Galitskii-1992 (1185113), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Подчеркнем таиже, что точки остзновии ие являются особыми точками (точкамн ветвления) для точного решения )((х)! Подставляя разложение )( в формулу (8), получаем 'з) Ь 1 Х Г 1 Я 0 Г (и'(х))» — ~у р„дх =2и и+ — + — — ~ с(х+ ... Я ~ 2 24и дЕ~, р„(х) « (10) Здесь учтено, что и) 1(1 ~ пх = — — ~у «Г 1п р (х) = — ги, 1 Х 1 Х 2 '3' а при преобразовании интеграла от д<з~ выполнено интегрирование по частям в слагаемом с Хп>' и использовано соотношение Ь (и')з 1 бз л". (Г)» 2 0» 1 (()')з — бх — — ~у — ах — — — ~ — бх.
рз Зшз дЕ» 3 р 3 р а Правило квантования (10) совпадает с полученным выше другим способом соотношением (4). 9.14. Наиболее общее решение радиального у. Ш. в квази- классическом приближении в области фииитного движения частицы, примыкающей к началу координат, имеет вид (Ч'аь» = у~ двух) Г 11 Г = = з1п — 1 р с(г+ у "=,(в а . / а 1(1 + 1) р=д тмг — н'. ч ") Теперь контур интегрирования уже можно деформировать так, чтобы он непосредственно охватывал отрезок (а, Ь) вещественной оси. Подчеркнем, что аналитические свойства точного решения и его квазикласснческого разложения — различные! и) При этом использована формула 1п х = 1п1г1-(- 1 агпх и учтено, что фаза р(х) при обходе вдоль контура интегрирования изменяется на 2п (ири обходе каждой из корневых точек ветилення «набегает» фаза, равная и). Здесь м) ц = 2та/йз и Е -4»м»/2ш.
Так как интеграл'в (!) при г~.О расходится (ч ) 2), то оба независнмые решения ведут себя при этом одинаковым образом — с бесконечными осцилляциями синуса — и обеспечивают сходимость нормировочного интеграла на малых расстояниях. Соответственно при произвольном значении Е выбором параметра у всегда можно добиться того, чтобы в.ф. при г-»ао убывала в классически запрещенной области.
Отсюда, на первый взгляд, и следует вывод об отсутствии квантования энергетического спектра. Однако он является преждевременным. Тонкость здесь в том, что условия самосопряженного расширения оператора Гамильтона в рассматриваемом случае как раз н ограничивают определенным образом возможные значения параметра у. Это обстоятельство особенно наглядно проявляется, если предварительно «обрезать», как указано в условии, потенциал на малом расстоянии г« н затем перейти к пределу г«- О. При малом, но конечном,г, имеем граничное условие 11(гэ) О. При этом в (1) следует положить а = г«и у = О, после чего, как обычно, приходим к правилу квантования Ь $:~/2ш~Е« г+ з ~ Иг = пй(пг+ — ) (2) го (сравнить с 9.2). Спектр энергетических уровней, следующий нз правила квантования (2), зависит от выбора г« и по мере уменьшения г, обладает двумя характерными особенностями.
Во-первых, уровень с данным фиксированным значением и, опускается вниз, причем для него Е 1-ь — ьо при го-' О. Во-вторых, в какойпг либо определенной энергетической области Е < Е < Е+йЕ (с Е( 0) появляются новые уровни со все бблюпими значениями п„так что для вих и,— »оч прн г,— «О. Хотя положение этих уровней зависит от г, и предела для ннх прн г,-»0 не существует, тем не менее расстояние между соседками из них (в указанной области) — вполне определенное и равно йм (Е ч нан обычно в квазнкласснческом приближении.
Таким образом, энергетический спектр рассматриваемой задачи при значениях Е ~ 0 является дискретным, однако нужны дополнительные условия, однозначно фиксирующие положение ы) для наглядности счнтаем,что потенциал имеет внд у= — а/гч во всем пространстве (причем ч ~ 2). Подчеркнем, что значение нижнего предела интегрированна а в (1) ие связано с точкой поворота и может быть выбрано произвольным образом. уровней (сам по себе потенциал этого не обеспечивает, в отличие от случая ч ~ 2).
Нетрудно заметить, что задание положеняя лишь одного уровня (при каждом значении момента 1) полностью определяет весь спектр. Действительно, написав аналогичное (2) выражение с другим значением й, радиального квантового числа и взяв их разность, приходим к соотношению, в котором уже можно положить га = 0 и получить условие квантования, определяющее спектр, в виде ь о Б а йЧ(1+!) ч — ~ л !2л»1Е + —— ~йг=ийл; л 0,~1, ... (3) т' ( О гт 2шго о Здесь произведены следующие переобозначения: Ел ь заменено г на Ель и Ея г на Еоь а также введено квантовое число г и = и, — й„характеризующее порядок расположения уровней по отношению к фиксированному уровню Ем.
Задание Ео~ определяет весь спектр, при этом число уровней бесконечно, так как значения л не ограничены снизу и Е„, — †при и-» — ос в соответствии с наличием «падения на центр». Обсудим связь правила квантования (3) с ограничениями на волновые функции (1), ему соответствующими. Для этого заметим, что соотношение (3) следует из записи в. ф. в виде г ь .11Г о о Сг™ з1п " + уЬ~.
