Galitskii-1992 (1185113), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В заключение рекомендуем читателю обсудить вопрос о переходах в системе, вызываемых возмущением, если прн г = 0 она находилась в одном из собственных состояний невозмущенного гамильтониана. 8.44. Воспользуемся известной формулой для вероятности перехода в единицу времени из состояния дискретного спектра в состояния непрерывного спектра под влиянием постоянного возмущения н> = — „~ ) >г„„(~6 (ń— Е> >) >(т. пает часть взаимодействия, ответственная за связь между ка- 42б >0 ()Л В данной задаче в роли возмущения Р = — ~ )б(х) выстуч.(> О) налами.
Под в. ф. Ч'(е! исходного состояния 'Я) д. с. следует о понимать в.ф, !р(о!=1 связанного состояния системы ' ф (х) / в канате с возбужденной составной частицей (по поводу обозначений см. 6.39). При этом йя 2 )г „=(й) )7(0) = — Р ~ фь(х] б(х) фе(х) г(х = — 6 согласно (1) получаем ()тяз / 2т Г=йш=— т~)г Е!з! и (2) б) Для более точного определения Г следует учесть взаимодействие (б-потенциал) в конечном состоянии.
При этом в качестве в. ф. фт удобно выбрать в. ф. фь !, описывающие со. стояния с определенной четностью 7, и учесть, что теперь й = ч)2тЕт)йз > О. Для б-потенциала эти в. ф, имеют вид (обращаем внимание на нх нормировку); 1 1 зра = 5!и йх, ф = соз (й)х) + Ь], ° -! / ' ьь! / 'з) Истинно связанным оно является лишь в пренебрежении возмущением. Под влиянием возмущения оно становится уже квазнстационарным с шириной уровня Г = йш.
Снязь с открытыми каналами играет роль конечной проницаемости барьера для квазистационариых состояний в случае систем с одним каналом, сравнить с 6.36, 6.37. 427 (рассматриваемое состониие отвечает основному уровню час- тицы в б-яме, см. 2.7, со смещенной на Я„нижней границей состояний непрерывного спектра энергии в этом канале). Нако- нец в.
ф, йг! 1=~ у где функция ф (х) описывает сов уфт(х)~ ° -~6 У У стояния непрерывного спектра в основном канале системы (т, е. с невозбужденной составной частицей) с энергией Ет = Е1„1; о !е1, конкретном выборе ф см, ниже, а) В пренебрежении взаимодействием в основном канале вместо точной в. ф. канала фт можно воспользоваться в. ф. свободного движения, т. е.
выбрать (приблизкенно) =(2п)' ' е; при этом т= — й, — оь(й<ао, иЕт= . !,'2 !Йх, = Ьзйз!2т. Вычислив теперь матричный элемент возмущения причем из условия сшивания решения при х = О, см. 2.6, следует !иб = та/йзй. Матричный элемент У»л, где теперь» = ~(й,т'), отличен от нуля лишь для четных состояний с т' = +! и равен У»а = -)1 Зги„/и соз б. Учтя значение б, согласно (1) получаем В'.,~ . /2 Г = дш = —, Й = »~/ (3) !3о Сравним полученные результаты (2) и (3).
По смыслу приближения а) формула (2) применима лишь при ()е ~~) Ео) = 2 з~ = й ко/2 и, к гда кинетическая энергия в основном канале много больше энергии связи. Действительно, в этом случае формулы (2) и (3) практически совпадают. Прн значениях Я, )Ед[ формула (2) неприменима (для частиц с энергией Е )Ее) коэффициент отражения Я 1, см. 2.30, и нк нельзя рассматривать как свободные).
Формула же (3), основанная лишь на слабости связи каналов, 6 «и, остается справедливой и в этом случае (в чем легко убедиться, сравнив ее с результатом точного решения, см. формулу (4) из 6.39). 8А5. Воспользуемся общей формулой для вероятности перехода в состояния иепрерыиного спектра под влиянием пернодического возмущения (см, [1, з 42)): ш= — '„" ~[Е,.['б(Е»-Ей"-Дыо) (' В данной задаче Р = — Езт соз (ые!) и соответственно Р = — Рех/2. Далее' ), »1~„! ц/н е и!х! — в, ф.
основного состояния в б-яме, и = ша/й, Е„е — Ее = — 3~к /2т — энергия основ!а1 ного состояния. В пренебрежении действием б-потенциала на частицу в конечном состоянии в качестве в. ф, чг» можно выбрать тх» ††= (2и) ( е — в, ф. свободной частицы; при этом » =- й, — Цз Нх — со < й ( оо, Е» = Дзйз/2т, Вычислив теперь матричный элемент Ре ч/и ц/2 йиз(зре Р»„— — — = 31 х ехР [ —.
(и (х ) + Йх)) Их = ! 2 /2м ~ ц/н (йз+ н')' ' з сй--*. °, ...., „, .в,... 428 согласно (1) находим 2ЯЕо(Ео 1"'1""о — '(Ео( (2) ш (Яы«) Хотя по способу вывода этой формулы (пренебрежение взаимодействием в конечном состоянии) ее справедливость предполагает выполнение условия Яы«д«(Е«(, на самом деле она применима и при Яа«~~)Е«( (в том числе и вблизи порога). Действительно, для учета укаэанного взаимодействия выберем в качестве в.ф. Чг«точные с.
