Galitskii-1992 (1185113), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В такой яме для каждой пары квантовых чисел л, т сушествует, причем только одно, связанное состояние, для которого (сравнить, например, с 2.22) 2 (о> Елто = Е» — 2„» Ч"з(з) кз ч г ехр ( — — (я(), / ра„ш / разы )/ йз ( й» 2 ~ ~ П (.Т/рз („яэ > ~ Ч«1о) (1») ~ 2крг(рг(з > О о о Отсюда, в частности, в случае слабого магнитного поля»з)„ для которого ал » Р, следует а со — аи 1'"1 ~ ~ (1 (г) р 1 1+ брг(г иж Р(уо ~ — ) со «тб( (4) г и .з1т1«т пн (в интеграле сушественны значения р(Р((ап для которых согласно выражению (1) Ч"„«о р гам ), так что энергии 10) 1т1! )т~«1 связи, равная ра„ю(26, резко уменьшается с увеличением (т), 2 ! 2 Подчеркнем, что величина 11 Д»/раю„определяет область локализации координаты з частицы и как легко заметить 11~1„ где 1 ал — размер области локализации частицы уже в перпендикулярной магнитному палю плоскости. Такиьг образом, область локализацви частицы имеет спнцеобразную («игольчатую») форму.
Это свойство сохраняется н при увеличении магнитного поля, когда условие а«>) и не выполняется. Спицеобразная форма области локализации волновой функции частицы связана с существенно различными значениями периодов движения вдоль н поперек магнитного поля в условиях применимости аднабатического приближения. 2) Пусть теперь потенциал притяжения У(г) не является слабым, так что рР»У»/6«~~1.
Чтобы его можно было рассмат- ") Подчеркнем, что полученные результаты в случае «мелкой» ямы не предполагают каких-либо ограничений на величину магнитного поля (поле может быть и слабым), сравнить с 7.7 443 ривать как возмущение на. фоне магнитного' поля, последнее должно быть настолько сильным, что выполнено условие )7 л агг го 1/(/зв. При этом для состояний с квантовыми числамн ж гп — 1 (точнее, 1/и, )/) ш ( Г 11/аи, сравнить с 7,2) в выражении (2) можно, вообще говоря, вынестн за знак интеграла и() () и полу-.' Е1,',1, кз У ( ) и ) ), (5) „«х* Г Еез Е Е!о1, гг(з) Е!о> 4.
-и то и 2р .! ( )+ е х~ ~г(зяв яз Е! ! + — 2хЛе«)п —; о й'х' 1 2р для приближенного вычисления интеграла с логарифмической точностью можно заменит~ экспоненту единицей, а пределы интегрирования ~со значениями (ж!/х). Мшгимум Е„о(х) реализуется при значении х, приближенно равном 2 йз хо !и (ан/ан)' где ан « ав В результате получаем 1 Х 22ез гг(л+ — г! — — 1 з (ав/ и).
ав (6) так что эффективный одномерный потенциал имеет такой же вид, как и исходный центральный потенциал У(г) (см. 4.! и 25 .о связи энергетического спектра в симметричном одномерном потенциале (7((з() со спектром з-уровней в центральном поле (г(г)). Замена, приводящая к формуле (5), не оправдапа иа малых расстояниях а( ~ а для потенциалов с кулоновским (и более сильным) притяжением в связи с возникновением в них в одномерном случае «падения на центрж Оценим положение уровней с и, = 0 (нижннх уровней продольного движения) для водородоподобного атома в сильном магнитном поле.
Для этого запишем Е(!! яз — Ее~/((з(+аи); по сравнению с (5) здесь введено «обрезание» кулоиовского потенциала на малых расстояниях (как будет видно из окончательного результата (6), оп слабо зависит от конкретного выбора способа обрезания). Воспользовавшись варнационным методом с пробной волновой функцией вида Ч"о =- Чх е "! 1, где х — варнацнониый параметр, находим Подчеркнем, что, как н в предыдущем случае согласно формулам (3), «глубнна залегаияя» уровней продольного двнження (прн фиксированных квантовых чяслах и, т) много меньше расстояния Аея между соседними уровнями Ландау. Сделаем два заключительных замечания.
Первое нз ннх связано с возможностью обобщенна полученных выше результатов п. 1) о влиянии на уровни Ландау «мелкой» ямы в случае слабого магнитного поля, когда ан » й, на произвольный короткодействуюшнй потенциал радиуса Й с помощью теории возмущений по длине рассеяния, см. 4,29, 4.3! н 4.11.
Длл этого заметим, ограннчиваясь состояниямн с гп = О (об обобщении на значения пс ть О см. !3.36 н !3.37), что согласно (3) пря ае » й ннтеграл в выражении ап, ее — —, ! П (г) р йр йе ! Г ае 3 д о лишь коэффициентом рсй» отличается от длнны з-рассеяния ае в бериевском приближения. Соответственно, замена ае ка точв ную длину рассеяния ае в потенциале 0(г) дает„в случае ае ( О искомое обобщение результатов (3); теперь !о! ! (7) ран (прн ае > О рассматриваемых связанных состояний не возни. кает, как и в случае отталкизателщюго потенциала в условиях п.
