Galitskii-1992 (1185113), страница 93
Текст из файла (страница 93)
(21 + !) ед!ы ( ,Ю,(0) ~, (4 Зтес! Сравнение (для значений п 1 и 2 1) с интервалом тонкой структуры (6) из 11.1 дает ЛЕигз/ЛЕгз — т,/т, 10-', т, е. сверхтонкое расщепление значительно меньше тонкой структуры. )(ля основного состояния, и = 1, атома водорода со~ласно (4) получаем Лтнгз(!з) ЛЕнез/2пл ез 1420 МГц, как и экспе- риментальное значение. Однако более тщательное сравнение по- казывает, что теоретический результат 1418,6 МГц отличается от экспериментального значения 1420,4 МГц на яе0,1 '/е Это на по- рядок превосходит величину неучтенных релятивистских попра- вок ( -ссз — 1О-', при вычислениях следует учесть отличие при- веденной массы ер-системы от т,), Объяснение расхождения свя- зано с наличием у электрона аномального магнитного момента, с учетом которого его магнитный момент равен ре(1 + сс/2п), где )ье = — ед/2т,с, см. [29).
Сделаем два заключительных замечания, При обобщении по- лученных результатов на компоненты тонкой структуры с,от- 536 личным от нуля орбитальным моментом следует, наряду с взаимодействием магнитных моментов, учитывать также взаимодействие с магнитным полем ядра и орбитального тока электрона: ) гл = 0 при 1 = О. Далее, магнитное взаимодействие не является единственной причиной сверхтонкого расщепления уровней. Вклад в него вносит также и искажение кулоновского потенциала, связанное с наличием у ядра со спином 1 ) 1 квадрупольного момента.
Однако он менее существен, чем вклад от магнитного взаимодействия, а для з-состояний вообще отсутствует. 11.3. Обозначим ф(г) потенциал, создаваемый ядром. Вне ядра ') ф = Ее/г, а отличие потенциала от кулоновского бгр = == гр — Уе/г в области ядра определяет возмущение =- — ебн(г). При этом сдвиги кулоновских нюуровией равны бЕ„, =. ~ Р (г) ~Чгл„з(г) ~ Ф г — э ~ Ч'эг~(0) ) ~ бр(г) г( г. (1) Здесь положено (Ч'~~~(г) ! ж (Ч'1„~1(0) ), так как в. ф. Ч'1„1(г) в области ядра (т. е. на расстояниях г ( Я яз 1Оьы — 1О-" см), по которой и проводится интегрирование, почти не изменяется ').
Значение интеграла (1) зависит от характера распределения заряда в ядре. При этом, учитывая, что Лгз = 6, интеграл в (1) можно преобразовать к виду ') б р (г) Л)' — = — бф Лгз г()' = — '] гзд (ба (г)) Л' = 2 =б З вЂ” — г'р (г) Л' = — <г'). (2): 2я ( з 2я2е З 3 = З Здесь р(г) — плотность заряда внутри ядра, <г ) =— г, = — ~ г р(г)Л', прн этом г, называют среднеквадратичным зарядовым (протон- ным) радиусом ядра. Заметим, что величина (г') определяет также поведение электрического формфактора ядра Р(Ч) при с1 — ~. 0: Р(Л) =ге(1 — — <г)Л ) 1 б (сравнить с атомным формфактором, см. (1, й !39]).
') Имеется в виду ядро со сферически-симметричным распределением заряда. ') Для состояний с моментом 1 Ф 0 на малых расстояниях Ч' гз г', так что сдвиг уровня резко уменьшается с увеличением 1. ') При этом использовано уравнение Пуассона электростатики, согласно которому Ь(йр) = — 4я(р — Ееб(г)) и учтено,. что вклад слагаемого с Ь.функцией в интеграл (2) равен нулю. Для равномерного распределения заряда по шару радиуса Е имеем, очевидно, (гз) = 3Ез/5 н согласно формуле (1) получаем ') ЛЕ„,= и Ее')(з!)трй(О)~'! /'РЙ(0)Г= з з (3) паапа Числовое значение отношения 2 тз(з 1о1! 4 з~Е) 8 0-!о2 (4) (здесь для оценки положено Е яз 1,5 10-"2ыз см).
