Galitskii-1992 (1185113), страница 92
Текст из файла (страница 92)
е, р ~ 0), имеет микроскопические размеры, то при рассмотрении поля вблизи поверхности можно пренебречь ее кривизной и ограничиться одномерным случаем. При этом распределение заряда электронов и потенциала вблизи поверхности проводника, которую выбираем как плоскость г = О, описываются уравнением ф" (а) = — 4«р (г) = 4«в б«(з) хзф (г), (1) 631 ы) Рассматриваемые величины сферически-симметричны относительно точки г = О расположения вносимого заряда ф Подчеркнем, что в отличие от атома теперь «(г) — ь «ачьО при г-а- аа '4) Сравнить, например, с 4.20. где 4тезри )Нг х= -('' хй з сравнить с предыдущей задачей. Решение уравнения, удовле. творяющее граничному условию ф(и) -» фо = О при я-» оо (счнтаем, что области проводника отвечают значения я ° 0), имеет внд ф Гл) = Ае "" и ) О, (2) а объемная плотность заряда (,) = ф (,) = е- , ~ О, (8) хз х24 4х 4х Значение А определяется «поверхностной» плотностью заряда 4пп, А= —— и и» = '( р (2) г(г, с (4) Это же значение А следует, естественно, и из граничного усло- вия Е„(0) = фг(0) = 4лп«электростатики проводников.
Глава 11 АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ равна — р«/8тзсз, Квантовомеханическим обобщением этой поправки является оператор У= — р«/8т'с', рассматриваемый как возмущение гамильтониана. Так как он коммутирует с операторами 1 и г, то с. ф. Ч"„г„, невозмущенного гамильтониана (с 2 « 10) (Г = — еф = — Еез/г, см. (1Ч.З)) являются правильныии функпиями нулевого прибяижения при наличии возмущенвя. При этом согласно (ЧП1. ! ) 1 г- уезд =— — — (л,1т) ( Нз+ — ) (п,(т) = 2гпс' ' (, г ) — з (я,1т (Но+/ге + гта + ( — ) ) лг)т), (2) ! 1.1.
Релятивистская поправка к функции Гамильтона заряженной частицы в электростатическом поле в классической теории согласно формуле ( — е — заряд частицы, р ~ тс) рз р« «е = 1/рзст+ тзс« — еф (г) — тс' — — — у — — еф (г) (1) 2т 8т сз После этого расчет поправки первого приближения сводится к вычислению двух матричных элементов (п,(т ( — ! л,1пт) = — 2Е1, 1, 1 4шЕ1з (" ") —,("'") = - (21+ 1)"Л . (4) Их значения проще всего получить с помощью соотношения (1. 6). Для этого заметим, что (3) можно рассматривать как с. з.
оператора Лз 1 ,( ( Лз((1 -)- 1) Ве' уу з 2т гз г(г Нг 2гпгз г Теперь дифференпирование в соответствии с (1.6) по параметрам ь и! приводит к соотношениям (4). В результате получаем Отсюда видно, что учет релятивистской поправки полностью снимает случайное вырождение уровней в кулоновском поле: уровень с данным л расщепляется иа а компонент в соответствии с возможными значениями момента 1= О, 1, ..., (л — 1) для невозмущениого уровня.
При этом сдвиг уровня с увеличением момента уменьшается, что физически естественно. Йействительно, чем больше значение 1, тем в среднем на ббльших расстояниях от ядра находится частипа. Соответственно тем больше и ее по- ') В частности, тр(оМУ 2',р(е1 Лз, я З з (заиду эрмитовости Йз его действие можно перенести на функ- цшо, стоящую в матричном элементе слева).
533 где Нз — невозмущенный гамильтониан водородоподобного атома. Так как Ч'з зм является с. ф. оператора Не, то во всех (а1 слагаемых последнего из равенств (2) можно Яз заменить') его с. з., равным теяциальная энергия, а кинетическая энергия и сдвиг уровня Е(!!! с~ р«, наоборот, меньше (так как Т+ (( = Е„). По этой же причине ширина интервала тонкой структуры уровня — разность энергий крайних компонент, отвечающих значениям ! = 0 н 1 = (и — 1), равная ЛЕиз(л) = 4(йа) ~ Е1,"1~.
(6) уменьшается с ростом л, здесь а = езг'Лс = 1/137 — посголнлол тонкой сгрукгурьь Отметим, что для уровня с а = 2 согласно (6) расщепление составляет ЛЕ»з(2) = 1,21 !0-«3' эВ. Для значений п — 1 формула (5) дает ~ Е01 /ГЛО> ( (уа) и 1О 42 так что условие применимости полученного результата предполагает, что Я к 137 (это — естественный результат, так как скорость электрона в атоме о Ее»/Л = 3гзс и при значениях 3 — 100 его уже нельзя считать нерелятивистским). Сделаем несколько заключительных замечаний.