ф. невозмущенного гамильтониани (частица а 6-яме) Ч"«, ь отвечаюпгие определенной четности «' (сравнить с предыдущей задачей). Теперь заметим, что матричный элемент Ртв отличен от нуля лишь для нечетных состояний, волновые функции которых не искахсаются б-потенциалом н совпадают с в. ф. свободной частицы. Соответственно формула (2) сохраняется и при учете взаимодействия в конечном состоянии, когда не возникает ограничений иа энергию вылетающей частицы. В заключение заметим, что при частотах Ягв«ц ~Е«( в рассматриваемом првближенин вероятность ш обращается в нуль.
При этом переходы частицы в состояния непрерывного спектра происходят в более высоких порядках теории возмущений («многофотонная ионнзацняь) и имеют поэтому существенно меншпие вероятности (сравнить с туннельной ионизацией в статическом поле, см. б 39, соответствующей предельному слу.аю ю« -ь О).
8.46. Для переходов в непрерывном спектре гггвюг я ) т'чч ! б (Е«Е«) г(ч' ~ чо' см. [1, с. 190). Под ч«, т следует понимать волновые «вскторы» (одномериого движения) свободных частиц н соответствующие волновые функции Сделаем замечание об их нормировке. Для в.ф, конечнь х состояний она обычная: на б-функцию по ч, причем в данном случае ч — = Я'. Нормировка же в.ф.
начального состояния на единичную плотность потока выбирается из следующих соображений. Считая рассматриваемую систему номе~ценной в «ящика большой длины Е, в. ф. начального состояния следовало бы выбрать в виде Ч'ч =еы"/уй. (нормированной на единицу). При этом вероятность перехода ш имела бы свой буквальный смысл в требуемую размерность(/Т. Однако в состояниях непрерывного, спектра обычно рассматривается не отдельная частица, а поток частиц с плотностью потока 1 = ро = о/(.. При этом в качестве характеристики процесса используется не сама вероятность, а соответствующее «сечение» процесса, определяемое соотношением о = ю/1( Оно уже не зависит от конкретного выбора значения ь (в отличие от вероятности перехода).
Используемая нормировка а. ф, Ч'з как раз и отражает описание процесса с введением соответствующего «сечения». В одномерном случае «сечение» вЂ” безразмерная величина н имеет физический смысл коэффициента отражения частиц. Выполнив в выражении (1) интегрирование по т (т. е. по А'), получаем )т = ю (й -»й' = -й) = — „,, ~ (/(х) е ' ~ ох (переходы происходят в состояния с й' = — й, отвечающие отраженным частицам). Этот результат совпадает с полученным ранее другим способом в задаче 8.29, в которой обсуждается ряд вопросов, связанных с вычислением коэффициента отраженик по теории возмущений.
8.47. Так как под влиянием ограниченного воздействия Рз (не обязательно малого!) волновая функция системы не успевает измениться за бесконечно малый промежуток времени его включения, то непосредственно в первые моменты времени при 1 ) 0 она совпадает с Ч'„; — с. ф. исходного гамильтониана В; — = Н~ (по условию задачи). Изменение (в среднем) энергии системы в процессе вклю. ченвя взаимодействия рм очевидно, равном) ЛЕ = (и, 1()гс( в, 1). Коэффициенты в разложении в.
ф. Ч',, по с. ф, Чгк ~ конечного гамильтониана (Н~ = Нз + ро), Чг„,г= Х с Ча,1 определяют искомые вероятности перехода: ю (гг -» й) = ( са„( = ((й, / ( а, 1) ( . (2) Рассматривая Рз как малое возмущение, для Ч"»,, можно воспользоваться известным разложением теории возмущений, см. ы) В связи с данной задачей см. 9.22, где случай внезапных воздействий рассматривается в квазиклассическом приближении.
(>»П1. 2), и найти согласно (2) "'»»»- >»» "-«~ — "'»>'. » «»»» Этот же результат можно получить в рамках нестациоиарной теории возмущений. Интегрирование в (УП1. 8) по частям дает г>) > (!) = — э а — д! — — е (4) 0 ! ( >вал> дуал Уэ (!) >мал> ды„э д( дыаэ Применительно к данной задаче Р = Рэт>(!), где т>(Г) — ступенчатая функция (>1(!) = 1 при ! ~ 0 и >!(!) = 0 при ! ~ 0). Так как»(»>(!) !Ф = 6(!), то замечаем, что ври ! ) 0 первое слагаемое в правой части (4), определяющее вероятность перехода, воспроизводит результат (3) (второе же слагаемое в (4) описываег искажение в.
ф. л-го состояния при Г 0 под влняиаем возмущения рэ и к переходам системы отношения не имеет). 8.48. Для определение изменения волновой функции под влиянием импульсного воздействия его удобно рассматривать как предельный переход прн т -ь О взаимодействия вида Р((,т) = = йг»1(!), где функция 1(!) отлична от нуля лишь при )((«< т, а интеграл от нее в пределах от — т до т равен !. Уравнение Шредингера при )!)(т принимает вид (8»р=>у«э1(!)%«(слагаемое Нэ в ганильтоннане опущено, так как оно не дает изменения в, ф, за бесконечно малый промежуток времени т! в учтенном же слагаемом при этом ((Г) !г»т-ьаэ).
Решение этого уравнения ««»=.*«( — — ' (»»«»»«э,)«»- ). »э д Положив здесь ! = т и устремляя т-»-0, находим искомое изменение волновой функции >Р (! = О+) = ехр (- (>«'э)й) Ч' (! = 0-). Учитывая, что по условию задачи»Р (Π— ) = »Рв>1, находим ис>э> комис вероятности ( -~ !г) = ~ ~ »Р»йэ> ' ехр ~ — — йг ) ч ~ю> г(т ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
