Galitskii-1992 (1185113), страница 102
Текст из файла (страница 102)
ф. непрерывного спектра прн произвольном значении момента 1 вне области действия потенциала существенно отличаются от волновых функций свободной частицы лишь в резонансной волне, см. й 3 главы 13 (в данной задаче это р-волна), Однако для резонансной волны матричный элемент возмущения в рассматриваемой задаче равен нулю. 588 Е1, и! 12! так что поляризуемость таких состояний 2 2 с » х' (3) напомним, что С„! «о х, см. примечание на с. 588). ( 2 Для состояния с ! = ! и !» = 0 отличны от нуля уже двв матричных элемента возмущения, отвечающих значениягл момента 1=2 и 1=0,для которых 4Схй (й +Зх) )200(г) х10)('= 3 (йз+ л), 04С й ! (й 20 ) г ( х 10) )' = Вычисление интегралов, аналогичных для Е,, позволяет най- !2! ти изменение энергии рассматриваемого состояния и его полярнзуемостгь которая оказывается равной ()! о=уй! ! (4) (в состоянии с 1, = 0 область локализации частицы более «вытянута» в направлении электрического поля, чем в состояниях с 1, = ~1, так что оно оказывает на частицу более существенное влияние).
1 1.38. Характерной особенностью рассматриваемых состояний, определяющей большие значения их поляризуемостей, является близость 25- и 2Р-уровней гелиеподобных атомов (ионов). Соответственно в сумме (тг!!1, 1) для сдвига уровня под влияние л возмущения г' = (гл + г»)М' зо втором порядке доминирующую роль играет одно слагаемое, так что Е!22з — — (1(23]Ю яи!(2Р, Е 0((г + г )(25)(2 2 ! 2 Е$0А — Е!е! (1) (символ мультиплетности пока опущен). Для связанных состояний частицы с ! = 1 и проекцией момента иа направление электрического поля 1» = ш! отличен от нуля лишь один матричный элемент возмущения, для которого 1ОС2,да ((й, 2, ~! (г(х, 1, ~1)!'= б з з л.
Соответственно сдвиг уровня во втором порядке теория возмущений оказывается равным йш (' ((а, 2, ~1 (еЖг(х, 1, ~!) (' гпе~с~~! Л» гз+ х' йбхл е В состояниях 25 и 2Р один из электронов находится в основном 1зъ а другой — в возбужденном 2з- нли 2р-состояниях. Так как «возбужденный» электрон находится в среднем на существенно больших расстояниях от ядра, чем «иезозбужденный», то для вычисления матричного элемента возмущения в формуле (1) можно воспользоваться следующими приближенными выражевиями для волновых функций (одинаковыми как для сннглетных, так и для триплетных состояний): т(г~ ф! ( н л)ф (, 2 — 1), »Р ф (1, л)ф (гз, 2 — 1) (2) (эти в.
ф. не имеют определенной симметрии, что соответствует пренебрежению обменными эффектами). Одиочастичные волновые функции в выражениях (2) — соответствующие кулоновские в. ф., причем для «возбужденного» электрона заряд ядра выбран равным Я вЂ” 1, что отражаег его частичную экранировку !з-электро. ном, сравнить с !19. Воспользовавшись известными выражениями для кулоновских в. ф., находим матричный элемент возмущения ((2Р, Л«=0(а, +а»)28)(ж .
3 (вклад в него вносит лишь 2-й, «зозбужденныи» электрон) и согласно (!) получаем !з> ы (3) Воспользовавшись теперь экспериментальными зиа шниями для разности энергий 28- и 2Р-состояний, приведенными и условии задачи, находим значения поляризуемостей (2зЯ) = 428, йы, (2'Я) = 813; , (2«Я) = 54, Р~ ы (2'8) = 95, В заключенве отметим, что аналогичная близость энергетических уровней является типичной для многих атомных систем и объясняет большие численные значения их поляризуечостей. Так, для основного 2»8-состояния атома лития Езз = 5,39 эБ, а для возбужденного 2»Р-состояиия Езг = 3,54 эВ.
Опенка поляризуемости согласно формуле (3) с заменой в ией У вЂ” 1 на 2 — 2 (пз-за наличия двух !з-электронов) дает ()ы яэ 2б5 а.е. (экспериментальное значение составляет 162; основная причина более завышенного значения 5 согласно (3) связана с рассмотрением «возбуждеииого» электрона как движущегося в поле заряда ядра, экранированного на 2 двумя (з-электронами: для 590 атома лития экранировка проявляется не так сильно, что видно из значения поправки Ридберга Лз = — 0,40). 11.39. Для оценки полярнзуемости томас-фермиевских (т.-ф) электронов рт ф, определяющей их нндуцированный электрическим полем дипольный момент 6 = ()т ф Е, заметим, что хотя приведенное соотношение строго справедливо лишь для достаточно слабого поля, сно тем не менее дает правильный порядок величины а( и з случае сильных полей.
