Galitskii-1992 (1185113), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Приведенные функции не отвечают, вообще говоря, опреде. ленному значению 5 суммарного сикпа частиц (исключая слу. чай з = 1/2, см. 5.10). Однако имея в виду результат 330, можно утверждать, что в симметричных состояниях представ. лены значения 5 = 2з, 2з — 2, 2з — 4, ..., а в аятисимметрич.
ных — 5 = 2з — 1, 2з — 3, ... (при этом, конечно, 5 ) ~ за+ зз ~ ), 10.2. С учетом спина в. ф. рассматриваемых одночастичных состояний имеют вид $1 гз 1 фГ (Г) Хзз е (П) где у, — спиновая функция (индекс ( у зж; подчеркивает, что для разных орбитальных состояний з, имеет свое значение).
Задание значений з,; однозначно определяет и различных одиочастнчиых состояний фц~,, фк,м., ф,,„ к единственное состояние системы из а одинаковых часпщ в целом, волновая функцкя которого получается симмстризапней (или антиспмметризацией) произведения функций (1), см. еле. дующую задачу. Любое и" менеиие набора значений з.; приводит к новому набору одпочастичпых состояний (1), а соответ. ствшшо н к новому состоянию системы в целом (при этом суШес~венио, что все в, ф, 0; — различные!).
Так как каждое з» ~ принимает (2з+ 1) значений, то общее число различных наборов одпочастнчпых состояний (1), а с ним и число независимых со. стояний системы равно (2з+ 1)". Для системы различимых частиц важен способ их размещения по различным одночастичным состояниям.
Число разлнчных орбитальных састояник при этом равно л1, а общее число состояний системы с учетом спиноаых степеней свободы составляет (2з + 1)'л!. 10.3. Для бозонов авд волновой функции системы зависит от того, совпадают или нет занятые одночастичные состояния. При этом следует различать три случая. 1) Все частицы — в одинаковом состоянии, 1! = /з = /з = ) Нормированная на единицу в.ф. системы Чг = Ч>>(1)Ч>>(2)Ч>г(З) (здесь и ниже вместо переменных частицы указываем лишь ее номер, так ф(1) = ф(го о,) и т. д.).
2) Два из трех занятых состояний совпадают. Теперь 1 /3 (Ч>! (1) ф' (2) ф' (3) + ф' (1) ф' (2) ф' (3) + + Р,(цфз(2)ф!(3)) Н) (для определенности положено /! Ф /! = )з и для краткости записи указываем индекс а вместо /ч). Вид выражения в фигурных скобках определяется из условия симметрии в.ф. по отношению к перестановке переменных $ любых двух частиц, Коэффяцнеит 1/ч/3 выбран из условия нормировки в,ф. Ч' на единицу: ~ (1 ( с(ь!г(Ьзс(йз=' ~ фа(ь)фью)!(ь=баь (2) (интегрирование по $ включает и суммирование по спиновой переменной); прп вычислении нормировочного интеграла из девяти слагаемых в ~Ч" ~з отличный от нуля вклад дают лишь три из-за указанной в (2) ортогональностп волновых функций одно- частичных состояний. 3) Если все три запятые состояния различны, то Ч = — (ф>(1) ф! (2) фз(З) + ф>(1) фз (2) ф! (3) 4 1 ч/б + >р, (1) ф, (2) ф>(З) Ш ф, (1) ф,(2) ф, (3) Ш ь ф! ( 1) ф! (2) ф! (3) ~ >Р! ( !) >Р! (2) фз (3]), (3) при этом следует выбрать верхние знаки.
В случае фермиопов все три занятые состояния дол>нны бьжь различными н антнсимметрнчная волновая функция системы определяется выражением (3) с выбором в нем нижних знаков. 10.4. Так как координатная часть волновой функции системы, имеющая вид ср(г!)ф(гз)>р(г!), симметрична, то спиновая часть в. ф. ташке должна быть симметричной относительно взаимной перестановки частиц. Неснмметрнзованные в спинах функции имеют вид Хз..
(о ) Х,,(о ) Хз, з(о ), где уг (а) — спиновая функция отдельной частицы с опредегз лепным значением проекции снипа з,. Их число равно 3 Х 3 Х ХЗ=27, однако условие симметричности существенно уменьшает 503 число независимых состояний. Такие состояния отвечают различ. ным наборам (з*, ь) значений з, отдельных частиц (не сводящимся к взаимной перестановке з,,(), а соответствующие спиновые функции системы получаются в результате симметризации одночастичных спиновых функций, сравнить с предыдущей задачей. Так, например, для набора значений з,,~ — — з,,з = з, з — — 1 имеем Р =Х (ПХ (2)Х (3)=~ О) ~О) ~О ~, (П 0 ! 0 з 0 з а для набора з,, =з.,=1, з,,э= 0 1 ф ==(Х (1)Х (2)Хэ(3)+Х (1) Х (2).Х (3)+ (/3 + Хо(1) Х~ (2) Х~ (3)) == ~ ~ 0 ~ ~ О ~ ~ 1 ~ + О ! О 4. ! О О , (2) Выпшоеч также другие наборы значений (з, ь з ь з- з), приводящие к новым везавнсимым состояниям системы: (1,1,— 1), (1, О.О), (1, О, — 1), (1, — 1, — 1), (О, О, О), (О, О, — !), (О, -1, — П, ( — 1,— 1,—.1).
