Galitskii-1992 (1185113), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Чгн в п-представлении. 10.20. Если 1, ~ )з, то вектор состояния )2) = д,"й "10) нормирован на единицу; действительно: (2 ) 2) = (О! атч~й~ьазт ! О) = (О ( Дз 11 ~ а ' й~ ) азт / О) = = (О ( 1 ~ йзтаз ~ а б" (~ Дзтб ) ! 0) (О! 0) = 1 (знакн -1- н — соответствуют бозонам и фермионам). В случае )~ = !г = ( нормированное двухбозонное состояние имеет вид )2> = — (пД ) 0>, а аналогичного двухфермнонного состояния не существует. Волновые функции рассматриваемых двухчастичных состояний в координатном представлении имеют впд г(г (йь Ы = = (Ф~ (Ь) фз йз) ~ фз (й) Ф Яз)), )~ ча )з! 1 'г/2 'р(Р йх)-ф!(й)ф!(йз) ) =Ьн— в ).
10.21. В случае различных значений всех трех квантовых чисел Г, для указанного в условии вектора состояний имеем (3!3> = ! (как для бозонов, так н для фермионов). При этом в. ф, системы в координатном представлении описываются формулой (3) из !0.3. 612 Если все три /,— одинаковые, то длн сохранения нормировки следует ввести множитель 1/з/3! = 1/~/б! в. ф. соответствующего трехбозонного состояния Ч" = фг($,)ф!Яз)ф!Яз). Если же совпадают лишь два значения квантовых чисел /, то нормировочный козффициент в векторе состояний следует взять равным 1/~/2, а соответствующая в, ф, описывается формулой (!) из 10.3.
10.22. Плотности числа частиц с данным значением з проекции спина в точке г пространства сопоставляется оператор б (г, з ) = ~ б (г — г„) б„, б . а а~а' г (сравшпь с 10.! 1; оператор записан в координатном представ. ленни для орбитальных переменных и в з,-прелставлении — для спиновых). Он является суммой одночастичных операторов (плотность частиц — аддитнвиая величина), так что его вид в представлении чисел заполнения определяется формулой (Х.З), согласно которой получаем й (г, зг) = Чгт (г, зг) Ч'(г, зг), й(г) = ~ Д (г, за), (2) здесь й(г) — оператор плотности частиц уже безотносительно к значению их проекции спина. Операторы М(о, зг) и Д1(о) получаются нз Н ннтегрированием по соответствующему объему с; в связи с данной задачей см.
также 10.28 — 31. 10.23. Оператор Р импульса (адднтивной физической величины) системы тождественных частиц согласно формуле (Х.З) имеет внд Используя коммутационные соотношения для бозонных Ч'-операторов легко находим 17 В, М. Галаакяа н др. 613 = — Гй ~ (Ф' а') Ф а) — Ф(Р Ч+ (В')[ —,Ф(2') й~' = =Щ~б(~ — В) — ", Р(~)йВ'= Д й Р(2). (1) дг' дг Аналогично получаем [р, Ф а)[=-(й ~ 'р а') —,ба — Г) т=(й — Ф'(".).
дг' дг (2) Теперь нетрудно заметить, что заменз коммутационных соотношений для бозоиных Ч'-операторов иа аитнкоммутзцнонные для фермнониых не изменяет полученных результатов. 10.24. Гамильтониаи поперечного движения частицы в магнитном поле имеет вид (см. 7.1) гт = — [))з + йз+ т ~ (х +уз)1 — 6~(, 61 = хр — ур, (1) где ы = [е[йв72тс. Его, введя обычным образом операторы уничтожения н рожления «квантов колебаний» вдоль осей х и у: 1 1 йх = (тых+ гйх), ау =, (тыу +(ру), Ч/2тбы ц/2тбы можно преобразовать к виду Н =- йы (йхйх+йийи+ 1+1 — [й„йхт — й+йх)~. (2) Вместо операторов а, „удобно авеста их линейные комбинации й| = = [ йх + 1 — йг), й, = = [ йк — 1 — йн), (3) ц/2 [.
