Galitskii-1992 (1185113), страница 88
Текст из файла (страница 88)
ф. системы имеет внд 1 'Р (гь гз) = =(ф«(г«) фг (гт) + фз(г) ф«(гз)). (1) 1/2 Вероятность нахождения обеих частиц одновременно в одном н том же объеме «(У равна «(шзоз = ) Ч'(г, г) ) «($ «(У = =) ф, (г) )з «(У ° ) ф (г) (ч ««У + ~ ф, (г) фз (г) ! («(У), (2) что больше аналопшной вероятности «(шразл =! ф«(г) )з «Л~ ° ) фз (г) )з «(У (3) в случае различимых частиц.
Этот результат иллюстрирует существование интерференции между различными (но тождественными!) частицами. Качественно эту интерференцию можно охарактеризовать кап тенденцию бозонов к взаимному сближению. Несколько иной аспект такой интерференции рассмотрен в еле. дующей задаче. 306 Подобная интерференция между различными тождественными частицами, находящимися в одинаковых спииовых состояниях, имеет места и в случае фермионоа. При этом бшве»« = 0 и характер интерференции можно описать как тенденцию фермиоиов к взаимному отталкиванию. Для частиц (как фермионов, так и бозонов) в различных (ортогаиальных) спиновых состояниях отмеченнан интерференция не проявляется. 1О.11. Нормированная на единицу полковая функция системы имеет внд Ч'(гь г») = С(ф (г ) ф (гз) + Ф (г~) Ф (г»)), (1) где 2С» = — (1+(<фз)чн))')-' Средняя плотность частнц получается усреднением соответствующего оператора й (г, г„) = †.
л (г, га) = ~ б (г — га), (2) где суммирование проводится по всем частицам системы. Такой вид оператора связан с тем, что аналогичная ему классическая величина зависит только от координат частиц (но не от их импульсов, сравнить с оператором потенциальной энергии 0(г„) = = У(г,) в координатном представлении), прн этом г выступает как «внешний» параметр. Очевидно п (г) = ( Р ( й (г) ( «У) = 2С» ( ( ф, (г) (« + ( фз (г) (з + Ь (г)), (3) гдс Л (г) = зр, (г) ф (г) (ф )ф )+ ф (г) ф, (г) (фз рр,). Обсудим полученный результат для б(г). Прежде всего отметим, что, как и следовало ожидать, ~ и (г) й(г = 2 независимо от знда функций фь,(г), Лалее, если эти функции ортогональны, так что (фз)фО = О, то С' = 1/2, Л(г) = 0 и и (г) ) ф! (г) ) + ) тз (Г) ) йр»зл (Г) (4) как н в случае различимых частию Однако если (ф»)фОФ О, то п(г) отличается от а;,,»,(г]. В этом проявляется отмеченная уже в предыдущей задаче интерференция между различныл~и (но тождественными)) частицами.
Так как 2С' ( 1, то в тех областях пространства, где в. ф. фь»(г] не «перекрываются» (так что ф~ (г) фз (г) см О), имеем и < йр,» Соответственно, учитывая нормяровку п(г), заключаем, что в существенной области перекрытия и, ф, уже и ) пр.„„в согласии с характером ннтерференпни — тенденпией бозонов к взаимному сближению. Случаю фермионов, находящихся в одинаковых спиновых состояниях, 30Т соответствует изменение в (1), (3) знаиа слагаемых, содержащих (фз|ф,) и противоположный характер интерференции — взаимное отталкивание, сравнить с 1О.!О.
