Galitskii-1992 (1185113), страница 79
Текст из файла (страница 79)
т(Е ) (б) Прн а = 0 оно воспроизводит спектр четных уровней Е+ ь в потенциале (/э(х). В случае та/дрэ+ (О) ~1 сдвиги этих уровней малы (много меньше расстояния между невозмушенными уров. нами). Записав Ез Ес э+ЬЕэ и выполнив под интегралом + разложение радикала (сравнить с предыдущей задачей), полу- чаем (2) Здесь т (Еь / Т (Еь )/2 — период классического движения ча- стицм с энергией Ез в потенциале (/з(х), разделенном непроницаемым барьером (прн х = 0). В таком виде (выражение (5)) формула для расщепления уровней в симметричном потенциале носит общий характер и справедлива для малопроницаемого барьера произвольной формы, см.
[1, с. 223), Полученные результаты справедливы и в случае а (О, т. е. для 5-ямы. Теперь четные уровни смещаются вниз, и в случае ш(а)/Лра (0)»1 четный уровень (с номером й+!) сближает- ся уже с вижннм соседним нечетным уровнем (с номером й). Прн этом основной уровень Е+ (о) с увеличением )а! обладает следующим свойством.
Понижаясь, он сначала достигает значе- НКя Ест (а ) (Гз, а Прн даЛЬНЕйШЕМ УВЕЛИЧЕНИИ (а! ПсрЕХОднт уже в основной уровень в Ь-яме, сдвинутый на И««(сравнить с замечанием, сделанным з конце решения предыдущей задачи). 9.5. Особенность задачи состоит в том, что при решении радиального у.
Ш. для функции у = гР, см. (!Ч.б), на малых расстояниях, г-ь О, квазиклассичность нарушается. Действитель. но, при этом р(г) як )/2та/г и ой/Иг со г ~~ — ьсо. Поэтому что- бы учесть граничное условие т(0) = 0 в правиле квантования, следует найти точное (неквазиклассическое) решение у.Ш. на малых расстояниях и сшить его с квазиклассическим реше- нием (!Х.З).
У.Ш, на малых расстояниях принимает вид йг + ау/г = 0„ где а = 2лг«х/йз, С помощью подстановок )( = Ь/г ф и н = 2Ч/аг получаем из него для функции ф(з) уравнение Бесселя с т = 1 и с учетом граничного условия в нуле находим Х (г) = А чгг Х, (2ъ'йг). (1) Аснмптотика этой функции при Ч/Ег»1 имеет вид Х (г) ск А ( —,) Шп (2 Ч/йг — 4 ) . Теперь замечаем, что для значений г из интервала г ~а/! Е), 1/ч/а к Ч/г уже ! «()с/«/г ) (аг) 02 К 1, т. е. применима квазикласснка '), Квазиклассическое решение у. Ш. (р (г) = у2гл(Š— («(г))): г С, / ! ««-= ° ( — « !° «и««-«) «ч ') При этом считается, что на таких расстояниях еше по- прежнему (г як — «х/г, причем значения Е отвечают верхним уров- ням, с и» 1, в таком потенциале.
жа таких расстояниях принимает вид (прн этом р(г) мз я З/а7Г) чиз Хаа (.): ~=я,) з/п (2Ч/аг +,) (4) и из условия совпадения его с точным решением (2) находим у = — и/4 (сравнить со значением у = я/4, следующим из условия сшивания квазиклассических решений в окрестности левой точки поворота х = а в (1Х.4), основанного на линейной аппроксимации потенциала, а также с у = 0 в условиях задачи 9.2). Наконец, условие совпадения кзазиклассического решения (3) при у = — я/4 с решением (1Х, Зб) (с заменой Ч'(х) на Х(г)), обеспечивающим выполнение граничного условия при г-ь со, обычным образом (сумма фаз синусов в решениях должна быть кратна я) приводит к правилу квантования — ~, О/2т ('Е„ — У (г)) ог п(п, + 1).
(5) 1 о Для кулоновского потенциала, У = — а/г, отсюда находим та' 2Я (л,+ Па что совпадает с точным результатом. Читателю предлагается убедиться в том, что для потенциала Хюльтена из (5) следует также точный результат для спектра з-уровней (см. 4.8). 0.6. Особенность задачи состоит в том, что для потенциала У(г) и/гз в случае 2та/Яз=/(/+1)с~1 на малых расстояниях г-~-0 квазиклассичность нарушается и использование условий сшивания (1Х.4) не оправдано. Поступая как и в предыду.
