Galitskii-1992 (1185113), страница 95
Текст из файла (страница 95)
В рассматриваемой модели энергия пЕ-состояния гелиепадобного атома, одинаковая для пара- и артосостояний, представляет сумму энергии Е,.=~ = — Лз/2 основного состояния водародоподобного атома с зарядом ядра Я и энергии Е„ = = †(Š— 1)'/2пе состояния с главным квантовым числом п в поле экранированного заряда Я вЂ” !. Таким образом, энергия и потенциал иоиизации системы в рассматриваемом приближении равны Ез (Л вЂ” !)' (2 — 1)е Еес(г)= — — —,, /„с( )=, ( ) Для 25-состояний атома гелия получаем /ы(Не) = 0,125, что следует сравнить с экспериментальными значениями терм Для ЗЕ-состояний атома гелия согласно модели /ее(Не) = = 556 1Π— ', а экспериментальные значения зр зп зп зен Терм 550 55! 560 557 555 556 /екее.
10' (1) с поправкой Рид- берга 685 684 612 611 580 582 549 Рассмотренная модель основана, по существу, на возможности пренебрежения «перекрытием» в, ф. 1з- и и!-электронав (с 1 =— /). При значениях п Ф 1 зто обеспечивается большим размером орбиты пдэлектрона (напомним, что ге ее пе) и соответственно малой вероятностью нахождения его в области лохализацни 1з-электрона.
Для уточнения результата, учитывающего квазиклассичность движения электрона при п л 1, следует ввести поправку Ридбереа г(е (не зависящую от и, см. [1, з 68!), заменив и на и+ Ль Как видно из таблиц, ее введение'з) су. щественно увеличивает точность, особенно для З-термез, и при рассмотренных выше значениях") и = 2 и 3 Что же касается состояний с моментом ! Ф О, то для них рассмотренная модель неплохо воспроизводит экспериментальные данные и без введе.
ния поправки Ридберга. Это связано с тем, что с ростом ! вероятность нахождения элехтрона в области малых расстояний быстро уменьшается, так как при этом %'! ог~. Соответственно быстро уменьшается с ростом 1 и значение поправки Ридберга. 11.10. Нормированная пространственная часть волновой функции 2з5- состояния имеет внд (а = — 2зе) 1 (гз зз) — (фз (гз) фз (гз) фз (з 1) ф~ (ззИ (!) =,/Е У,з 'аз зрз (г) = ~/ — е "', зр (г) = т У вЂ” (! — — аг) е "Н . (2) Для вычисления средней энергии в состоянии с в.
ф. (1) удобно записать гамильтониан системы в виде суммы трех сла- гаемых 1 а а ( УУ = 1 — — (Л~ + Лз) — — —— 2 г~ гз) г 1 1 1 — (2 — а)( — + — )+ — (Уз+ От+ Оз (8) гз гз ) гз — гз! Так как волновая функция (!) является с, ф. гамилыоннана Вз, то сразу находим ЙУ,= — ба'/8. Также сразу, с использованием теоремы вириала, находим среднее значение 2 — а У а а з 6 И,= — ~~ — — — — ) = — — а(2 — а). а ! г~ г ) 4 Наконец, Йз = К вЂ” У, где з( ),з( ) Цгз Пуз У = ~ ~ ф, (г,) фз (гз) фз (г,) фз (г,) ]г, — г,]' (4) (6) (6) 'з) Экспериментальные значения поправок Рядберга Лю для атома гелия (Б — суммарный спин электронов) равны (1, 5 68]: Ло 0 140' Ло = +О'О!2' Лат 0'0022 (при 5 = О), = — 0,296, Л, = — 0,068, Л, = — 0,0029 (при Я = 1). ") Эдесь опять проявляется отмечавшаяся ранее в задачах главы 9 особенность квазиклассического приближения: при правильном выборе квазиклассической поправки в правиле квантования оно обеспечивает достаточно высокую точность лаже при значениях л 1, характеризует кулоновское взаимодействие электронов, Первая часть его, связанная с интегралом К, имеег очевидн)чо классическую интерпретацию, определяя кулоновское взаимодействие плотностей заряда, отвечающих 1з- и 2з-электронам, Интеграл У определяет так называемое обменное взаимодействие.
Оно является частью кулонозского взаимодействия электронов и имеет чисто квантовое происхождение, связанное со свойствами симметрии в. ф. системы тождественных частиц. Имея в виду выражения (2) для функций фь з(г), замечаем, что расчет К и Х сводится к вычислению интегралов г~г2 е «о рг д(г Д' ,) !г, — гз) =0 з где л, й — целые энола Для них дз д бр — аг, рг, да" дй ° (г~ — гз ~ ь ь ( 1) )~о д даь д5 а интеграл 1,, был вычислен ранее, см, формулу (3) из 11.5. Теперь простое, но несколько утомительное вычисление дает К =- 17а)81 и У = 16и/729 (заметим, что обменная часть кулоновского взаимодействия в 10 раз меньше прямого кулонов- ского взаимодействия электронов).
Таким образом, получаем 5 5 137 Е (а) = Н, + Н, + К вЂ” Х = — аз — — а3 + — а 8 4 729 и минимизация по параметру а = Е,э дает искомое вариационпое значение энергии 5 г 548 1з 5 Е (2'8) = т(п Е = — — ( 3 — †) — — (Л вЂ” 0,150)К (7) 8 г, 3645 7 8 при этом Е,э = 3 в 0,150, и потенциал ионизации рассматриваемого состояния 1(2зЕ) (К 0 150)з Ут 5 1 8 ' 2 (8) Согласно (8) имеем 1 = 0,139 для атома гелия и ) = 0,576 для иона лития 11+ (довольно значительное отличие для атома гелия вариационного значения / от экспериментального связано с тем, что в пробной функции было использовано одинаковое значение эффективного заряда как для «внутреннего» 1зэ так и «внешнего» 2з-электронов, сравнить с !1.6 и 11.8). 551 11.11.
