Galitskii-1992 (1185113), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Отсюда получаем йр(О) = /та, илн Е=ЕЬ~1=-таз/2й-, что совпадает с энергией уровня в отсутствие возмущения г' = = — ЕьтКак видно, в рассматриваемом приближения непосредственно не получены ни сдвиг, ни ширина уровня! Для получения сдвига уровня следовало бы воспользоваться более точными квазиклассическими выражениями для в. ф., учитывающими следующие поправки по й, см.
ниже Что же касается ширины уровня, то она «исчезла» по той причине, что в области барьера 0 ( х ( Ь была опущена экспоненциально убывающая от точки х = Ь в глубь его часть решения. Вычисления, основанные на ее учете, несколько громоздкимм), но их можно избежать, использовав следующие соображения. Имея в виду физический смысл Г как величины, определяю. щей вероятность распада системы (в данной задаче — прохождение частицы через барьер) в единицу времени: ш = Г/й, найдем в рассматриваемом состоянии плотность потока справа от точки поворота х = Ь. Используя (1.3), получаем / = — — ~'Ч~ — Чг — Чг — Ч~«) = —.
/й г, д д „ч (СР (3) 2т ~. дх дх ) т При этом если в.ф. нормирована таким образом, что частица с вероятностью яэ1 накодится в окрестности ямы, то плотность потока непосредственно определяет вероятность распада в единипу' времеви, ы = /. Как видно из (1.1) и (1.2), плотность вероятности (Ч'(з существенно отлична от нуля лишь при значениях ( х ( К «/йз/2т ( Е ) иэ йз/та, и если при этом Р йз/та <) Ер), т. е. Рз ~ тзаз/й« (4) (что и предполагается)> то в р(х) можно опустить член с Р«х. В результате для в. ф., нормированной ва единицу в существенной ") Вывод формулы для ширины уровня таким способом см.
в (9,92) 495 области локализации частицы вблизи ямы, получаем (Чг(х (р(О)) 'Азехр( 2ша(х()йэ) Аз — шэаз/йз (в рассматриваемом приближении в.ф. в этой области совпадает с невозмушенной полем в.ф. связанного состояния в 6-яме). Со- гласно (2) имеем Ь 1 ч г — /2 тГг т- Р.*> ь ) - л '- ,Йд о После элементарного интегрирования получаем значение (С(', а с вим и ширину уровня й(С(э глаз У 2 ттаз т Г = — = — т- ехр ( — —— т А (, 3 Арах" Вернемся к вопросу о сдвиге уровня. Воспользовавшись в (1) более точными выражсниими для квазнклассических вол. новых функций, см.
(1, $ 46): х х С 1 1тд Р (тэд Г Рэ 1 1 ту = 1 т- — — ~ — 1 — Нх ехр ~ — р г(х и выполняя при сшивании решения в точке х = 0 дифференци- рование также и предэкспоненциальных множителей, можно по- лучить уточнение формул (2) и найти ш'дзР'о ша гр (0) +— 8 рз (О) = 6 Заменяя во втором, поправочиом члене р(0] его невозмушенным значением (ша/М, находим глаз 6 Д~Р~ оа = 2йэ 8 тза' (6) Второе слагаемое здесь определяет искомый сдвиг уровня (и поляризуемость состояния) и совпадает с точным результатом второго порядка теории возмущений, см.
8,12, а также 6.36, где сдвиг и ширина уровня получены из точного решения уравнения Шредингера. 9.29. В квазиклассическам приближении решение у.Ш. для квазистационарных состояний имеет вид м) а~ )('гс ( г. (' екр — „~ р(х) г(х, х < аб (1Л) 2 ур(х) х С .(! з(п — л! р (х) г(х + 4 , а, < х < Ьб (1.2) .БТх) ~)г (х) = (1.4) Здесь (1.!) экспоненцнально убывает прн х — ~ — оь; (!.2) записан. с учетом условия сшивания решения (!Х. 4).