10.12. Записав 1 1 й= — (й-(-й+)-(-! —,(й — й+) А+!В, 2 2! (при этом А = (й + й+)/2), находим [А, Я[ = !/2. ! ОЛ3. Записав й = ах+ рй и й+ = а'х+ [)"й, имеем [й, й+[ = И (а[)" — а'р) = 1. Как видно, выбор параметров я, () не однозначен. Можно взять, например, а = 1/ц/2 !„0 = !!,/Х/2 Д (ь — вещественный параметр с размерностью длины, как и у координаты х). Прн этом нз условия й[0) = О, или ( —" ,+ б —,' ) Ч'о (х) = О, находим волновую функцию «вакуумного» состояния: %'о (х) = (ий') Уо ехр ( — х'/22') (сравнить с в.
ф. основного состояния линейного осцнллятора). 10.14. Для бозонных операторов — нельзя, так как при этом [й', й'+! = — 1 (в отличие от [а, йо! = !). В случае фермиоиных операторов — можно, так как попрежиему а' = О и (й', й'~)» = 1. При этом вакуумное состояние «новых» частиц [О') является одночастичным состоянием [1) исходных частиц, т. е.
[О')= [!), и наоборот: [!')= [0). Такие «новые» частицы называют дьорками (на фоне исходных частиц). Для фермионав рассматриваемое преобразование является уни+ тарным и осуществляется оператором У = й+ й, тик что при + этом й'=УйУ =а !0.15. Напомним, что операторы а и а" действуют в пространстве функций з) — векторов состояний [ оР) = й, с„[и) = со [ 0) + с1 ! !) + ..., где символ [и) соответствует и-частичному состоянию.
При этом й[и)=Ч/и(и — !), й+[и)="~и+1 (и+!). Для фермионов [и ) 2) = 0 (тания состояний нет). ») Здесь и ниже суммирование по и во всех формулах ведется от и= о до и оо, Собственные функции ( а) — ) св ( л) и собственные значения а бозонного оператора й определяются из уравнения й1сс)= а1и). Так как й (а) = й Х~~~~ са(л) = ~ са Ч/п ) и — 1) = ~ с„ , 4и + 1 ( и), то уравнение принимает вид (сае, Х/л + 1 — оса) ( л) = О. Отсиэда, с учетом независимости состояний )и), следует а а а авь (2) Как видно, собственным звачеиием бозопнога оператора й является любое комплексное число и (оператор й — незрмитов!), а соответствующая с.
ф. (а) может быть нормирована на единицу. Условие (ц1ц)= 1 дает (а(а)=~~~'(с„1з=(сс(~T ("~ =1, т. е. 1се(~=с Л~ п1 я в (2) так что распределение по числу частиц в состоянии 1а) определяется выражением 1а( " юа — — (сз (з = ехр ( — !ай) и! (4) и представляет собой распределение Пуассона с и = 1сс(з. Уравнение на с. ф.
и с. з. бозонного оператора й+ ие имеет ии одного решения. У фермионных же операторов й, а+ имеется по одной с. фс 10) — с.ф. й, а 11) — с.ф. й+, соответствующие им с.з. в обоих случаях равны О. Рассмотрим теперь линейный осциллятор и найдем для пего вид с. ф. Ч'„(х) оператора й = (тай+ 1))) 1 Ь(2тйа (б) Что (к) = С ехр ~ — — (к — ~ — а) ~, (6) в координатном яредставлеиин. Из уравнения йЧго = аЧ' сле- дует что совпадает с в. ф. когерентиаго состояния, рассмотренной в 6.21, если положить (сравнить с. з.
с оператором (5)) 1 и = (гных» + !рл). з/ьиа Далее замечаем, что изменение ва времени когереитного состояния для асциллятора происходит таким образом, что его в.ф. в произвольный момент времени ! остается с.ф. оператора и, но с, з, и(!) зависит от й причем ц(г) =не '"'. Это обстоятельство очевидно в гейзенберговском представлении, в катаром й (!) = е '~~й (сравнить с 6.25), а в. ф. Чт от време1п«не зависит. Она также следует из установленного выше разложения (и) Ч ~ел (л), если учесть, что для осцнллятора ! л, 0 = схр ( — — Елгл! ( л), Ел = йы~ и+ — у), н воспользоваться соотнашенпем (2) для коэффициентов разложения.
