Galitskii-1992 (1185113), страница 70
Текст из файла (страница 70)
д.) имеет существенно меньшую точность и, вообще говоря, )/..о//„„— 1! у. Так, в случае б-ямы рассматриваемая пробная функция прн ч = 10 дает значение Ео с погрешностью 0,2 %. Вычисленное же с се помощью среднее )2 (2ч — 3) (2ч — 2) (2ч + 1)г 'х та отличается от точного значения на 19 Чо. Далее, в случае кулоновского потенциала, также при ч = 10, согласно (3) Ео, „р отличается от точного значения на 0,4 %. В то жс время отличие (2ч — 3) (2ч — 1) (2ч + 1)' / та')з г ( 1)г 1 Г,г / от точного значения составляет 15 Чр Такая существенная потеря точности при вычислении пространственных характеристик частицы связана, по-виднмому, с тем, что используемые пробные функции при конечных значениях нариацпонного параметра ч убывают иа больших расстояниях лишь степенным образом, в отличие от экспоненциального убывания точных в.
ф. рассматриваемых систем. 8.23. Прн определении вида полнномов, аппроксимирующих в. ф. рассматриваемых состояний частицы и представляющих простейшие пробныс функции вариационного метода, прежде всего следует учесть граничные условия Ч"(О) = Ч'(а) = 0 и отсутствие нулей у в. ф. основного состояния (не считая граничных).
Далее, пробная функция для первого возбужденного уровня должна быть ортогоиальна в. ф. основного состояния (именно при выполнении этого условия значение Е представляет ограничение сверху для энергии возбужденного уровня, сравнить с 8 28). В задачах с одяомериым симметричным потенциалом таное условие ортогоиальности легко обеспечить благодаря раз- личной четности в. ф.
основного и первого возбужденного состояний при отражении координат относительно центра симметрии. а) Для основного состояния выбираем Ч' = Ах(а — х) при 0 < х < а; эта пробная функция, как и точная в. ф., является четной при отражении координаты относительно центра ямы х = а/2. Пронормировав в. ф., находим (так как Г = О, то Е=Т): А = —, Е= — ~(Ч'(х)(одх= — =1,0(ЗЕ,. (Н а'' 2т з таз б) Теперь, для первого возбужденного уровня, выбираем Ч' = Вх(а/2 — х) (а — х); множитель (а/2 — х) обеспечивает требуемую симметрию в. ф. Находим йо Е = Т = 21 — ом 1,064Е~ та В'= —, 840 ат (2) Ч" = Ах, (х ~ — х,) (а — х,), О (х, (хо(а, играюпонм роль пробной функции прн варнациоииом расчете энергии осяовиого уровня Е,.
Пронормировав в. ф., что дает А' = 8040а-', с учетом В = 0 находим Ео,оор = Т1+ То = а х до — 1 ') Чо + — Чо о(х1 о(хо = 28 — о 2т1л~дхдх та' о о (Т1 = Т,). Это значение отличается на 13 о/о от точного Ео = = бпод'/2тао, см. 2.81 и сделанное там замечание о вырождении уровня. 8.28.
Лля частицы в центральном потенциале при варна. иконном расчете энергии нижнего уровня с произвольным 401 (при вычислениях удобно сделать подстановку х' = х — а/2). Найденные значения (1) и (2) величины Е по смыслу расчета представляют приближенные значения энергетических уровней Е, и Е,. Близость их к точным значениям Е, = и'До(п + + 1)'/2та' связана с тем, что рассматривземые пробные функцпи отражают основные свойства точных в. ф. Чго(х) н Чо,(х), сравнить с 8.21. 8.24. Ввиду взаимной непроницаемости точек в.ф. системы удовлетворяет условию Ч'(хь хо) = 0 при х, = хо. Соответственно, учитывая граничные условия иа стенках ямы и считая для определенности, что 1-я частица находится левее 2-й, аппраксимируем точную в. ф. основного состояния выражением значением орбитального момента ! ие возникает осложнений, связанных с необходимостью выбора пробной функции ортогональной в.ф. более низких уровней (с меньшими значениями момента): угловая зависимость в.ф. в виде о»у! (п) обеспечивает такую ортогоиальиость автоматически.