Как видно, общее число независимых спиновых состояний системы равно 10. Из этих !О состояний 7 соответствуют значению 5 = 3 суммарного спина системы, а 3 — значению 5 = 1. Действительно, очевидно, что спиновая функция (1) отвечает 5 = 3. Также 5 = 3 отвечает и функция (2), как единственное состоя. нне с 5„ = 2 Значение 5, = 1 имеют два состояния: (1,1, — 1) и (1,0,0). Существование одного из иих связано с суммарным спином 5 = 3, а другого — с 5 = 1. 1О.б. Полный момент двух пионов в их системе ц.и.
(она же — система покоя частицы Аэ) совпадает с орбитальным моментом Г. их относительного движения в в силу сохранения момента равен спину частицы А', так что уз = (.. Но из условия симметричности в, ф, двух пэ-мезонов следует, что й может принимать лишь четные значения, и поэтому Ух = 0,2,4, ...
(действительно, перестановка пионов эквивалентна отраженшо координат в их системе ц.и., так как г = г, — гз, и приводит к умножению в. ф. на ( — 1)г). При этом четность двухпиоиной системы — положительна и если она сохраняется в распаде, то РА = +1. 304 10.6. В условиях задачи квантовые числа к-д-системы таковы; Х = Ха = 1 — полный момент, Р = Є— четность, совпадающая с четкостью пиона.
В силу сохранения момента два нейтрона в конечном состоянии также имеют полный момент Х =! (в системе ц, и.), и так как для ннх Х = 1, + 8 (й — орбитальный момент относительного движения, 5 — суммарный спин, спин нейтрона з = !Х2), то возможны лишь следующие зна ~ения Е. и 5: 1) Х.=О, 5=1; 2) 0=1,5=0; 3) 0=1,5=1, 4) 0=2, 5=1, Легко заметить, что условие аитисимметричности волновой функции системы из двух нейтронов запрещает им находиться в состояниях с квантовыми числами наборов 1), 2) и 4). Зля этого следует учесть, что спнноные функции с 5 = 1 и 5 = 0 соответственно симметричны н антнсимметричны (см. 5.10), а симметрия координатных функций с данным значением орбитального момента й совпадает с чстностью этих функций ( — !]' (так как перестановка координат эквивалентна нх отражению относительна центра масс, г = г, — гэ).
Таким образом, при полном моменте Х = ! система двух нейтронов может иметь только квантовые числа Х. = 1 н 5 = 1, а соответственно н отрицательную четность. Отсюда следует, что Р» = — 1 и пион, как говорят, является лсеадоскалярмой частицей, т. е.
у него Хк = 0 10.7. Задача о возможных состояниях рассматриваемой системы из трех одинаковых бозонов по сушеству энвивалентна 10.4, а волновые функции могут бьшь получены заменой спнновых функций уэ в 104 иа шаровыс функции У,и(п). Отсюда, в частности, следует, что полный орбитальный момент может принимать лишь значения й = 3 я Х. = !. Факт отсутствия у рассматриваемой системы состояния с суммарным орбитальным моментом Х. = 0 более наглядно следует нз вида волновой функции Чгь е. В условиях задачи в. ф. трех независимых состояний частицы с ! = ! могут быть выбраны в виде сн = х4(г), где хг — компоненты радиуса-вектора г, см 3.21.
При этом в. ф. (неснмметризованные!) лля системы нз трех частиц с ! = 1 имеют внд зр!Ш = «~гхзьхз!! (г~) ( (гз) ) (гэ). Волновая функция состояния с суммарным моментом й = 0 является скаляром (не изменяется при врашениях системы координат). Из волновых функций (1) мозкно составить только одну скалярную (точнее, псевдоскалярную) функцию: 'Ре е — †(г! [гага] ) Х (г,) 1(гз) ! (гз) (2) 505. но она антисимметрична относительно перестановки частиц и не может описывать состояния системы одинаковых боэонов.
10.8. Перестановка координат двух частиц эквивалентна их отражению относительно центра масс (так как г = г, — гз). Поэтому симметрия коордвнатной части волновой функции состоя. яяя с данныи значением В момента относительного движения совпадает с орбитальной четностью состояния, равной ( — 1)'. Соответственно условие симметричности в. ф. системы тождественных бозонов требует, чтобы в четных состояниях перестановка спииовых переменных частиц ве изменяла волновой функции, а в нечетных состояниях приводила к изменению знака в. ф.
Отсюда, имая в виду результат задачм 3.30 в характере симметрии в. ф. при сложении двух одинаковых моментов, заключаем, что в состояниях с орбитальным моментом «'. = 0,2,4, ... возможны лишь зпаченмя суммарного спина 5=2з, 2з — 2, ..., О, а для состояний с й = 1, 3, 3, ..., возможны лишь 5 = 2з — 1, 2з — 3, ...,!. В частности, для бесспнновых бозонов, з = О, возмозкны только четные эначеимя й. Следствием этого результата является, например, запрег на распады нейтральной частицы со спинам 5т= 1 (зекгорного мезона) на два яз-мезона, см.
также 10.3. 10.9. В системе из двух тождественных фермнанов при четных значениях й орбитального момента суммарный спин может принимать также только четные значения 5 = 2з — 1, 2з — 3, ... , О, а при нечетных (. возможны только нечетные 5 = 2з, 2з — 2, ..., 1; сравнить с предыдущей задачей, а такзке с 10.6, 10.10. Нормированная в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