Как отмечалось в условии задачи, рассматриваемая поправка, не учитывающая саин-орбитального взаимодействия, относится к случаю бесспиновой частицы. Приэтом она правильно описывает сдвиг уровня в первом порядке теории возмущений по (Ясг)з. Однако, как зто следует из релятивистского уравнения для ~аких частиц — уравнения Клейна — Гордона, в более высоких приближениях возмущение гамильтониана не «повторяет» разложения (!) классической функции Гамильтона„см. в связи с этим 15.13 — 15.15. Реально существующие частицы со олином з = 0 (например, и- и К-мезоны) обладают сильны»~ взаилоделстэиеа, оказывающим более существенное влиянве на сдвиги атомных уровней, чем релятивистские поправки, см.
11.4. При учете спин-орбитального взаимодействия для электрона тонкая структура водородоподобного атома с точечным ядром согласно уравненшо Дирака имеет следующую характерную особенность (29! Уровень с данным и, имеющий согласно иерелятивистской теории кратность вырождения 2лз (2 — из-за спина), при учете релятивистских поправок расщепляется на л компонент (как и в случае бесспиновой частицы), каждая из которых отвечает определенному значению ! полного момента электрона ! = = 1/2, 3/2, ..., а — !/2. При этом случайное вырождение снимается не полностью, так как остаются вырожденными уровни с одинаковым значением !', но с различными значениями орбитального момента ! = ! ш 1/2.
Так, для и = 2 уровень расщепляется на две компоненты, одна из кот рых отвечает 2рзш-состояниям, 634 а другая — вырожденным 2з,д- и 2р,д-состояниям. При этом интервал тонкой структуры равен ЛЕе, гм 4,5 1О-галл эВ. Дальнейшее снятие вырождения по 1 (ламбовский сдвиг) возникает прн учете так называемых радин>(ионных поправок ]29], о величине эффекта см.
11.62. 11.2. Согласно классической электродинамике взаимодействие двух магнитных моментов друг с другом имеет вид«) У = — >г>раг (г), см. [27], где ург (г) = го1 А- = го! = — ((ргр) 7 — ргЛ)— ! >«гг! ! гг г — магнитное поле, создаваемое 2-м моментом в точке нахождения 1-го. Квантовомеханическнм обобщением этого взаимодействия на случай сивковых магнитных моментов является оператор взаимодействия У, получаемый заг>евой классических величин на соответствующие операторы (считаем 1-й момент электронным, с ) О): ей >«1 +>г«= з, гп«с >га >гг г' Нлг = ! При этом зрмитов оператор >> можно записать в виде едва х! У = — ).з ~ — — — б. Л) —, т,с> г ь(,дх. дх, >ь ) г ' Рассматривая его как возмущение и учитывая вид с.
ф. з-состояний иевозмушеиного гамильтоннанаЧ'1 > =ф>„>(г) у, где 2 — спи>о> О> новая функция электрона и ядра, усредннм оператор р в соответствии с секулярным уравнением ') (УП1 5) по координатам электрона. При этом змеем )ф>о>(„)~г( д д б Л) ! Дзг 1 й 535 ') Взаимная перестановка частиц не изменяет вида взаимо. действия. ') Такое усреднение является общим для всех матричных элементов оператора возмущения У между рассматриваемыми пг-состояниями атома. При этом то обстоятельство, что при вычислении сверхтонкого расщепления правильные функдии нулевого приближения отвечают определенному значени>о орбитального момента (1 = 0 в данной задаче), связано с тем, что случайное кулоновское вырождение атомных уровней снимается уже прн учете релятивистских поправок, приводящих к (более «грубойг>) тонной структуре атомного спектра, см.
предыдущую задачу (заметим, что рассматриваемое взаимодействие У не приводит к перемешиванию згд- н рг>г-состояний). (пропорциональность интеграла тензору бм связана с тем, что ввиду сферической симметрии з-состояния нет никаких других тензорных иеличии). Для определения значения С выполним свертку по индексам ! и й. Учитывая, что би = 3 и д д 1 1 — — — = Л вЂ” = — 4пб (г), дх, дх, г находим С = (8п/3) ~ ф!",' (О) (-.
Таким образом, в результате усреднения получаем 8пейра о ° -- с З " те -за 3 3 1 !1фйе(0)! (!з); !(фпе(0)! = Лз з Зтес/ При этом Р все еще является оператором, действующим в про- странстве сливовых состояний электрона и ядра. Очевидно, что собственными функциями этого оператора являются спииовые функции, отвечающие определенному значению 1 =! ~ 1/2 пол- ного момента (спина) атома, а его с. з, определяют сверхтоикое расщепление пз-уровня 1, 1 = 1+ 1/2, р Е!!1 ° е ра (ф!з1(0) (з ° — (3) Зт,с/ ! "' ! ( — (1+ 1), 1 =1 — 1/2, (т. е. уровень расщепляется на два подуровня в соответствии с двумя возможными значенкями суммарного спина атома, срав- нить с 3.27). Величина сверхтонкого расщепления ЛЕниз (пз) = Енгз [1 1+ ) Енез [1 1 ) = 2) (, 2) 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
