Galitskii-1992 (1185113), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Гамильтоннан гелиеподобного атома в электрическом поле в пренебрежении взаимодействием между электронами равен Н = Н, + Н„где Нц з имеют вид (1). Очевидно, энергия и поляризуемость основного состояния такой системы получаются умножением на 2 соответствующих величин для водородоподобного атома с тем жс зарядом ядра 2. В этом приближении 3 =9 — — э. е. <э> ав о,те 3 Еч (2) Физически естественным представляется, что более точное значение поляризуемости двухэлектронного атома (нона) может быть получено в результате замены в формуле (2) заряда У на эффективный заряд: (3) Сравнение рассчитанных значений поляризуемости с экспериментальными данными") для 1<5-состояний атома гелия и некоторых двухэлектронных ионов представлено в таблице Не ~ 11' ~ Ве'" Взс Иои 1,4. 10 !9 !О 2 10 69 10 8,6 10 8,8 10 0,049 Согласно (2) Согласно (3) Эксперим.
виач. 0,56 1,1 1 1,36 0,111 0,173 0,196 0,054 ы) Оин взяты из книги: Ч. Китгель. Введение в физикутвердого тела, Наука, 1978, С. 480. 582 причем Б<о> —— — 1/2, а Оо — — — (й /тле ) . Для водородоподобного <0> 9 2 та э 2 атома с зарядом ядра 7е гамильтониаи 11.ЗЗ. Невозмущениый уровень атома водорода с п = 2 является четырехкратно вырожденным (без учета спина электрона). Для расчета его расщепления в однородном электрическом поле воспользуемся секулярным уравнением.
Соответствующие с.ф. Ч',! невозмущенного гамильтониана перенумеруем следующим образом: 200' 2 2)О' 3 1 2)! 1 л = Ч)2! !. )ю )с) )е) )е) прн это)л ч~и„,=Р2)(г) уь., где 1 / г Ч г)зав -г!2ая а)а ! — з ~~ 2! )е, )т)! = а,)2аа н Ч)24ай а шаровые функции Уа,, У! приведены иа стр Зб Легко заметить, что отличны от нуля только следующие матричные элементы нозмущеиия У = езР = ег сов О.йг! 1г!2 — — — 122!= — !, 21~ е ' (1 — — ~Х Х г'соз Ог(г аР = — З)аа Т, так что секУлЯРное УРавнеине, ~1'гь — Ел 6)л(=О, и его Реше.)!) ние принимают вид — Ез — 3!еаяд' О) З. иЕ Ез)!) ΠΠΠΠΠ— Е)2 ΠΠΠΠ— Ез' Ел)! =ЗаавЕ, Е!2 2 — — — Заев~' ° Ез! 2 =Е, л — — О, (1) О) — О) —, )!) !!) В этих состояниях, не имеющих определенной четности, электрон имеет отличный от нуля средний дипольиый момент, направленный 583 Таким образом уровень расщепляется на три подуровня, из которых два являются невырождеиными, а один — двукратно вырожденны)л (с учетом спина электрона эти кратности вырождения удваиваются; заметим также, что в более высоких порядках теории возмущений дальнейшего снятия вырождения не происходит — сравнить с 8.11).
Правильные функции нулевого приближения Ч'(с), отвечающие Расщепленным УРовнЯм Е,',,) ~ Зеаиле, имеют вид )!) Чг!е) 1 г()р(а) ,.зр)с)~ вдоль электрического поля е и равный ~бран. Здесь проявляется специфическое для кулоновского поуенциала случайное вырождение уровкей с различными значениями 1 и с противоположной четкостью, приводящее к линейиоиу эффекту Штарка в атоме водорода (для возбужденных уровней).
Состояния же Чгз 4 с 1= 1, 1 = т! отвечают определенной четности н изме- НЕННЕ ИХ ЭНЕРГИИ В ЭЛСКтрИЧЕСКОМ ПОЛЕ оооо*я. Условие применимости полученного результата (1): б 10 эВ«беавоо «3 эВ, или 2 !02 В/см«го « !О В/см ео, Г Лзйоб' = — Лз ! (Ч (д'г) е тг) йр = 2т З 2пгуз и возмущения У = — е(й'г): (Ч'о)У(Ч'о)=(Чгг)1'(Чгг)=0 (гуг(У(Ч'о)=(Ч'о(У(Чгг)= Ч 2п — Лейн = — 4 Ч 2пхо (у+ но) Выбрав теперь нз условия нормировки пробной в. ф.