10.16. Для фермионных операторов (й')з = 2ий+ цз Ф 0 (при и ~ 0) н рассматриваемое преобразование не является унитарным. Для бозонных же операторов по-прежнему [й', й'") = ! и преобразование является унитарным. Имея в виду результат б.!9, легка найти явный нид уннтарнога оператора 0 = ехр(а"й — ай~), (1) осуществляющего такое преобразование, прн этом о' = Вйб+, Далее, с помощью формулы из условия задачи 1.10 оператор (!) можно записать в виде 0 е- 1«!«де -ай~ел л после чего легко найти состояние «нового» вакуума в исходном базисе: ( ц)л (0 ) = 0 (О) = е ! "(О е "и ел ) О) = е ! "10 ~э» — (л), ч' ! (2) если воспользоваться разложением экспонент с операторами й и й+.
Другой способ определения состояния )О') непосредственно нз уравнения й(0') = 0 см. в предыдущей задаче; при этом распределение по числу исходных частиц в состоянии (О'), следующее из (2), сонпадает, естественно, с выражением (4) (распределением Пуассона) указанной задачи. 510 10.17. Для фермионных операторов рассматрнваемоое преоб. разование ивляется унитарным при выполнении условий (й') =(ай+па«) =ай О, хгб', й'»»Х+ а +($1, т. е, только в тривиальном случае гх = ~1, й = 6, а также в случае сс = О, (1 = ~1, соответствующем переходу от частиц к дыркам, см. 10.14.
Для бозонных операторов преобразование является унитарным при выполнении условия и» вЂ” р» = 1. При этом, записав )О') = ~ сл( и) и поступая как и при решении задачи 10.15, л нз уравнения й')О') = 6 мажио найти и с, = 0 для нечетных значений л. Из условия нормировки (О'/О') = ! получаем 1«с(з = (сс)-', распределение по числу исходных частиц в состоянии «нового» вакуума есть ю =(с,(а. 1ОЛ8.
Рассматриваемое соотношение между векторами состояний эквивалентно разложению ') Чг = ~ С Ч' волновой функции Ч' произвольного одночастичного состояния по полной системе собственных функций Чгь Поэтому Сг является в. ф. рассматриваемого состояния в (-представлении.
Так как оператор Чге(г) «рождает» частицу в точке г, то ф(г) (см. условие) является в. ф, (обычной тР-функцией) состоянин частицы в координатном представленнв (( — г). Естественно, что вычисление среднего значения любой аддитивиой физической величины, оператор которой в представлении чисел заполнения определяется выражением (Х. 3), в рассматриваемом состоянии приводит к обычной квантовомеханической формуле (!. 5) для средних значений: г = (1( г ) 1) = 1 ф (г) Рйз (г) «(У, а условие нормировки (1(1) = 1 принимает ввд ~ (~р(«с(У=1. Читателю предлагается самостоятельно подтвердить эти соотно- ') Формальное доказательство этого соотношения состоит в проектировании векторов состояний в (1) на векторы ($); при этом (В ( 1) = Чг (Ь), ($ ~ а(е ~ 0) = Чг( ($).
511 шения, воспользовавшись общими свойствами операторов рождения и уничтожения, сравнить с решением задачи 10.23. !ОЛО. Операторы связаны линейиымн соотношениями б,г,= Я С((н да)бя,, а,,-~С'((н йа)б,, (П Для определения С()ь ль) подействуем на вакуумное состояние: й!". ~О>= ~" С()н пе>Д,";(О>. Это равенство эквивалентно соотношению между собственными функциями Ч'! — — ~ С()г уе)г(гк (2) ке' сравнить с предыдущей задачей. Отсюда следует, что С((н дл>=~ Р' т( Дй, так что С(!ь пг) является с.ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