Далее, в выражениях (1.3) и (1.4) фигурирует олин и тот же коэффициент Сь как это следуег из условия сшиванкя решения в окрестности точки х = аз согласно (1, 5 50]. Пренебрегая в (1.3) вгорыли экспоненцнально убывающим в глубь барьера (от точки .т = ат) слагаемым, для спгивання решешгя в окрестности точки х = Ь, можно уже воспользоваться условиями (1Х.З). Отсюда сразу приходим к правилу квантования Бора— Зоммерфельда для определения Еж — палозкений квазидискретнык уровней и к соотношению между коэффициентами лг Сг = — ( — 1)" ехр — — ! (р(х)) 0х С 2 Воспользовавшись ~еперь значением ]С]з = 4т/Т(Ею ), обеспечивающим нормировку на единицу а.
ф. (!) в области движения классической частицы а, ( х < Ьь и вычислив поток вероятности при х ) аз (сравнить с предыдущей задачей), приходим ") См. ряд общих замечаний о рассмотрении квазистацианарнык состояний в квазиклассическом приближении, сделанных в предыдущей задаче. 497 к следуюшему выражению для ширины рассматриваемых квази. стационарных состояний: пг йкг (Еоп) Йв (Еоп) 2 = дюп пп Т (Еоп) 2и = — ехр — — (р(г(х . (2) а| Отметим наглядный смысл в„здесь: вероятность подбарьернаго вылета частицы из ямы в единицу времени равна числу ударов 1)Т о барьер классической частицы в единицу времени, умно.
женному на вероятность проникновения через него при однократном столкновение. В таком виде выражение для ширины уровня имеет более широкую область применимости, так как не связано с (квазиклассическнм) способом вычислении проницаемости барьера; сравнить, например, с 6.37. Если барьер имеет конечнуго проницаемость по обе стороны от ямы, то тогда очевидно йв 1"п = — (В~ + (эг).
2и Рассмотрим приложение полученных результатов к осцкллятору с апгарманнчностью: (7 = тгогхг72 — )л'. Сдвиги уранией невозмушенного осциллятара были вычислены в задачах 9.10 и 9.13. Расчет ширкн уровней согласно (2) сводится к вычисленшо интеграла ( Р (х) ) г(х = ~ хит 2т ( — твгхг — Ахз — Еоп1 г(х. (3) Для его приближенного вычисления разобьем область интегрирования на две: от х, до г( н от г( до хг, где величина г4 предполагается удовлетваряюпгей условиям чг'Еоп)пгвг «г(«твг()г. [4) При этан могкно в первом интеграле рассматривать как малую поправку )хг, а во втором — слагаемое с Ео„и выполнить разаожевие по этим параметрам. Поступал таким образом, на- ходим — ~ ( р ( г(х ж — ~ ~ 3/(твх)г — 2тЕоп— а,) й к~г )отхо э ггх гм 3/(твх)г — 2тЕоп ) твг(г Еоп Еоп 2твгг(г Мо — — — — — 1п — (5) 26 26в 2йв Еоп Зйв ' 498 а также .т, — ~ )р(с(х 1 Г 33 хм як — От сч/(гпвх)з — 2тЛх 3 глЕОя ~ с(х яа й~~ 3/(глвх)з — 2тЛхз ~звз щв 1з Лс(з 159Лз 23 Зйв Ееп 2жвз йв с(Л 1п —.
(6) здесь Ес заменено иеиозмушенным значением йв(и+ 1/2). 9.30. Качественный вид эффективного потенциала Е Аз((1+ 1) УЭФ=5гл(г)+ 2гпгз приведен на рис. 36; на малых расстояниях г -ь О и в области значений г ) гз доминирует центробежный потенциал. При этом Уе )~ й /тгз, так как в противз т ном случае «мелкой» ямы как истинно связанных, с Е ( О, так и каазистационарных, с Е ) О, состояний не существует. Для радиальной функции Л == г)1 (см. (1Лг.