(е( )' ц/2 [, (е[ также являющиеся операторами уяичтоження (причем независи- мыми), так как для них )йр йе1=бгы [йм аь[=[йг, йь1=0; О «=1, 2, Теперь имеем (ыл = 2ы): Д = Ьы (й+й, + — 1, ( — [й'й — й й,). (4) г и т 2 т' х )е( Так как этн операторы выражаются только через операторы чисел «квантов» й~ г, то собственные векторы [пь аз) последних являются также собственными векторамн гамильтониаиа Н~ и 514 оператора 1 Отсюда сразу следует вырамсеиие для спектра уровней Ландау и их бесконечнан кратность вырождения, так как они не зависят от и», прн этом (, = (пз — п,)е/(е(, сравнить с 7.1.
Покажем, как можно найти вид с.ф. Ч'„,, в координатном представлении. Сначала получим в. ф. »р«, «вакуумного» состояния. Из решеная уравнений а,Ч'оо = О н б»Ч'оо —— О имеем Ч'оо = »ьцг — ехр ~ — — (х + р )), Ь = —. (5) з» т з тl яй 1. 25е лты ' Волновые функции Чижов= ('~') '(бз ) "1"со Ч,ти~( и,! получаются нз Ч'«с дифференцированием. При этом вместо к, у удобно ввести переменные 1 $= (к+(у), .ьт2 Ь В случае е » О находим для е ( О с.
ф. получаются комплексным сопряжением (6). 15.25. Гамнльтоннан плоского осциллятора имеет вид Я = = 17, + Я», где Вч» — гамильтонианы линейных осцилляторов. Коммутатнвность 17, » друг с другом и с гамильтоиааном 7) позволяет сразу найти спектр последнего Вл,«,— — йю! (и, + 2 ) + йозз) пз+ 2 ); и, з=О, 1, 2, ... (1) н его с. ф. в виде произведения оспилляторвых волновых функций, сравнить с 2.48.
Лля несоизмеримых частот уровни осциллптора — невырожденные. В случае кратных частот появляется дополнительная симметрия гамильтоннана 4), проявляющаяся в существовании но- ') В классической физике такая симметрия пронвлветси в том, что траектории плоского осцпллятора становятся замкнутыми кривыми. 17» 515 вых операторов, коммутирующих с Я (н ие коммутирующих с Я„, „), и объясннющая вырождение уровней.
При этом операторы симметрии, действуя на собственные функции гамильтопиана, отвечающие данному уровню, преобразуют их друг через друга. Характер такой симметрии особенно нагляден в случае совпадения частот, со, = мз (т. е. для изотропного осцнллятора) и состоит в ннварнзнтностн гамильтониана относительно поворотов системы координат, приводящей к сохранению компоненты момента 1я Учитывая сказанное и зид энергетического спектра (1), операторы симметрии легко связать с операторами рождения и уничтожения «квантов колебаний» вдоль осей х и у. В случае соотношения между частотами Аы~ = зыз, где А, з — целые чнс.
лз, такие «дополнительныс» операторы симметрии, как легко сообразить, могут быть выбраны в виде О = (га„") (б„)', О+ = (б„) (А~)'. (2) При этом эрмитовы комбинации таких операторов а=()+а', а= Я вЂ” 6') являются операторами сохравяюшихсв физических величин — интегралов движения рассматриваемой системы. В частности, в случае еп = ыз (когда А = з = 1) змеем (выражение для а см., например, в 10.15): — 1 = 1(Ц вЂ” ()+), йхй~ -(- гл в~~у = ~Ам(ьг+ 1«+).
(4) Сохранение 1, для изотропного осциллятора не требует коммен. тария. Появление же второго интеграла движения в (4) отражает специфическую особенность изотропного осциллятора, переменные в гампльтоннане которого разделяются как в декартовых, так н в полярных координатах; срзвнить с 4.4 и 4.5 для сферического осциллятора.