Оно существенно меньше аналогичных отношений для релятивистской поправки, см. 11.1, и сверхтонкого расщепления, см, 11.2, и прн 2 — 1 составляет — 10-' н — 10-' от значений этих величин соответственно. Интересно оценить вклад размера протона, для которого среднеквадратичный зарядовый радиус г, кз 0,8 1О " см, в ве личину лэмбовского сдвига уровней 2зыз и 2рмз атома водорода, см. 11.1. Согласно (1) н (2) получаем 1 г хз ез ЛЕз, = — ( — ') — яэ 5,2, 10 ~ эВ яг 0,12 МГц 12 Г,ав) ав (сдвиг 2рьдмуровня при этом в (аз/г.)' — 1О" раз меньше!). Так как эиспериментальное значение лэмбовского сдвига составляет Льз ян 1058 МГц, то вклад размера протона в него несуществен и находится на уровне экспериментальной ошибки в измерении Лгм Заметим, что эффекты неточечности ядра более резко проявляются в р-мезоатомах.
Это связано с тем, что боровский радиус мюоиа а н = (ш /тп) ав в 207 раз меньше электронного. Соответственно в оценку (4) теперь должен быть введен дополнительный множитель, равный (ти/те)зяк 4,3. 10'. Прн этом для основного уровня, а = 1, уже при значении 2 = 27 имеем ~ ЛЕ !,/Е(! "г! ( гв 0,2, 11,4. Рассмотрим влияние короткодействующего потенциала (гз(г) радиуса гз (так что можно считать Уз(г) ез 0 при значениях г- гэ) на уровни частицы с энергией ~Е!'(<<6/ага, существующие в «дальнодействующем» потенциале У,(г) радиуса гс.з. гз. Последний на расстояниях г гз предполагается ') Этот же результат может быть получен непосредственно по формуле (1), если в ней воспользоваться известным из электростатики выражением !р = Яе(ЗЕз — гз)/ййз для потенциала внутри равномерно заряженного шара радиуса )7.
слабым, так что 0ь<д !'и!г~ш однако при г)гь никаких огз! з раничений на его величину ие накладывается. Применительно к адрониым атомам в роли ((, выступает потенциал кулоновского притяжения адронов, а ((з описывает их сильное (ядерное) взаимодействие, При этом, например, для папиных атомов г! а„в — — Д !тяе ж 2 1О см, а гзяа 2 !О см. Лля достаточно произвольного взаимодействия (гз сдвиги невозмущенных уровней Е„! малы и описываются формулами теории возмущений До1 по !!лине рассеяния, которые могут быть получены в результате простой модификации формул обычной теории возмущеяий по потенциалу.
Начнем со случая, когда (!«(г) — центральный потенциал, и рассмотрим сдвиги з-уровней. Согласно обычной теории возмущений по потенциалу в первом приближении имеем бе„,=~ел(г)/рю1(.)(зпзг=!р(„',>(О)/з ~ из(г) Рг (П (в ннтеграле сушестьенны расстояния г ( г; ввиду малости гз значсние невозмущенной в. ф, прн этом почти не изменяется и она может быть вынесена из-под интеграла, сравнить с формулой (1) нз предыдущев задачи). Теперь заметим, что последний интеграл в формуле (1) с точностью до множителя совпадает с амплитудой рассеяния частицы с энергией Е = О в потенциале 0«(г) в борновском приближении, см (Х1Н.
6). Учитывая, что а, = — '1(Е = О) является длиной рассеяния (з-волны) для потенциала (гз(г), перепишем (1) в виде здесь а»н — длина рассеяния в борновском приближении Формулы (1) и (2) применимы лишь в случае «слабого» потенциала 0»(г), удовлетворяющего условию применимости тео- 2! е в! Рии возмУщений, ()з «. Й гтгз, пРи этом также (а» («Сгз, Если же потенциал ((з является «сильным», то они непосредственно не применимы. Тем не менее и в этом случае выражение для сдвига уровня может быть получено в результате простой модификации формулы (2); в ней следует только заменить бериевскую длину рассеяния а, на точную длину рассеяния а, в пои тенциале (lз(г). При этом, вообще говоря, а, — г, и сдвиг уровни остается малым. Действительно, для дальнодействующего потенциала притяжения (!г(г) радиуса гг характерные значения бЗВ У - а«гг) Рис.