Шей задаче, воспользуемсн точным (некзазнклассическнм) решением у. Ш, на малых расстояниях, удовлетворяющим граничнолгу условию Х(0) = 0; получаем Х + ~йз —,л 1 Х =О, Х =.4(/г/т(/гог) (1) Здесь йзз 2т(Š— Уо(0))/Яз, при этом потенциале) У (г) заменен его значением Уе(0) в начале координат, а = 2тсс/Яз и т = 1/а+ 1/4.
Воспользовавшись асимптотякой функций Бес- з) Формулы (1) относятся к одномерному у. Ш. с потенциалом У(г) = а/гз+ У,(г), где У,(г) — плавная функция г. Для центробежного потенциала а = Ц/+ 1) и т /+ 1/2. селя, замечаем, что на таних расстояниях, где уже йог л 1 (для значеняй т ° 1), точное решеняе (1) у.Ш. принимает внд 2, у пт пъ Х (г) л(г А з!п ~дог — + — ~ ч' пйо 'ь 2 4/ (2у я совпадает с квазнкласснческим выражением г 23.11( Хав = ~~/ — А з!и — ~ р г!г + у = Ъ пр(.) 1 Я 3 о у = — !ьчга — ~/ а+ — + — ~. 2 1. 'х/ 4 2~' (ЗУ Действительно, иа рассматриваемых расстояниях имеем Р (г) ййо 'у(! — а/дог ! 1 р / г Ьт!(!+!) - и (г)1д, й 3 Ч 1 "гГ 2шгз =" ("~+-- 2 ~/1('+')+ 4). ! 1 — ЗХ 2 2 Отсюда для сферического осцнллнтора, У = тызгз/2, восяользовавшнсь эначеинем интеграла ь — ч/(б — х) (х — а) Ых — (а+ Ь вЂ” 2Ч/ай) 1 и х 2 прн этом интеграл в (3) легко вычисляется интегрированием по частнм с последующей подстановкой х = 1/г н прн г ЪЧ/а/йе оказываетсЯ Равным Я(йог — пЧ/а/2) (отметнм, что длЯ сво.
бодной частицы, Уо(г)= О, квазнклассическая фаза радиальной в. ф. согласно (3) на больших расстояниях равна йг — и!/2 и совпадает с точным выражением). Формула (3) решает проблему учета граничного условия Х(0) = 0 в квазнклассическом решении в классически разрешенной области движения.
Прн аа-ьО также у-гО н из (3) следует результат из 9.2. Наоборот, при а Ъ 1 барьер а/г' является уже квазикласснческим, ) г()ь/г(г) со а ' «С1! при этом у = и/4 в согласии с (!Х. 46). Воспользовавшись (3) н обычным условием сшивания (1Х.З) для правой точки поворота, приходим к следующему правилу квантования для уронней с моментом ! в центральном потенциале У(г), ограниченном в начале координат: маходнм Е„! — — Яы(2а +1+ 3/2), что совпадает с точным вы! ражеиием для спектра, см. 4.5.
Рассмотрим теперь потенциал У У,(йз(пх/а). При аначениях х-ь ~а/2 он принимает вид У иа а/гз, где г =(х ~ а/2) и !з Узпз/яз. Поэтому дли учета граничных условий Ч'(~а/2) = О при выводе правила квантования следует воспользоваться аналогичными (3) выражениями для квазиклассической в.ф. в окрестности обеих точек поворота. После этого обычным образом (сумма фаз синусов в квазиклассическнх решениях кратна и) получаем — ~ л! (2т[ ń— У! 1йз ( — ) ~ г(х = -Ь 1 / 2л!Узаз 1 / 2лгУзаз ~ сравнить с я(л+1/2) в правой части (1Х,5). Вычислив интеграл с помощью подстановки з!и (ггх/л) = к 3!и т, и = (1+ УО/Еь) находим что воспроизводит точный спектр, см. [9].
