Galitskii-1992 (1185113), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Смысл спиновых функций типа в„р и Хт такой же, как н в выражении (4). Нормировка этой волновой функции дает С аС , = 17128пз Вычисление сдвига АЕ(Ю) терма опять приводит к выражению (8) нз 11.17, умноженному на 3, причем значение Ьз следует положить равным Ь(зВ) = — 1/20. Из приведенных выше значений Ьз следует порядок расла. ложения термов; Е (з5) ( Е (Ч!) ( Е (зР) так шо нормальным является '5-терм в согласии с правилом Гунда в отношении значения суммарного спина 5 такого терма "), а также укаазнное в условии задачи отношение Л = 2)3 энергетических расстояний для рассматриваемых термов.
Экспериментальные значения этого отношения для атомов с влек. тронной конфигурацией (лр)з, взятые из (17, с. 138), приведены в таблице Аз 4рз 0,715 Вз 6)зз 1,121 Атом Конф игур, Азксп. 0' 2рз 0,509 5 .з 3рз 0,651 Ы 2 з 0,500 55 5рз 0,908 Сравнить с результатами предыдушей задачи 561 и) Заметим, что выражение (6) аитнснмметрично по отношению к перестановке векторов и, и пз. Аналогично выражение (7) антисимметрично при перестановке внутри фигурных скобок индексов Р и 1, свернуты» с индексами антисимметрнчного теизора зпр и) В рассматриваемом случае 5 = 3/2. Прн этом для системы нз трех эквивалентных р-электронов орбитальный момент Е = О. 11Л9.
Основное сощцяние системы как целого возникает в результате последовательного заполнения нижних по энергии одноэлектронных состояний. При этом плотность электронов л(г) связана с максимальным значением ра(г) их импульса соотно- шением Зз(з (! 2)згз л (") = — Ро (г) = —— 3 из о Зпз ЛзГз йз/з Г х= —, (1) )! ' Здесь учтено, что максимальное значение экергин электронов ! З 2 е = — р — — = сопя! == —— О 2 з (2) ие зависит от г (это обеспечивает минимальность энергии всей системы).
Прн г ) (с имеем ") л = О, а само значение Р определяется из условия нормировки и для нейтрального атома, п (г) Ыу = Л, оказывается равным я = (!В/у)'(з. Найденную плотность числа электронов интересно сравнить с результатом модели Томаса — Фермк. Для этого заметим, что если записать (!) в виде (Х!. 1,3), то для Х(х) получим (при г =-' !!): Х„.,(х)=1- — '=1-О,ЗЗВх; х=г' — ', э=О,ВВВ. и ' ' ь' Сопоставление результатов рассматриваемой модели я модели Томаса — Ферми представлено в таблице Более высокая вблизи ядра плотность электронов в рассматриваемой модели отражает отсутствие экранировки заряда ядра, связанное с пренебрежением взаимодействием электронов друг с другом, носящим отталкивательиый характер. Обсудим основные закономерности, следующие нз рассма. триваемой модели.
!) Так как плотность л(г) нормирована на полное число электронов, равное Е, то функции ш(г) = л(г)/З имеет смысл ") Так что в рассматриваемой модели атом имеет четко выраженный радиус. Однако для «периферийных» электронов эффект экранировки заряда ядра является определяющим и предсказания модели для иих уже несостоятельны. функции распределения вероятностей координат отдельного влек. трона. Очевидно гпо» Л "/, прн этом нетрудно получить, что — л/3 г м 0,982-а/а.
Таким образом, электроны находятся в среднем на расстоянии от ядра, убывающем с ростом 2 как 2-'/а. 2) Плотность числа электронов в пространстве импульсов 873 4п' ч (/ ) Зпа (р'+ 22/Я)а ' (3) сравнить с (1). Здесь Уа(р) — объем в г-пространстве, находясь в котором электрон еще может иметь импульс р. Как видно из соотношения (2), это — объем шара радиусом г (р) = 22 (р + 22//4) (4) Эта плотность также нормирована на число электронов 2, так что выражение ш(Р) = й(р)/2 имеет смысл функции распределения вероятности значений импульсов отдельного электрона. Теперь нетрудно получить 1172/3 г (12)//3 74/3 2 2ду4/3 Таким образом, характерная величина импульса электрона с ростом 2 возрастает как 2ааа.
3) С учетом 1) н 2) для характерных значений орбитального момента электронов имеем очевидную оценку /кар гкар ' Ркар //3 (б) 4) Воспользовавшись теоремой вириала, согласно которой для кулоновского взаимодействия Е = /7/2, находим энергию полной ионизадии атома Я Еноан.нон. = ~ — п(г) 4п~ иг ( и ) л 1,14л (6) г / 3 'а //3 т/з т/з о (интеграл вычисляется подстановкой г//4 = з(пап).
