Galitskii-1992 (1185113), страница 90
Текст из файла (страница 90)
й 1/2ш (4) Хотя формально уравнения (3) являются у.Ш, для одномерного движения в двух различных потенциалах (г (х), на основе суперсимметричности гамильтоннэна (2) следует вывод о совпадении дискретных спектров уровней ') Е , эа исключением, бьиь может, одного уровня Ес = О, который может существовать только в одном из этих полей. Такое заключение основано на том, что функции Ч' совпадают с введенными в предыдущей задаче фувкциями Чг»з, причем, как легко заметить, Е = (1 ~ п)Е/2.
Учитывая отмеченную ранее связь с. ф. Ч'эт для различных значений В, ваколнм соотношения для с. ф, фй (х) из (3) (для состояний с Е = Е ); 1 "Ре (х) 1=1) й (~)) "Рн ( ) ~, Э/2.лэ (5) 519 э) То обстоятельство, что одна и та же функция %'(х) (так называемый суперпотенциал) описывает как не зависящую от спина часть взаимодействия (аналог взаимодействия бозонов с бозонами), так и зависящую от спина часть (аналог взаимодействия фермнонов с бозонами), приводит к важным последствиям н суперснмметричной квантовой теории ноля (сокращению расходимостей).
') Так как Е ) О, то сушествоваиие состояний дискретного спектра предполагает, что пределы (г (х)»- С ) О прн х -~ -~-оо (так что при этом 1пп )р(х) ~ О). Если )р(х) — четная функция, то потенциалы 1Г (х) получаются друг из друга зеркальным отражением и совпадение спектров, Ез = Е, очевидно; при этом уровня Еэ — — О ие существует. Отмеченное для уравнений (3) совпадение уровней, Е+=Е, позволяет в ряде случаев найти спектр чисто алгебраическим способом, вообще не прибегая к решению уравнения Шрйднигера.
Так, рассмотрим осциллятор с У = лгюзхз/2 и обозначим его спектр как Е,. Выберем теперь суперпотенциал / шы' ! з з ! йг = ~/ — х, при этом у = — лзюзхз ч- — йе, (б) '7 2 2 2 а соответствующие спектры Е~ь = Е„~ йю/2. Различие их означает, что в одном нз них (очевидно среди Е") реализуется значение Ео+ = О, а совпадение остальных УРовней означает, что Ез+ ~ = Е„ . Отсюда следует Ез = Ьы/2 и Е„т, = Е„ -)- йш, что сразу воспроизводит спектр линейного осцпллятора Е, = йы(п + + 1/2). Читателю предлагается аналогичным образом найти спектр в поле У = — У, ей †(х/а), выбрав суперпотенцнал (Р' со со1Ь(х/а) и сравшпь с результатом решения уравнения Шредингера, см.
[1, з 23). Обсудим вопрос о возможности существования связанного состояния с энергией Е, = О. Для него из уравненпя ЙЧ'з — — 0 следует, что аЧг, = О, <~ьйг = О (сравнить с предыдущей задачей); отсюда в призон<енин к га- мильтониану (2) получаем х (,—. = ~ 1Ю (х)~ фо (х) = О, фо й В ехр ~ — ~ (р г(х 1 Ч/2ш Имел в виду, что (Р(~сс) чь 0 (см. подстрочное примечание), замечаем, что одна из функций фо~ заведомо возрастае~ на больших расстояниях и для нее следует выбрать В = 0 (в согласии с обпшм результатом о невырождеиностп уровня с Е = О). Лля другой нз ннх возможность выполнения граничных условий фз(шоз) = О, а тем самым и существования состояния Чгэ определяется только лишь различием знака (!) супер- потенциала прн х — ~.*со.
Если )р'(+со) ) О, а %'( — со) < О, то состояние с Е, = 0 существует и реализуется при значении и = +1; при изменении знаков Нг(~со) ему отвечает уже и = †!. Если же знаки суперпотенциала при х -~ асс одинаковые, то состояния с Е, = 0 не существует. Так, для %"(х) = з = Яуэ = сопз1 в уравнениях (3) иыеем У . = 07в — †со! ) 0 и отсутствие состояния с Е, = 0 очевидно. В случае йУ(х) = 520 = йгэх/[х[ уже У (х) )эо ~ аб (х), а,ч/ — Ьйгз з /2 га и существование состояния с Ео = 0 очевидным образом связано с наличием единственного дискретного уровня в б-яме, см.