В связи с полученным результатом заметим, что квантование согласно (1Х.5) при значениях и!и!Ят ( 1 приводит к заметной потере точности даже при сравнительно больших и. Так, в случае Уз = О (т. е. при переходе к бесконечно глубокой потенциальной яме) для точного спектра Ез со (л + 1)з, а согласно (1Х. 5) Ез со (л + 1/2)з при п = 1О ошибка составляет 1О %. 9.7. В квазиклассических состояниях с л, л 1 для характерных значений величины Е ! — У (г) (кинетической энергии и частицы) на расстояниях г(Ь классического движения имеем по порядку величины оценку Язпз и Е,— и- —, Фг глв! ' следующую из правил квантования.
При этом в основной области интегрирования в правилах квантования центробежный потенциал выступает как поправка порядка (1+ 1/2) /л, что паз ходится за пределамн точности рассматриваемых правил кванговзния (и может быть опущено). Исключением является область малых расстояний в окрестности левой точки поворота и. именно различие вкладов этой области в значение интеграла и определяет различие квазиклзссических поправок в правых частях правил квантовании, приведенных в условии задачи.
Для доказательства утверждения разобьем области интегрирования иа две: от а (нли О) до с н от с до Ь, причем выберем ') с таким образом, что; 1) еще можно пренебречь изменением У(г) в области г ( с и заменить на (/(О) и 2) уже йз/огсз ~ Е„ г — (Г(0), При этом согласно 2) при интегрировании в пределах от с до Ь член с центробежным потенциалом может быть опущен, так что эта часть интеграла во всех трех случаях одинакова (при одном и том же Е„г). Воспользозавг / шнсь теперь значением интеграла с ~,~//! — —, ггг =~с ~/1 — —, + з/а агсап — ~ ~ !а а и Ъ~а с — —, 2 т/ г 'ч г 2 Е 1/зо="(лг+ 2+1), т. е. г г чз Е. =я"е(л,+ — 2+1~, г (2) ') Возможность такого выбора с обеспечивается выполвением условия квазиклассичности ~д)с/Ф) К 1 иа малых расстояниях для движения в потенциале У(г) (беэ учета центробежного потенциала!), где а= З/а, с~а (см, замечание в предыдущей задаче по поводу его вычисления), убеждаемся, что, действительно, различие правых частей правил квантования компенсируется разницей интегралов в их левых частях.
Отсюда и следует эквивалентность (с квазикласснческой точностью) всех трех правил квантования, указанных в условии задачи. Для сферического осцнллятора, (/ = лгюзгз/2, все они приводят к одинаковому, совпадающему с точным выражению дли спектра Е„г —— йа (2л, + 1+ 3/2) (при этом вычисление особенно элементарно по последнему — без центробежного потенциала — условию квантования, значение интеграла в первых двух условиях см. в предыдущей задаче). Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в рассматриваемых правилах квантования следует произвести очевидную модификацию: заменить л, + 1/2 на л, + 3/4 (как и в 9.2, но теперь она свизана уже с правой точяой поворота х = Р), При этом последнее из правил квантования сразу дает чде ее йз/2лг)1з (Еа пэна — основной уровень), а из квантованяя по Лангеру, с учетом значения интеграла (1), следуетч) 1/' а ((+ / +(1+ ) вгсз(п~(1+ )л,(во/Е = гг (иг+ 1/2+ 1).
(3) Для иллюстрации точности квазиклассического результата ПРИВЕДЕМ, ЗаПИСаВ Е 1 = д !Ео, табЛИЦУ ЗНаЧЕНИй и г ДЛЯ Ф я и ряда квантовых чисел л, и 1, рассчитанных согласно (2) и точных (указанных в скобках). Для точного спектра Л 1 х г сг "г 298,6 (296,5) 120,9 (118,9) 199,9 (197,9) 61,7 (59,7) 22,2 (20,2) 157,9 (151,9) 246,7 (240,7) 355,5 (349,3) 39,5 (33,2) 88,8 (82,7) 417,0 (404,9) 298,6 (286,4) 61,7 (48,8) 120,9 (108,5) 199,9 (! 87,6) ч) При значениях пг ~ (1 + 1/2) имеем Ьэ — (1+ 1/2)з во/Еп г ~К 1 н, опуская все поправки, связанные с 5, из (3) приходим к (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