Пронормировав указанную в условии пробную функцию, что дает Аз 5 (5+ т) (5+ 2т)12т' азтез с учетом значения Е = 0 находим Е (т) = т = — 1 )(* (г) ~~ ~ — — — г + — ) Р (г) 1 ге >(~ = 2п 3 ~( !г а) 5(5+ т) (5+ 2») 6» 4 (3 + 2м) п>оз ' Минимум Е(т) определяет оптимальное приближенное значение (дающее ограничение сверху) энергии нижнего уровня, и, = О, с моментом ! = 1. При этол! Ем „роз!0,306»,'гла», точка минимума т,ж0,37. Однако и при других значениях т-1 получается близкий результат, как это видно из таблицы 0,4 ~ 1 10,30 10,50 Е!'6з (п>аз) 10,42 11,25 Отметим, что точное знзчеиие Ез~ = 10,106»/таз следует из 4.9, если воспользоваться значением хз = 4,4934 первого нуля функции Бесселя Х,ж(х].
8.20. В соответствии с основной идеей аариациониого метода найдем среднее значение Е(у,а), минимизация которого позволит определить сдвиг уровня. Сначала нормируем пробную функцию, для чего следуе~ выбрать 1 Г 1 г в»аз т= — ~! (Ч'(х)(з х= — С (1+ 2 з 2 х 2(1+у) /' Ззрз (/ = — аб (х) — Рх = — Сз !х1+ (2+ у)з / (2) здесь и ниже используется «слабость» внешнего поля, а также система единиц, в которой 6 = т = а = 1, при этом мо — — 1 и Ео = — 1>2 — энергия уровня в отсутствие поля. Вычислив (о> и воспользовавшись (1), получаем (ограничиваясь членами не выше второго порядка по Е) 1 8вра (1 + (1 + у)з) ваРз 2 (2 + у)а 4 (1 + у)а Минимизация этого выражения по параметру е дает 1 1 Е (еа, у) = — — — — Фа (у) Е~ 2 2 128 (! у)а Р~ У (2,» у)а(1» (1» (4) (1 = 4хз ~ гз(/ (г) е зхг а(г, Е (х) = Т + (/.
о 52. а 2т Так как Еа ( Е(х) (Еа — основной уровень частицы), то если при каком-либо значении параметра х ) 0 будет Е(х)а О, то в рассматриваемом потенциале заведомо вмеется хотя бы одно состояние д. с. (потенциал связывает частицу). Поэтому искомое условие принимает внд (использование здесь максимального значения соответствует оптимальному выбору параметра х). Для потенциала У = — саб(г — в) условие (!) принимает внд шах (аха в ) ~ —, или й = — ) — яэ 0,68, Э вЂ” эха тао в 8т ' Аа 4 в то время как точное и совпадающее с ним необходимое усло- вие й ~ 1/2.
а) Так как для решения задачи важен лишь знак Е(х), то нормировать пробную функцию необязательно. Наконец, минимизация по параметру у позволяет найти сдвиг уровня. Минимум реализуется при значении у = уа — 0,34, прн этом получаем ))а, „„—— 1,225, в то время как точное значение ()а = 5/4 = 1,250. 8.27. Найдем среднее значение энергии частицы а) (Са = = ха/и нз условия нормировки пробной функции): Для потенциала из 4.8б) согласно (1) получаем гиль()ь 27 й= ь > ФФ0,84, йь 32 точное условяе й =ь 0,12, а необходимое к ) 1/2.