2.7. В заключение рекомендуем читателю вопрос о связи эиергетнческкх спектров частицы в потенциалах У (х) (4) обсудить в квазкклассвческом приближении на основе правила квантованця Бора — Зоммерфельда (при этом слагаемые г 6%' /ц/2т оо со 6 в потенциалах рассматривать как возмущение). 10.28. Выразив в операторе плотности числа настин й(г)= = Чг+ (г) Чг (г) (см. 10.22) Чг (г)-операторы через операторы уничтожения йк и рождения йв частицы с данным импульсом р = =дй [при этом Ф(г) = ч~ егьтйы/ц/)г), находим к й(Г) = —, Е'1Го К'! "а„"й ь м' (!) кь в2 Средняя плотность числа частиц й(г) получается усреднением оператора (1) по основному состоянию бозе-газа ~ Чг ) = =~ йд з, Ох~э) (все частицы имеют импульс р = 0) Так как при этом с( йГ, 81 =22=0, (Ч' 1й ~й 1Ч' ) = с ( 0 в остальных случаях, то для а имеем естественный результат 6 = У/У.
Среднее число частиц в объеме и получается усреднением оператора У(п) = ~ а (г) йзг и равно у (э) = Фп/)г. Для расчета флуктуации числа частиц усредиим сначала оператор Я~(ю) по состоянию [Чгээ. Так как Яэ (о) = (' — ехр [1[()г — 1с,) г+(й — (г ) г'[) азэй„йв+йз йзгйэг', э э апов в~ то для вычисления Л~(о) прежде всего найдем значения матричных элементов (Ч'з [йв,йв,йк",йв, [ Ч'з). 52! Используя вид (Ч'з), замечаем, что онн отличны от нуля лишь при выполнении условий (г1 = (сг = О, (сз = 1гз и равны Лгз для (сз = (сз — — О и Л! — для йз = йз — = Ы чь О.
С учетом этого получаем 1 и'и= ) ~(и'.~ 2 "' с)г л'. е О 2 ьО Ввиду полноты системы функций Чгх = е™/й((т сумма здесь равна г'б(г — г') — ! и элементарное интегрирование дает — ~7п 2 Л'с )роз Л" (и)=( — ) + — — у Соответственно (~~( )) =~'(~) — и'(о) = — 11 — — ). (4) (т т, )т)' При о = г' имеем (ЬЖ( г) )' = Π— очевидный результат, так как полное число частиц в системе равно Ж и ие флуктунрует. В случае о Ч 'г' согласно (4) имеем (ЛЖ (и))' яэ Л'о/р =- Ж (о). Отметвм, что для системы нз Л' невззимодействующнх клас. снческих частиц, находящихся в объеме 1', распределение по числу частиц Ж, в объеме е имеет внд (биномиальное распределение).
Вычисление для такого распре2 делевня средних значений Л/ш Л(„, (ЛФ„) приводит к результатам, совпадающим с полученными выше (см, по этому поводу замечание, сделанное в следующей задаче). 10.29. Тзк как операторы плотности числа частиц в различных точках пространства коммутнруют друг с другом, то оператор величины л~пз имеет вид 6162 Ч ~ (г1) Ч (г!) Ч (гг) Ч (гз) — ехр (1 ((й — )с!) г, + ((с„— (г ) гз!) йх,да,аа,йщ а,зима~ и его срсдвее значение в основном состоянии бозе-газа пп = —, Я +Л'~ е '"' ' = — б(г~ — г,)+ — у — —, Л12 Л! ! 3 з 2 )Г )/2 ' з~О (1) 522 сравнить с выводом формул (2), (3) в предыдущей задаче.