Задача решается аналогично 11.2. Теперь оператор возмущения имеет вид Р= Р~+ Рз, где Р,, описывает взаимодействие каждого из электронов с магнитным полем ядра, см. формулу (1) из 1!.2 (из-за сферической симметрии Я-состояния взаимодействие орбитального тока электронов с ма~нитным полем в первом порядке отсутствует). Усредняя оператор Р с волновой функцией Ч"(го ге) пространственного движения электронов в 2зЯ-состоянии, находим 8педр Р= — СН5), Зпг,с! где 5 = з~ + зз — оператор суммарного спина электронов, а С=~(Р(О .,)( 3Р,=~(Ч(.„О))за(,. (2) Собственные значения оператора !' (в пространстве спииовых состояний) определяют сверхтонкую структуру уровня. Так как 5 = 1, а У = !/2, то 8пейрС ) 1, У = 3/2, Ззгес ), — 2, У=!/2 (У вЂ” полный момент системы); при этом величина сверхтонкого расщепления равна 3 ! У 1 Х 1 8пепрС ЛЕниз=~Ения(У= — ) — Еннз (У= — ) ~= (4) Воспользовавшись для в.
ф приближенным выражением 1 Чг (гь гз) = (ф~ (г~) фг (гз) — фз (г~) Ф (гз)), х/2 где фс г — волновые функпии водородоподобного атома с 2 = 2 для 1з- и 2з.состояний, находим: С = — (( ф (О) ~ + ) Рз (6) (') = — п, з, и, = †, . (5) щеез Численное значение ЛЕнгз согласно (4), (5) оказывается равным Лтнвз = ЛЕнгз/2пй яа 7340 МГц. (6) Как видно. доминирующий вклад в сверхтонкое расщепление вносит 1з-элеитрон. Вклад 2з-электрона в рассматриваемом приближении в 8 раз меньше.
На самом деле его вклад еще меньше, так как в.ф. 2з-электрона в нуле (при г = О) меньше из-за экранировки заряда ядра 1з-электроном, Если для в. ф, ф,(г) воспользоваться значением, отвечающим экранированному заряду 552 Я = 1, то внлад 2з.электрона оказывается меньше уже в 64 раза; прн этом вместо (6) получаем йонг» яв 6630 МГц, что, естественно, ближе к экспериментальному значению. В заключение заметим, что для вычисления сверхтонкого расщепления можно было бы воспользоваться выражением для магнитного поля, создаваемого з-электроном «на ядре», см. 7.24, и учесть взаимодействие с ннм магнитного момента ядра.
11.12. Замечаем, что в пренебрежении взаимодействием электронов, когда 1 / 1 1» э ю 2 ~ от лз о! лз энергия состояния, в котором оба электрона возбуждены, т. е, для них ль» ) 2, выше энергии Е, = — 2»12 основного состояння соответствующего одноэлектрониого нона, что и указывает на неустойчивость системы.
Действительно, в результате взаимодействия между электронами может произойти (авто)ионизация системы, когда один нз электронов переходит в состояние непрерывного спектра, а одноэлектронный ион прн этом оказывается в своем основном, 1з-состоянии. Представляется очевидным, что учет взаимодействия между электронами, носящего отталкивательный характер, лишь повышает энергию системы, так что сделанный вывод сохраняется. Формальное доказательство повышения энергетических уровней основано на соотношении (1. 6). Для этого рассмотрим гамильтовнан 1 2 2 11 (6) = — — (Л~ + Л») — = — — + 2 г~ г, ) г~ — гз ~ Для его с.з. Е,(()), относящихся к д.с., имеем 6Е„677 — — — )О, дй дР )г~ — гз) так что включение ее-взаимодействия повышает уровни. В заключение заметим, что сделанный вывод о неустойчивости относительно автоионизацнн рассматриваемых состояний двухэлектронной системы основывался только на энергетических соображениях.
При этом среди состояний, связанных с элентронной конфигурацией 2рл( с л ) 2, имеется ряд состояний, устойчивых относительно ионизация, так как их распад запрещен законамн сохранения момента и четности. Это — состояния с суммарным орбитальным моментом системы С ) ! и четностью, равной ( — 1)'»' (например, ЗР»-терм для электронной конфигурации (2Р)х, см. по этому поводу 11,72), 11 !3. В рассматриваемой модели энергию состояния трех- электронного атома (нли иона) с электронной конфигурацией (!з)'л1, л ) 2, можно приближенно представить в виде двух слагаемых: Е,— энергии основного состояния соответствующего двухэлектронного иона, сопоставляемой двум 1з-электронам, н Е, — энергии внешнего л1-электрона в кулоновском поле ядра, заряд которого частично зкраннрован двумя !з-злектронамн, определяющей потенциал нонизацнн системы !и = (Е„( = (Л вЂ” 2)г/2пг.
Его численное значение для нижних 25- и 2Р-состояний атома лития одинаково (в рассматриваемой модели) и составляет !г» = 0,125 а. е ла 3,40 эВ. В заключение отметим, что общие соображенвя о характере рассмотренной модели и о возможности ее уточнения аналогичны высказанным в решении !1.9, Имея их в виду, ограничимся указанием значения поправки Ридберга Ьо = — 0,400 для 5-состояний, с учетом ноторой получаем !гг = 5,31 эВ (близкое к экспериментальному значению; для Р-герцев Лг = = — 0,047).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