38 г <г «г, (т! Е„~бз) (3) она имеет вид Ч'„ж А(! — а,/г), где а,— длина оассеяния в потенциале Уз, и (почти) не зависит от величины Е и вида потенциала Уы Это связано с тем, что на расстояниих (3) у.Ш. приближенно принимает вид ЛЧ',.(г) = О, или (гЧ',.(г))" = О.
Теперь заметим, что при значениях длины рассеяния, удовлетворяющих условию ( а, ) ~ гь и ~п< ! Е<„1) <Д ) (4) точная в. ф. Ч'„(г), сильно отличаясь от невозмущеиной в. ф. Ч'„(г) на малых расстояниях, в области гЛ )а,) с ней уже <а) почти совпадает. Отсюда и следует вывод о том, что сдвиг уровня мал, а его величина зависит лишь от значения длины рассеяния а„но не от конкретного вида потенциала Уз(г). На этом основана возможность рассмотрения влияния короткодействующего потенциала Уз, состоящая в замене его на некоторый фиктивный потенциал (ясеадояотен«иал) ()з(г), который уже можно рассматривать как возмущение; причем борновская длина энергетических уровней Е„й <лтгс и для з-состояний в.
ф. в <а! з< з .иУле ~ Ч'< 1(О) )~ гс~. Сдвиги з-УРовней согласно (2) 8Е„ (а /гс)Е~~~~ при значениях а,~г малы (случай а )г см, ниже), Для пояснения указанного формального приема учета влияния короткодействующего потенциала прежде всего приведем рис. 38, иллюстрирующий качественное изменение в.ф. рассматриваемого состояния частицы (сравнить с 4.29 и приведенным там рисунком).
Сплошная линия иа нем изображает невозмущенную в. ф. 'Р„'а< (г), удовлетворяю)- <цую условию ограниченности при г = О. Штриховая линия 'Ф т (') учете потенциала Уз(г). Эта в. ф, обладает следующими свой<< «г«„г стаями: 1) она ограничена в гочке г = 0; 2) ее явный внд на расстояниях г ~ г существенно зависит от потенциала Уз(г); 3) вне области действия Уз на расстояниях рассеяния н в потенциале а) должна совпадать с а„а его радиус должен удовлетворять условию, аналогичному (4) для а„ сравнить с [28, й 6). Получим теперь формулу для сдвига уровня непосредственно из уравнения Шредингера. Исходим из уравнений ( — — й + 0 — В ~0~1 1У(0~ = О, дз — — 6+и +(т — е 1ч =О, Умножая первое из них на Ч'„„а второе — на Ч'н,*, почленно вычитая одно из другого и интегрируя по всему пространству, за исключением шаровой области радвуса и' вблизи начала координат (причем выбираем г( так, что гз « г( « гс), находим (фазы в.
ф. выбраны так, что отношение Ч'~~~(Чгез вещественно, при этом слагаемые с 0 сокращаются). Имея в виду малость сдвига уровня и близость в. ф. Ч"„ (о> и Ч" в области расстояний г В гз, а„вносящей доминирующий нэ вклад в нормирозо шый интеграл, интеграл в левой части соотношения (5) можно заменить единицей, В правой же части можно воспользоваться аснмптотиками волновых функций иа расстояниях гз « г « гс вила Чгкй (г) Чгщ~ (О) н получить (6) в согласии с отмеченным выше обобщением формулы (2). Сделаем несколько замечаний в отношении формулы (6).
') Выбор потенциала Оз(г), конечно, неоднозначен и достаточно произволен. Имея в виду рассмотрение его в первом порядке теории возмущений, можно ограничиться простейшим выраженном (Гз аб (г), где а = 2ийза (т, Заметим, что такой «потенциал», в отличие от одномерного б.потенциала и трехмерной б-сферы, имеет формальный смысл н может рассматривзться только как возмущение, причем лишь в первом порядке. 641 1) Условием ее применимости является выполнение использованного при ее выводе соотношения (4). Оно может нарушаться только в резонансном случае, когда в потенциале (г*(г) имеется «мелкий» (реальный илн виртуальный) уровень') с моментом ! = 0 и энергией Ез — Е'„",'«Д l В этом случае сдвиги уровней уже не описываются формулой (6) и могут быть большимн ") — сравнимыми с расстоянием между невозмушенными уровнями Е~„~, так что может возникать <а! перестройка энергетического спектра в дальнодействуюшем потенциале под влиянием короткодействуюшего центра — зффегг Зельдовича (сравнить с 4.!1 н 9.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