Этот же ре. зультат следует и из соотношения — Е = Т = Лра/2, в то время как в модели Томаса--Ферми Е„, .„м 0,772"' (более высокое значение (6) связано с пренебрежением взаимодействием электронов друг с другом, носящим отталкивательный характер, что понижает полную энергию системы). Заметим, что в пренебрежении электрон-электронным взаимодействием энергия атома равна сумме энергий отдельных электронов е„= — 23/2ла. размещая их по нижним уровням с учетом принципа Паули н кратности вырождения кулоновских уровней, равной 2ях (множитель 2 — из-за спина электрона), имеем "юзх "шзх Ео= ~ 2пзеа = -Утятах ~ 2из=Л, (7) и *~ я ! где пм., — максимальное значение главного квантового числа уровня, иа который еще попадают электроны.
В случае л„„ ~ 1, заменяя во второй из сумм в (7) суммирование интегрированием, находим и ,„ ж (3Л/2)ы'. При этом энергия основного состояния атома согласно первой из сумм в (7) оказывается совпадающей (с точностью до знака) с результатом (б) статистической модели. В заключение подчеркнем, что результаты рассмотренной простой модели атома для основных физических характеристик электронов в ием отличаются от результатов модели Томаса— Ферми лишь численным коэффициентом ! и правильно передают их зависимость от 2. Б связи с данной задачей см, также 11.39.
11.29. Одиоэлсктронные з-уровни определяются квазиклассическим правилом квантования для электрона в самосогласованном поле (У = — гр(г)): г .у'2 (Е„+ <р (г)] Нг = я (и + 7). о По смыслу распределения Томаса — Ферми (в каждом нз нижних по энергии состояний — один электрон) общее число з-электронов в атоме равно удвоенному (с учетом спина) числу занятых уровней, для которых Е, » ~Е „, где Е „ — максимальное значение энергии томас-фермиевских электронов. Для нейтрального атома Е „ = О, и для соответствующего значения л . в (1) следует положить гз = ео. Переходя к томас-фермиевским единицам (Х!.3) н опуская квазикласснческую поправку 7 — ! з выражении (1), получаем для общего числа з-электронов в атоме д! (! = О) =2я„,эх як — ч!2Ь ЛО~ ч / — ох=аХО", (2) Л д о причем численное значение а ии З,б (его можно найти, воспользовавшись для Х(х) простым приближенным выражением нз 11.22) .
Согласно (2) для 2 27 имеем Ж ив 1О, в то время как в атоме юСо число з-электронов равно 8. Для 2 = 64 согласно (2) Д! =!4, а число з-электронов в атоме хаба составляет 12 684 11.21. Энергия взаимодействия электронов друг с другом н с ядром определяется известными формулами злектростатикн (22) и,„„= — 2~ — Д, Г п(г) г (1> 1 '1 ( р (г) р (г') , 1 '1 1 л (г) л (г') Кинетическая энергия электронов определяется из условия, что они распределены (с числами заполнения пз = 1) по нижним энергетическим уровням в самосогласованном поле атома, и равна У = — (Зп')'!' ~ пы'(г) Ж~ 10 (2) (это выражение является непосредственным следствием квази- классической формулы для числа квантовых состояний 2ЬГ 23~ чб~ л (2 )з (2п)з 3 Зпз1г(з Г + ' 11 "(')" (;' а нр.
(3) Вариация функционала Е(п(г)) равна ЬЕ = ~ Ьп (г) ~ — лзи (г) — — + ~, ~ Ы)г ((Зпз)з(з з з 2 ! и (г') и')г' ) ,) (.-") ) и условие, бЕ = О, его экстремальности приводит к уравнению для функции л(г), минимизирующей энергию атома — (Зп )чз пча (г) — — +, г(Г = О. (4) Подействовав оператором Лапласа на обе части этого уравне- ния и учтя при этом соотношсние Ь ) г — г' ) ' = — 4мб (г — г'), которая прн значениях Ь)г = 1 и Ь)г = 4прз, /3 связывает плотность электронов и = ЬУ с р„„„, при этом р = Зрю „!(б).
з 2 Таким образом, энергия атома (или иона) в квазиклассическом приближении выражается через электронную плотность в виде получаем дифференциальную форму уравнения (4) Ь [ — (Зп~)шз я~22 (г)) = — 4я [25 (г) — а (г)). (5) [2 Отсюда, имея в виду уравнение Пуассона электростатики, ЛФ = — 4пр, заключаем, что величина ср = — (Зп ) я описывает 2«2/3 2(з 2 электростатический потенциал атома, а уравнение (5) при этом 8 ц/2 з/2 Ь~р = Зп (для значений г Ф 0) совпадаег с уравнением Томаса — Ферми (Х!. 2).
Из уравнения (4) при г-> ьа следует, что ~ п (г) с)Р = 2, т. е. минимальную энергию имеет именно нейтральный атом, а не ион"). Это доказывает устойчивость такого атома в модели Томаса — Ферми н в то же время означает, что статистическая модель не может объяснить существование устойчивых огрийагедьныд ионов '"): «лишннмд электронам в таком ионе энергетически выгоднее покияуть его. Установим теперь соотношения между величинами Т, (),ч Ег, „д для нейтрального атома. Обозначим через яь(г) объемную плотность электронов согласно модели Томаса — Ферми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