на единицу, имеем Е (Л у) =(Ч проб )//о+ 1 (Чгорое) й ко 8 и!/2пмо Ле пай~ (у~+ хо) о а 2 22 2т (у+ но)' 2ту' Послс минимизации по параметру Л получаем 32и2 64те2м уз 8 2т 32(у~+но)(у+хе) Е (у) = ш)пл Е (Л, у) 684 (штарковское расщепление должно быть много большим интервала тонкой структуру, см. 1!.1, но много меньшим разности энергий соседних невозмущениых уровней атома). 11.34. Записав пробную функцию в виде Чгпрое = С (Что + Ч'г), где Чгг = Л(Жг) е т', находим матричные элементы невозмущенного гамильтониана Йо.' о, 2 Л мо (Чго)Но! 18)= г (гуо)оо)Чг)=(Чг)//о)1о)=0 2т ' (~, ! %, )%~) — (Чгг ! 2 )~г)— а последующая минимизация по параметру у (минимум (2) постигается при у = х,) приводит к вариационному значению энергии смещенного под действием электрического поля уровня Ьхо те 2 2 2 Ев, ввр = щ!п Е ()в, У) — д~ (3) 24п 8йзх4 о н полярнзуемости состояния ре, ввр = гле /43 хо "' хр 3! 2 4 — 4 что совпадает с точным реаультатом, см следующую задачу.
11.35. Лля расчета сдвига основного уровня а потенциале нулевого радиуса под влиянием возмущения Ч =- †е,. удобно в качестве системы собственных функций невозмущснного гамильтониана выбрать в. ф., отвечающие также определенным заа. чсниям момента ! н его проекпии 1,. Так как в. ф. основного состояния вузы!=ц/х е "'/ц/2п г (его энергия Е!о1= — Л~х~/2л) отвечает значению 1= О, то матричные элементы возмущения (л) ( — ед'з))О) отличны от нуля лишь для состояний )п) с! = ! и 1, = О. Потенциал нулевого радиуса не оказывает действия на частицу с моментом ! Ф О, поэтому с. ф.
Нв для 1 Ф О совпалают с в.ф. свободной частицы, и при ! = 1, 1, = О они имеют вид (1, й 33] /! ь !е 3(/ г /в(2( г) !0( /3 соз8 г в!пйг — — соз и Г )(!) ~/ 2 пг (, йг (они нормированы так, что (й'!'4л') и!вг) = 6 (й — й') бм.б,.) Вычислив матричный элемент возмущения (й !О(( — аЕв) ) О) = — вг = — ! т! — — д! е "'(ып йг — йгсозйг) 4(г= Ъзи й 5 о / х ейвЕ = -44' ~ЧЧ!— ~~ 3я (й +х)в' (2) согласно (Ч!П. 1) получаем (теперь ~ -ь ~ ~ Лй, причем в сумме вв 1,те 585 по 1, т отлично от нуля лишь одно слагаемое с 1 = 1, ш = О): 1»> Зйпеаид*» ( Гг«Ий те~ Зпй»,) (й' + и')' Зйзн« о Отсюда поляризуемость состояния шез 4В»м' (4) О приложениях этой формулы, после введения поправки на конечное значение радиуса потенциала, к иону Н- см, в следующей задаче.
11.36. Ввиду того, что в. ф. состояния с малой энергией связи с увеличением г убывает достаточно медленно, а возмущение У = — ед'з при этом возрастает, доминирующую роль в сумме (УП1. 1) второго приближения теории возмущений, определяющей сдвиг уровня, играют состояния непрерывного спектра с малой энергией Еь ~ ~Йтхз/ш действительно, для таких состояний матричные элементы возмущения (й( У(0), в которых определяющую роль играют большие расстояния г я-', особенно велики (по мере увеличения энергии их значения начинают уменьшаться из-за осцилляций в, ф.), На большйх же расстояниях волновые функции рассматриваемых состояний достаточно просто связаны с в.
ф. свободных частиц. Так, нормированная на единицу в.ф. невозмущенного связанного состоянии с моментом 1= 0 вие области действия потенциала лишь дополнительным множителем С о отличается от в. ф, в потенциале нулевого радиуса, см. предыдущую задачу. Волновые функции непрерывного спектра для медленных частиц с моментом 1чь 0 иа расстояниях г ) гз фактически совпадают (в отсутствие возмущения) с в.ф. свободной частицы (из-за наличия центробежного барьера, мало проницасмсго для медленяых частиц, оин не «чувствуют» потенциала центра) н описываются формулой (1) из предыдущей задачи. С учетом высказанных соображений очевидно, что сдвиг и полярнзуемость мелкого з-уровня в короткодействующем потен.