Отметим. что довольно сушественное отличие результатов вариацноиного расчета О от точных значений связано с крайне простым выбором пробной волновой функции. 8.28. Рассмотрим следуюшую сумму: О) — ! и — ! (Чга )Н)Чга) = ~ Еа. а.о а=о Выполнив здесь разложение волновых функций Чьа —— ) С „'ф;, ч ь Чдо) по с.
ф, гамильтониана Н, приходим к соотношению М-! и-! )С ~Е!О! ~, Е а О а=о л=е Важным свойством коэффициентов разложения С„, кроме очевидного ~ 1 Сал1з= 1, ивлЯетсЯ то, что дла них л и ! ~ !С.„)О<1. а=о С учетом этого неравенства нз соотношения (1) непосредственно следует утверждение задачи. Отмеченное свойство коэффициентов С„является следствием взаимной ортогональности волновых функций Ч',. Действительно, из условия (Ч'ь!Ч'ь) = бьь имеем Е СалСьл = баь Умножив это соотношение на С л.СО„. н выполнив суммирова- ние по а и Ь, находим т !ь,!'-т (т с..ь'„,( = -(г !с...г) ь т' ф с.,с'.„,! .
где штрих у суммы означает отсутствие в ней слагаемого с л = л'. Отсюда, очевидно, и следует обсуждаемое неравенство. В заключение отметим„ что результат задачи является обобщением соотношения Е ) Еь, лежащего в основе вариациониого метода расчета энергии основного состоиния, на случай возбужденных состояний. Существенно, что в ием фигурируют пробные функции, обладающие лишь взаимной ортогональностью (при этом не требуется ик ортогональность точным собственным функциям гамильтониана, отвечающим более низким уровним энергии). 8.29. Из уравнении Шредингера, записанного в интегральной форме зг+ (х) егзкга зг ! э их — х паУ (х ) гу+ (» ) д» (1) й)р( 3 следует выражение для амплитуды отраженной волны А(р) = — — 1 е'ЯШ~У(х)%'т (х) г(х, определяющей коэффициент отражения частиц )г = (я(з, см.
2.42. Решение уравнения (1) в виде ряда по степеням потенциала (кратности взаимодействия) (2) гр1О1 + гр(~) + дает, очевидно, , г1з1 азы» =е (2) Чг( ) = — ~ ехр ~ — ( ) р ( ) х — х' (+ р»') ) У (х') г(х'. д(р) .) !» Соответственно имеем аналогичное разложение и для амплитуды А(р) = Яиц+А<а'+ ... „где )й) ~~ ~ згрк(ау ( ) й(р) (4) Вводя фурье-компоненту потенциала О У (р) = ~ е з") У(х) ох А( ) = — —,, ~ ~ ехр ~ — (рх'+ рх + ( р ()х — х') )~ Х Хи(х') и(х) Ьдх. и используя соотношение (Д1.5), формулы (4) удобно записать в виде АО! = — 0 (2р), 5!р! (5) рй !т' ) У(р — 4) У(р+ Ч) бц пй') р ) 3 дз — рз — га (в ) Π— бесконечно малая величина).
На основе этих выражений, отражающих структуру рнда теории возмущений для А(р), можно сделать следующие заключения относительно ее применимости. !) Теория возмущений заведомо неприменима при р -~-О, т. е. для медленных частиц. Это неудивительно: согласно 2.39 имеем Р -~ 1 при р -с-О, а применимость теории возмущений предполагает Я« 1. 2) Обозначив через У, и а характерные величину и радиус потенциала, замечаем, что в случае ра/й ( 1 (т. е. для не слишком быстрых частиц, при зтом У(р) Уса) применимость теории нозмущений предполагает выполнение условна (б) при котором как ~Ч~~~ ~ «!Чс~~!), так и ! А(з!)<<) Ац! 1 3) В случае быстрых частиц, р — ь оо, хотя искажение волновой функции Ч'+ по сравнению с в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
