиду сохранения 1, и при действии возмущения, состояния с различными значениями ш можно рассматривать раздельно по формулам теории возмущений без вырождения.
С учетом этого замечания по формулам (юг!11.!) получаем: Е)",, = 0 н !ю Изет 1(1+ 1) — Зтт дт 1(1+ 1) (21 — 1) (21+ З) Как вилис, (2! + 1) -кратное вырождение невозмущенного уровня ротатора частично снимается: он расщепляется на 1+ 1 подуровней, из которых одни, с т = О, является невырождениым, а остальные 1 — двукратно вырожденными по знаку проекции момента на направление электрического поля. Дальнейшего снятия вырождения в более высоких порядках теории возмущений не происходит.
Это связано с тем, что, с одной стороны, величина т = 1, является интегралом движения и может иметь определенное значение одновременно с энергией, а с другой стороны, энергия состояний, различающихся лишь знаком проекции момента на направление электрического поля, одинакова в силу инвариантности гамильтониана относительно зеркального отражения координат в любой плоскости, проходящей через ось а (при таком преобразовании энергия не изменяется, а проекция аксиального вектора (момент импульса) на направление полярного вектора (электрическое поле) меняет знак).
8.12. Для основного уровня частицы в 6-потенциале имеем (см. 2.7): Е~'> = — " " р!э) = ~/к е-'1и) м - — ' Для вычисления его сдвига под действием возмущения — еЕх во втором порядке (очевидно Е61= О) в качестве невозмущенных с. ф. непрерывного спектра удобно выбрать фУикции Чгьт (х), отвечающие опРеделенной четности /= ~1. ю) рак как для четных с. ф. гамильтониапа, искажаемых 6-потенциалом, матричный элемент возмущения равен нулю (и поэтому их явный вид несуществен), а нечетные в.ф. не искажаются со) б-потенциалом и поэтому совпадают с в.
ф. Ч'~) == з1п йх )ь-!= (- свободной частицы, то согласно (У11!. 1) имеем (Еэ=/гзлз/2т)с 1з1 1 з Чч ( )(й/(ед'х ! О) (з с Π— зт хебпйх е Ех Используя здесь значения интегралов хжпйх е ' ' Нх 1 ьзГ 4к/г (и' + л') и (Д1.5), находим сдвиг уровня и поляризуемость г Я~ бб 1 Ео = 6ОЕ рэ=бте/4/г и, 2 О сравнить с 6.36. 3.13. В сильном электрическом поле в. ф. нижних уровней ротатора локализованы в области малых углов (ф! ~ 1, так как потенциальнаи энергии (/ = — Ыд'соз ф имеет глубокий минимум при ф = О, см.
рис. 34. Разлагая (/(ф) в ряд и ограничиваясь первыми членами разложения: (/ = — гЫ соз ф ян — НМ + гЫ ф /2, (ф) С1, (1) Рис. 34 приводим в нулевом приближении га- мильтоннан ротатора к гамильтониану линейного осциллятора и воспользовавшись (11.3), получаем Е' 1- — Ю + 3 .У вЂ” Р + — ), и = 0, 1, 2... „о /дЕ г 1х "э т/ / 'х 2) (2) 390 Условие применимости проведенного рассмотрения состоит в малости с.
ф. (2) при )ф(-1. Так как в. ф. 9г~ф>(ф) существенно отличны от пуля лишь в области углов (доступных классическому ротатору) или ф~~фо~(п+ 1/2), дЕ г/ < в>+дЕ то отмеченное условие принимает вид 8'»3»(а+1/2)з/д1, Заметим в заключение, что взяв в (!) следующие члены разложения по фх (ангармонические поправки), можно уточнить значение Е«в (2).
8.14. Гамильтониан системы имеет вид 3» Иг О = — !з — бУ= — Л вЂ” Ис зО 21 21 (1) (полярная ось х направлена вдоль электрического поля д'). В случае сильного поля с. ф. гамильтониаиа для нижних уровней локализованы црн малых значениях угла Оч.! из-за глубокого минимума нри О« —— О у потенциальной энергии (> = = — Ю' соз О, сравнить с предыдущей задачей. Учитывая это обстоятельство, а также тот факт, что оператор Ь „— лапласиан на сфере единичного радиуса — прн малых углах 0 можно рассматривать как лапласиап в плоском двумерном пространстве (в плоскости, касательной к сфере радиуса /г = 1 в точке Оо = О, так что прн этом 0 является «радиальной» переменной), гамильтоииан (!) можно приближенно записать в виде й' г д' , д» х 1 г> ~ — — ~ — + ) — г(д+ — >(«У(х +у ) (2) 21 ч дхз дуг ) 2 Здесь х = О соз ф, у = 0 гбп ф, 8 = '»/х~ + у Гамильтониан (2] описывает плоский осциллятор, что позволяет, воспользовавшись 2АО, получить в нулевом приближении спектр и собственные функции исходного гамильтониана (1): Ем> — ~И'+ йы (й/+ 1), ы = (дд /1) >Гг, М = О, 1, 2...
Ч'~~,~„, = С„,С„, ехр ( — ф Н„, ( — ) Н„( у ), (3) я! + п» 391 где Ое = (йг//ддг)ы'. Так как с. ф. осцнллятора (2) локализованы в области 8 б~(йг + 1) О, то использованное выше услог г вие О~! опРеделЯет Условие пРимеиимости (3) в виде 8ге а. .Ц (й/ + !) ', или 8 »йг(>У + 1)г/д/. В рассматриваемом приближении уровень Е(мф имеет кратность вырождения 5(й)) й)+1. Такое вырождение — свойство принятого приближения. Учтя в разложении сов 0 следующий, 0', член, а также используя более точное выражение для Ьв в, можно уточнить (3), определив малое расшепление уровней я(э) Ф ' 3.15. При г~а рассматриваемые потенциалы имеют внд (/яв — ()эа/г, В таком кулоновском поле в.ф. нижних энергетическик уровней локализованы на расстоянии порядка г, а,ла от центра поля; здесь а, = дэ/гла()„л — главное квантовое число.
Если г ~а (т. е, $ — = э)аэ()э/Зз>>лэ), то, очевидно, в нулевом приближении искомые уровни нижней части спектра и соответствую)цне им с. ф. будут такие же, как и в кулоновском поле: 2 2 (э) (ла ()а лг! 2айлг (о) кхл )л гт ~л )м' г см. (!Ч.З). При этом отличие рассматриваемых потенциалов от кулоновского играет роль возмущения р(г) (/(г) + (),а/г. Ввиду того что орбитальный момент частицы является интегралом движения н при денствии возмущения, с. ф. (1) являются лрааильмыми функциями нулевого приближения и поправка первого порядка определяется выражением Е'„"! = ~ )г ( ) ~ 'Р~")„~' бэ .
а) Разлагая потенциал возмущения в ряд по степеням г/а, что дает У (г) = — ()э ( — 1/2 + г/12а + О (гэ/аэ)), (3) н учитывая значение интеграла (см. (1, 4 36]) г ] '(г( ) ) г( г = — (Злэ — ! (! + 1)) —, (4) и, согласно (2) †(4) находим „) ( ! Злэ — !(! + !) ~ л! 0) 2 л = л„+ ! + 1 (5) (заметнм, что учет в разложекин (3) слагаемого г'/аэ был бы превышением точное~и, так как его вклад в сдвиг уровня ()э/йз имеет такой же порядок величины, как и поправка второго приближения теории возмущений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