10.25. Так как для рассматриваемой системы энергетический спектр Ел = Ам(пз + пг) зависит только от общего числа частиц Лг = пз + и„ то, очевидно, операторы 1) = дБ+~, ()+ = 45~+, при этом 6з = Я+)з = О (1) (д — вещественный параметр, удобно выбрать д = 1/Ав), «заменяющие» фермиои на бозон — Я и, наоборот, бозон иа фермион — йэ, коммутируют с гамильтоиианом и являются операторами симметрии рассматриваемой системы (сравнить с предыдущей задачей). Важное свойство рассматриваемой симметрии состоит в том„ что гамильтониаи системы Я сам выражается через операторы 516 симметрии и совпадает с их аитикоммутатором, так что') Если вместо операторов гу, йт ввести их эрмитовы комбинации то соотношения (2) принимают более компактный внд: Д, б)з] = йбтзй, (ф,, Й] = о;, й = 1, 2.
(3) Появление в (2), (3) наряду с коммутаторами также н аитикоммутаторов, через которые выражается гампльтониан системы, — характерное свойство суперснмметрии. При этом только из алгебры операторов (2) (или (3)) следует ряд заключений относительно спектра гамнльтониана (без конкретизации вида операторов 4, Я и Л!). Перечислим их. 1) Неотрнцательность с.з. гамильтониана, т.
е, Е ) О. Действительно, в любом состоянии средине значения Я~ ) О ()'Я ) 0 (сравнить с 1.13), так что Й л О, а соответственно и Е> О. 2) Двукратное вырождение уровней с Е Ф О. Сначала заметим, что эрмнтов оператор 5 = ()~Я коммутирует с гамильтониаиом, так что существует полная система функций Ч'гз, являющихся собственными фупкцнямн Е и 5 одновременно.
Далее, из уравнения 5Ч'зз =- 5Ч'зз, ввиду равенства \б)+) = О, следует 5(О Ч'лз 0 Отсюда либо с. з. 5=0, либо ч) Ч'лз — — 0; "+ но во втором случае нз уравиеная ЙЧ' = ЕЧ« находим, что с.з. 5 = Е. Других собственных значений (на состояниях с данным Е) у оператора 5 нет. Существенно, что прн Е еь 0 реализуются оба значения 5> = 0 и 5з = Е, а соответствующие нм с. ф. переходят друг в друга под действием операторов и Я«, что и объясняет двукратное вырождение уровня ') с Е чь О. Действительно, пусть Ч'зз чь 0 (при этом ОЧ'зз = 0), тогда имеем Чглл 1«тЧгдз чь 0 (так как () (Я~Чгло) =ЕЧ«лз эх чь 0); аналогично Ч' со(гЧ« л (пРи этом Я+ту = 0) ') Напомним: ф, Ь+] = 1, Ц, 1г+зг = 1, ~з = (1«+) = О. ') При этом вырожденные состояния называют српзрпаргнерами.
Подчеркнем, что речь идет о вырожденнк уровней, связанном именно с суперсимметричностью гамильтоииаиа. О возможном «дополнительном» вырождении см., например, в 7.9. 317 где э) (г(х) = цгэ(х), Иж(х) = — йГ(х) 3 Эгйш На основе общих свойств с.з. н с.ф, суперсимметричного гамнльтониана, установленных в предыдущей задаче, можно сделать ряд интересных замечаний в отношении спектра обычного одномерного гамильтониана (уже бссспнновой частицы). Действительно, с. ф. 'У гамильтониана (2) н коммутирующего с ким оператора о» имеют вид О При этан из уравнения Шредингера, ЙЧ'г = ЕЧ'э, следует ( —..' ' — ' р'+ и (х) ) фй = Е,фй, (3) где () (х) = )р'э(х) ~ )р' (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