(4) г-»о (. (ч — 2) «1ч эиэ Существеннейшим здесь являетсн то обстоятельство, что значение фазы у~ не зависит от энергии. При этом волновые функции всех состояний (для данного 1) при г-» 0 имеют одинаковую, не зависящую от энергии частицы радиальную зависимость, что обеспечивает обращение в нуль виеинтегрального слагаемого в соотношении ХолгХ~ йг = ~ (Е1Хо) Х1 йг — 2 [ХоХ~ Хх ХД о о 4Ч3 н означает, что заданием) у осуществляет самосопряженное расширение эрмитова оператора Н (на состояниях с моментом 1, сравнить с 1.29).
Проведенное исследование непосредственно переносится н иа случай т = 2, еслк ввести поправку Лапгера в центробежнмй потенциал. Воспользовавшись значением интеграла ~м ° ~С с с + Ч/с — п»гз ,~/ — — а' с(г = у с' — п»г' — — !п, (6) гз 2 с — ц/сз — пзг» приводим правило квантования (3) к виду Е»С ас 1п — = 2пп, Епг Отсюда следует явное выражение для спектра 2цп Ч Епс=Е»сехр (- — /1, п=б, *1, ~2, ... (6) , /' Отметим, что число уровней бесконечно как за счет существования состояний со сколь угодно большой энергией связи (п-» -» — по), так и за счет сгущения уровней прн Е = О (для и -» +ос); последнее отсутствует в случае т ) 2.
Приведем также выражение для в. ф. на малых расстояниях. Используя (5) н (6), согласно (4) находим < ) хзсг 1 м ъ у (г) жС ц/г з!пг а ~ — + 1 ) — — ~. Нпг и ( С~ 2аг ~ 4 Как н следует, зависимость фазы от энергии при г-»О отсутствует. Заметим, наконец, что для потенциала 0 = — а/г» у.Ш, допускает точное решение. При этом ун — — С ч/г К (мг), где Кт(я) — функция Макдональда, а точныйспектр совпадает с квазнкласснческим (6). а) Задание у~ эквивалентно фиксированию положения одного из уровней. Подчеркнем, что один и тот же параметр ус определяет свойства состояний как дискретного спектра, прн Е ( О, так и непрерывного спектра, прн Е ) О, Заметим также, что если рассмотреть пплавное» обрезание потенциала при г(г, вида 0(г) = (С(га) (вместо непроницаемой «стенки»), то для зависимостиус от С можно получить соотношение у, = у» + н1/2, сравнить с 9.7.
474 9.16. Рассмотрнм сначала квазиклассическне волновые функции вида бегущей волны х 'р = ехр ~ — 1 р (х') дх с 1 Г ц/р (х) ( й р(х) = Ч/2лт (Š— У (х)) > О. Соответствующие им в.ф. в импульсном представлении имеют вяд ~~г~а ) ~ д ~ ) )~ ~гр(х) (не путать р как переменную представления с ~р(х) — импульсом классической частицы!). Характерная особенность интеграла (1) для квазиклассических состояний в том, что фаза ф(х) его экспоненциального сомножителя как функция х быстро изменяется и значение интеграла определяется в основном вкладом окрестностей стационарных точек показателя экспоненты. Обозначим положения этих точек как 'з) хза (р). Они определяются из условия добря — =О, или ~р(х~)=р.
(2) Разлагая фв (х) в окрестности точек х~ (р), имеем щ (х,*) 26о(хз ) р~ (х) — ~а (х~л) ~ (х — х,-), (О) здесь ю = †(р/т и с — ускорение и скорость классической частицы в соответствующей точке хз . Вынося теперь в (1) за знак интеграла медленно меняющийся множитель р О (х) (т.
е. — Оз заменяя его значением в стационарной точке) и вычисляя Ролучающиеся интегралы с использованием разложения") (3), ы) Если их нет, то в рассматриваемом приближении Фа(р) О. При этом в классически запрещенной области, где в,ф. Ч'(х) экспоненциально убывает, можно считать Ч' = О. ") Хотя интегрирование проводится по узким областям около точен х~, ввиду быстрой сходнмости его можно производить в бесконечных пределах; получающиеся интегралы — интегралы Пуассона. 475' находим "« — '- -"~ "-"П ~/~ ~(,) й ~ Подчеркнем, что вклад в сумму вносят все точки классической траектории частицы, в которых она имеет импульс р (при этом Ф+ = 0 для значений р ( О, а Ф- = 0 прн р ) 0). Рассмотрим теперь в.
ф. Ч'„(х) стационарного состояния в потенциале с одним минимумом, рис. 22. Записав синус в (1Х. 6) через экспоненты н используя (4), находим при Р ) 0: Фн (Р) = — ) ехр (нй (х~ (Р))) ехр (ьв (хз (Р))) шТ (Ел) Чг ш (х~ (Р)) Чг ш (хз (Р)) а Фь(р) для значений р(0 получается комплексным сопряжением выражения (Б), вычисленного при импульсе, равном (р(, Волновая функция (5) отлична от нуля лишь при значениях импульса О( р( ре =Чlйт (Ез — ш!п У). В ней учтено, что уравнение (2) прн этом имеет два корня, расположенные по разные стороны от точки минимума потенциала У(х), которые «сливаютсяз при р-ьре (в точке минимума (Г(х), для ббльшнх значений Р уравнение (2) уже не имеет корней). Распределение по импульсам, г(йт,(Р) = (Ф,(р))зйр, из-за наличия в (5) быстро оспиллирующих экспонент также сильно осциллирует (сравнить с осцилляциями ~Ч'„(х))з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