циале определяются непосредственно формулами предыдущей задачи для потенциала нулевого радиуса введением в них дополня. тельного множителя С с1 так, поляризуемость описывается вы° 2 ражением те Ро С 40»н4 586 Подчеркнем, что отмеченная выше доминирующая роль больших расстояний в матричных элементах (й(еРх(0) для состояний с малой энергией в случае мелкого з-уровня (наглядно видная из формул (2) и (3) предыдущей задачи) проявляется в расходимостн выражений для Еа" н Ве прн и->О. з! Сделаем несколько заключительных замечаний. 1) для з-состояния частицы с малой энергией связи в короткодейсгвующем потенциале два параметра, н и С >, опреде- 2 ляют большинство его физических свойств, проявляющихся во влиянии на него внешних электрических и магнитных полей (см. 1!.46 и 11.66).
Они же определяют и рассеяние медленных частиц, йгз « 1, на этом потенпиале. В приближении эффективного радиуса (си. [1, 6 !ЗЗ), а также задачи 6 3 главы 13) 1 йз Д с!й 5, = — — -1- г, —, па 2 при этом параметры низкоэнергетического з-расссяиия — длцна рассеяния из и эффективный радиус взаимодействия г, — свя. заны с х и С. соотношениями 2 2Сиа и(! + Сзе) Ско 1 3 го= кСио (2) Рг > з лш гз)'й . 2 4 2 Отиеченный характер зависииости поляризуемости от значения момента связан с уменьшением проницаемости дентробсжного барьера с увеличением !.
для потенциала нулевого радиуса Сие = ! и гс = О). ( 3 2) В отрицательных атомных ионах внешний электрон с известной точностью может рассматриваться как находящийся в короткодействующем потенциале неатра.тьиого атома. На основе такого подхода (без какой-либо детализации состояний «внутренних» электронов!) можно описать свойства иона, определяемые этим внешним электроном. Лля иона Н-, воспользовавшись значениями и = 0,235 а. с. (энсргия связи электрона 0,754 эВ) и С о 2,65, согласно (!) находим (Зз = 2!6; сравнить с результатом вариацианного расчета ()» = 206, См.
также 13.40 о рас. сеянии медленных электронов на атомах водорода. 3) Отистим, что доминирующая роль больших расстояний в значениях поляризуемости состояний с малой энергией связи сохраняется как при 1= 1(при этом ))г ! пах, см.следу зщую задачу), так и для ! = 2 (!)г=» ««к-'), Для ббльших значений момента поляризуемость определяется уже расстояниями г ( г в зависит от конкретного вида потенциала и волновой функции иа таких расстояниях, при этом порядок ее величины ! 1.37. Расчет поляризуемости аналогичен проведенному в двух предыдущих задачах, Теперь волновая функция невозмущенного связанного состояния вне области действия потенциала, при г ) гз, имеет вид (для 1 = 1): Ч'к„11 = 2кС„, К~э, (кг) уг (и), цl пг где Кт — функция Макдональда, С„г — асимптотической коэффициент аз), являющийся, как и энергия В1 — — — д мз/2ш, важ- 10) 2 з ной характеристикой состояния частипы.
Как и з 11 36, в качестве волновых функций состояний непрерывного спектра можно выбрать в. ф, свободных частиц"') (2) т 7 — У , з(йг) Уг (и). Приведенные в. ф. совпадают с точными лишь на больших расстояниях г ) гз (вне области действия потенциала). Однако матричные элементы возмущения (Ит [ — ед'я[я1т) при Й ~ к определяются именно большими расстояниями г 1/я. Прн вычислении матричного элемента (й(т[з[х!гл) интегрирование по углам проводится элементарно. а значения радиальных интегралов, имеющих вид ~ гзКз(з(нг) У (йг) Ыг, приведены в [33, с. 707).
о ") Асимптотика в. ф. ту1о> яз ц/2я С„е "'1' (г при г — ео. Как и в случае 1 = О, асимптотнческий коэффициент связан с параметрами низкоэнергетического рассеяния частицы с моментом 1, определяющими разложение эффективного радиуса й с(26 — — +г 21 э! 1 о г 2 ' соотношением Сяг — — — г1х + ( — 1) (21+ 1) + О ((мгз)™). При этом г1< О н Сзг чоха ' прн н-эО для значений момента 1) 1. м) Лля медленных частиц, йгз « 1, в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