1)). Эта формула становится неприменимой в случае ( ае (~ ~ан, когда е самом (нзолврованном) потенцвале У (г) нмеется «мелкий» з-уровень с энергией пюн, 'прн этом возникает сушесзвенная перестройка спектра уровней Ландау с ш=О (т, е. ах сдвиги становятся йюе, сравнить с 1!.4 и 9.3). Подчеркнем, что остальные, «глубокис» уровня как с моментом 1 = О, так н с 1 ~ О в потенциале У(г), еслн они существуют, под влиянием слабого магнитного поля испытывают лишь небольшой сдвиг. Далее, заметим, что рассматриваемые уровни Е„ „, при совместном действии магнитного поля и потенциала, строго говоря, явллются истинно связавнымн лишь при значениях квантового числа пе — О (длл каждого гп).
Прн значениях же ие )~ 1 они отвечают квазистацнонарным состояннлм, так как под влиянием потенциала У(г) (приводящего к образованию связанного состояния в продольном направленни) возможен также переход на более низкие уровни Е„. поперечного движения с пр < пр, !о! l прн котором в продольном направленнн частица является уже 446 Р несвязанной и имеет энергию Е! аа йын (лв — пр) (при этом учтена отмеченная ранее малость «глубины залегания» уров. ией). В случае *мелкой» ямы и слабого магнитного поля, рассмотренном в п. 1), выражение для ширины таких квазистацианарвых состояний с вг = 0 а — ! Г С Р 29 з ~аао Х 8» 8, (л и) пе « =е и (8) 1 а«= — — ~ ~ У(г)рг(рг(х И з может быть получено аналогична»') формуле (3) из задачи 8.44.
С помощью указанной выше замены и«на длину рассеяния а« выражение (8) может быть обобщено на случай «сильного» короткодействуюшего потенциала. Наконец, обсудим особенности квантовомеханнческой задачи о движении частицы в одномерном кулоновском потенциале притяжения (! = — и/(х) на всей оси — со ( х ( +со. Как отмечалось в п. 2), при этом возникает «падение на центр» (в точку х = О): яз формулы (6) при радиусе «обрезания» потенциала ал -» 0 следует Е« -» †. Дело в том, что гамильтониан частицы 1, и ту = — бз — —, — <х<+ (9) 2ш )х( ' прн движении иа всей осн является эрмнтовым, но не самосопряженным оператором. Это связано с тем, что с.ф гамнльтониана пря (х( 0 имеют вид") (справа и слева от точки х=О) Чг (х) =С, ~1 — — 1п — +О~ха(п — )~+ 2)х) )х) I, )х) и н и ° и он у + Са () х)+ 0 (х'/ан)), ан — — 8«/таз (!0) ") В роли параметра !), определяющего .
в условиях задачи 8.44 связь двух каналов, теперь выступает ра,л т = ~ (Г) рпна (Р) рапи(р) и(' сравнить с а, из формулы (3). ы) Обратить внимание па логарифмическое слагаемое и независимость его от энергии; от последней зависят лишь поправочные члены в приведенной асимптотике (10) решений уравнения Шредингера, сравнить с 9.14. 446 и обычное для регулярных потенциалов условие непрерывности волновой функции и ее производной не может быть выполнено / в точке х = О, так как Чг (х) обращается в бесконечность при к — «О, Тем не менее зрмитон оператор (9) допускает самосопряжениое расширение.
Для введения дополнительных условий, задаю. ших такое расширение оператора, см. 1.29, заметим, что для функций, удавлетворяюгцих при (х(-» 0 условиям (10), справедливо соотношение ч« — е 'Ррй%", Нх + ~ Чг ЙЧ", г(х = е = ~ (ЙЧ,)'Р, б + ~ (ЙЧ',)*Ч,б + е + 2 ('р~(в) Ч'!(е) — Ч', (е) Ч"~ (е) — Ч', (- е) Ч', (- з) + + Ч'з ( — е) Ч', ( — в)т), (11) здесь е » О, в котором внеинтегральнае слагаемое при з -« О равно (с< !'сз11 с1З1«сИ! + с(!т1" с( ! с1 !" с1!!1 ) (!2) где верхние индексы 1, 2 относятся к волновым функциям Чгь ь Сохраняя прн самосопряженном расширении оператора (9) усло.
вне непрерывности волновых функций (10) в точке х = О: С)",) =С)! з1, (13) в дополнение к нему из условия обращения в нуль внеинтегрального слагаемого (12), получаем (Ст!'1, + С!'1 )/С!'! =((Сз11 + С1з) )/С1~! ) = О =сопз1. (14) Соотношения (13) и (14) более наглядно могут быть записаны в виде Чг (+0) = Ч' ( — О), (Ч' (е) — Ч"' ( — )) ( о — †йЧг (0). (! б) Вещественный параметр )), определяющий условия сшивания решения уравнения Шредингера в точке х = О, задает самосопряженное расширение гаыильтониана (9). С физической точки зрения возможность выбора различных значений параметра отвечает различным способам «обрезания» потенциала на ма- лых расстояниях (сравнить со случаем, рассмотренным в п.
2)). При этом значение р однозначно восстанавливается по положению основного уровня частицы, Сделаем несколько' замечаний в отношении условий (15). Прежде всего отметим, что они справедливы и в том случае, когда потенциал имеет кулоновскпй вид лншь-при (х( — ьО (и могут быть легко обобщены на случай, когда параметр а в пем имеет различные значения прн х ) 0 и х ( 0). Далее, внешне они похожи на условия сшивания решения уравнения Шредингера для б-потенциала, см. 2.6 (и переходят в них при «выключении» кулоновского потенциала на лгалых расстояниях, когда Ч"(х) прн )х)-~- 0 становится ограниченным, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