5) ) можно воспользоваться общими формулами одномерной квазиклассики. Вычислив интеграл (Е = йзйз/2гл) Рис. 36 ь ь — з) ) рг ) Иг яя з( (чу У(1+ П2) 92 е а ь (21 + 1) Ыг 21 + 1 21 + 1 2г 2 2йг 499 Сумма выражений (5) и (6) определяет показатель экспоненты в формупс (2), а с иим и искомую ширину уровня (при этан введенная лвшь для удобства вычислений величина о в окончательный результат не входит): (здесь точки 'остановка а гй и Ь ап ((+ 1/2)/А; в центробежном потенциале сделана поправка Лангера, т. е. произведена замена /(!+1) на (1+1/2)э), по квазиклассической формуле (1Х.У) получаем оценку проницаемости центробежного барьера 2йг М+! Р ( — э) со(йг )~~~ (2) (обратить внкмание на ее энергетическую зависимость). Заметим, что использование аналогичного (1) выражения для барьера, отделяющего начало координат (с заменой в нем Ь на гэ и гз на г ( Ь), дает еХр — й ! ! рг) Г/г) эот 1-!-! Х/(~г! в согласии с точным результатом, /7! = 7/г оо г!.
для опенки времени жизни кназпстационарного состояниям) т найдем вероятность ю вылета частицы из ямы в единицу времени. Эта вероятность получается умножением числа ударов Иэ частицы о барьер в едивицу вреэг мени, по порядку величины равнагом) оз/гз й/эпгз, на вероятт ность прохождения барьера прн однократном столкновении, совпадающую с Р (сравнить с преды. дущей задачей), что дает Рнс. 37 (более точное выражение для т см.
в связи с (Х1П. 17)); сравнить энергетическую зависимость ю эээ й г+ для центробежзг+! ного барьера в случае медленных частиц с экспоневцнальной зависимостью для кулоновского барьера, см. следующую задачу. 000 'э) В квазиклассическом приближении энергия квазпстационарного состояния, как и истинно связанного, определяется правилом квантования Бора — Зоммерфельда, сравнить с предыдущей задачей. ") Здесь и = р /щ — характерная скорость частицы в яме 3 3 рз ~/иЫ~ ~ ~6/гз (не путать рз с импульсом р = йй вылетающей частицы, р Ъ йй). 9.31. Графин эффективного потенциала приведен иа рис. 37.
Теперь дли состояний с малой энергией (Е-» О): ь ь 1 ! 1 ! (!+1/2)з 2 Т!/з ) (р')"'=;)'( ' 3 в а О 2! + 1 г (2! + 1)' ов вв — !( 1п — 2 ~, (Ц г ( 2г здесь а мг г, Ь = (!+ 1/2)'а /2 и учтено, что г ~ а . Соответ- ственно '-( ''.)— 2сзг '!2!+1 1 /йг чхгч! (2! )-1)го / ((21+1)1)з 1, ов / (в последнем выражении использована формула Стирлинга). Заметим, что кулоновское притяжение «укорачивает» центробежный барьер и для малых энергий, Е-ьб, существенно изменяет (увеличивает) его проницаемость, сравнить с преды. душей задачей.
Наоборот, в случае отталкивательного характера кулонов- ского потенциала проницаемость барьера для медленных частиц резко падает. При этом доминирующую роль в интеграле (Е = = гпоз/2, Ус = а/г) ь о!и 11 1 ! 2та иа — 1 ) рг ) г(г еэ — 1 — — (гло)з бг =— я.) д,) йо играют большие расстояния, на которых центробежный потен. пиал мал. Его учет изменяет лишь предзкспоненциальный мне. житель в выражении )) (Е) е-зпа!Яз (3) для проницаемости барьера; сравнить (3) с выражением (2), а также с формулой (2) предыдущей задачи для проницаемости центробежного барьера.
Глава 1О ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ 10.1. Сливовые функции системы (не симметризованные в спинах) имеют вид ') Х (1) т г(2), их число равно (2з+!)', з 3 ') Здесь уз — нормированная спиновая функция отдельной частицы с определенным значением проекции спина з,. В з,-представлении она имеет вид Тз (о) = б„ з . з з Следующие комбинации этих функций 'Рз".з.=Хз,(1) Х, (2), 1 зу~~, = — )' Х (1) Х (2) ~ Х (1) Х (2)~, 3/2 я г зя т- зг нормированные на единицу, имеют определенную симметрию относительно перестановки частиц: Ч"т — симметричные, а Ч" —— антисимметричные функции. Чвсло независимых симметричшях состояний равно (з-)-1)(2з-(-1), а антпсимметричных — з(2з-(-1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