Таким образом '0), ! л =(л!лз — лз) 6 (г) —— л Ж и корреляционная функция оказывается равной т = — и(!т'. (2) Чтобы лучше понять полученные результаты, найдем аналогичные (1), (2) характеристики для случая невзаимодействующих классических частиц.
Учитывая, что при этом распределение координат частиц системы описывается произведением вероятностей т(зга/ У и л (г) = ~ 6 (г — га), легко находим л (г!) л (гз) = 1 ... 1 Х 6 (г! — га) 6 (ге — гэ) — ... — = а,э = — 6 (г, — г ) +,, (3) )У т г йг (й! — 1) что совпадает с (1) (заметнм, что слагаемое с 6-функцией в (3] отвечает членам суммы с а = Ь, нх число й!; второе слагаемое— от членов с а Ф Ь, их число 6!(Л' — 1)). Конечно, для макроскопичсских систем значение М огромно, так по последнее слагаемое в (1) пренебрежимо мало н соответственно в (2) имеем ч = О (корреляция отсутствует) С другой стороны, для конечных значений Ь! уже т М О, При этом характерные свойства т; независимость от г и ее знак т(О, имеют простое ебъяснение для классических частиц.
Действительно, значение л,л, меньше чем л' по той причине, что одна и та же частица не может вносить вклад в плотность одновременно в разли !ных точках пространства, независимо от расстоя. ння между иимн (в случае У,м 1 плотность в разных точках пространства определяется в основном вкладом различных частиц). Характеристики бозе-газа в основном состоянии, рассмотренные в данной и предыдущей задачах, оказались такими же, как для газа классических частиц. Это не случайно. Действительно, волновая функция основного состояния имеет вид 0 фо( !) фо( 2) ''' )О( Л)' зйо( ) ю) Слагаемое с б-функцией, обращающееся в нуль при г М О, носит универсальный характер и вообще не зависит от вида функции распределения. 523 т.'е.
представляет произведение в.ф. отдельных частиц, как и в случае различимых частиц. Соответственно частицы ие иитерфеРиРУют дРУг с дРУгом, а дла каждой из них (фе(з = 1/У, что соответствует равновероятному распределению их по обеему. 10.30. Оператор плотности числа частиц Д(г) имеет вид й(Г) = ~ 3(Г, О) = — у у Е 1а' "'1гб~+, йа„, (1) о а бы сравнить с 10.28 и 10.22, о — = з,.
Основное состояние ферми- газа определяется числами заполнения аа, равными 1 для (и(» лг и 0 для (й() ер, так что для него ( Р,>= Дй,'„(0>, (2) гле произведение включает операторы йа~о с кваитовымп шс. лами (Ко) заполненных состояний. При этом импульс Ферми, Пв = йдг, находится из условия (2 )3 0 а (л<аи) т. е. для него Ар — — (Бп~/У/(2з + 1) У]'/з, Замечая, что матричный элемент (Ч'е(еа+ да, (Ч' ) отличен от нуля (и равен при этом 1) лишь для й~ — — йа —= й, причем (й(» ет, по формулам (1), (2) получаем и = (йго ! и (г) ( Ч'0) = /У/У (что и следовало ожидать); наконец, б(о) = й/(2з+ 1), а Л'(о) = До = йго/1'. 10.31.
Оператор величины л(гь о~)п(гп оз) имеет внд д(в)'А) = 1 / е"Р (1((йз й~) г~ + ((гз йз)гз)) "а~аАс о~йаш,бгча; (1) [аа) (сравнить с 10.29 и 10.31). Легко сообразить, что получающийся при усреднении матричный элемент (( 1о )оьаЛваАс,о,"а,о,! )а> (2) где )'Уа> — указанная в предыдущей задаче в, ф. основного состояния ферми-газа, в случае а~ Ф оз отличен от нуля (и равен при атом 1) лишь для значений Кс = йз, Кз = йс, причем (йс, з(( йг. Учитывая зто, для а, чь аз находим 1 ч"ч йз М (й,)й(Ь) й(й,>) Р,>= У, з — уз ~ — (2, (1)з (а (~ар (3) (вычисление сумм по йс,з см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