Но при значениях напряженности поля ап -д', ф (здесь Р, ф Зе/г ф — харакз териое значение напряженности атомного электрического поля в области г г, ф пи/2, где в основном локализованы т.-ф а!3 электроны / смещения электронов под действием внешнего поля будут порядка г,, так что при этом а( Зегт-ф и лег~ -ф — =г.:ф -пи/'2=2 а е (!) З' Яе/гт ф Для оценки числового значения коэффициента в полученной зависимости р „ф — — у/7 рассмотрим статистическую модель атома в пренебрежении взаимодействием между электронами, сравнить с !1,19.
Теперь при наличии слабого электрического поля в соотношении л(г) = ро(г)/Зя для ро(г) имеем 3 2 ра (г) = (2 (= — Гг — —,)1 Соответственно ( ) па(г) 1 22(/! г) ) р Зг/(гЮ где па(г) = 22'(! — х)ага/9пахатз — электронная плотность в не- возмущенном атоме, х = г/й, а значение )! = (!8/Х)ыа остается неизменным. Вычисление дипольного момента") й= — ~ гп(г) а(г" = — ~ г(гй') — а6' = 3/! ( гла(г) 22 з /г — г дает значение поляризуемости в рассматриваемой модели 68 "-ф= 182 (2) ") Сравнить, например, с вычислением интеграла 1 в 7.22.
891 Аналогичная (1) оценка для внешних (валентных) электронов, находящихся на периферии атома (г аа), где характерная величина поляУзт - е/ав Кб'т 0, дает ()эал ав ! а. е., э з так что поляризуемость атома определяется валентными электронами. Отметим, однако, что типичные значения поляриэуемостей атомов обычно велики и составляют — !Π†: 100 а.е., см. в сВязи с этим 11.38.
11.40. Стационарные состояния молекулы в отсутствие элеи. трического поля описываются волновыми фуикциямн (сравиить с 1127, А=Я=О) ЧШ)„„=Ч,„„(0! ~г й,, ...)Ч,„.„,(/7)Ч„К (О, 9) (П (я, — координаты и спиновые переменныс электронов), а их энергия Е„~,~к — — Ел! ! + Дм„ол (о + ! /2) + В К (К + ! ). Матричные элементы возмущения У = — бд' удобно вычислять в два приема: сначала проинтегриронать по координатам электронов и относительному расстоянию Р между ядрами при фиксированной ориентации оси молекулы, а затем уже выпал- нить интегрирование по углам О, гр, определяющим направление этой оси.
В случае диагональных по квантовым числам л, о матрвчных элементов первое интегрирование дает (Чгзл, лЧгкол, э)' б'Рэл, зЧгкол, г зт = б = лпз пю = !(/В (2) (направление вектора б вдоль оси молекулы очевидно из соображений симметрии). Направив теперь ось я вдоль электрического поля е и учтя, что вращательная в. ф. Ч",в лн (при Л = = О) является шаровой функпней Улн(0, ф), находим, что матричные элементы возмущения между в, ф. (1), относящимися к данному уровню молекулы (т. е.
отличающимися лишь значениями М), равны нулю, так как ~ созОУкм,ркмпР= О. Соответственно в первом порядке теории возмущений уровни молекулы не сзлещаются. Так как а случае однородного поля проекция момента на направление вектора Р' является «хорошим» квантовым числом, то в, ф, (1) являются правильными функциями нулевого приближения и можно использовать теорию возмущений для невырожденных уровней.
Прн этом поправка второго порядка т" зяцзг ж* леКМ У, Е)о> Е!о! 592 где для краткости записи использован один индекс й для описания различных состояний молекулы. Теперь заметим, что в сумме (3) можно ограничиться лишь такими состояниями ) й'), которые отвечают исходному электронному терму и отличаются только вращательным квантовым числом К.
При этом в формуле (3) Еьш! — 87, '= В, (К (К+ 1) — К' (К'+ 1)), а вклад состояний с другими квантовыми числами существенно меньше из-за гораздо большей величины энергетических знаменателей, так как Е», « Е... « Е„,. Учитывая это обстоятельство и соотношение (2), выражение (3) можно записать в виде щ! »(»Е» ь"' ! (К'М ) соз О ( КМ) ( з "хм= В.
~.К(К+,) К(К+!) = ~т»Ю» (К (К + 1) — ЗМ') 2В»К (К + !) (2К вЂ” 1) (2К + 3) ' (4) Здесь исполыован результат задачи 8.11. Так как волновая функция состояния )КМ) является шаровой функцией, то сумма (4) аналогична вычисленной в 8.!! и получается из нее с помощью замен 1-ь К, т -ьМ, йз/2/ -».В,.
Б частности, для К = О имеем е!'„' - - т'е'/бв,. Заметим в заключение, что для двухатомных молекул с одннаковымн ядрами днпольный момент (2) обращается з нуль и влияние электрического поля на уровни таких молекул требует специального рассмотрения. 11.41. В линейном по магнитному полю приближении возмущение гамильтониана атома водорода имеет вид 1' = рв»е(! + 21»), где рз — магнетон Бора, а ось з направлена вдоль вектора »а Так как операторы !» и »» коммутнруют друг с другом и с гамильтонианом, то с.
ф. невозмущенного гамильтоннана Ч'»!ту» (см. (14г.3), х, — спнновая чагть в ф) являются правнльиымн функциями нулевого приближения и поправка первого порялка к уровням энергии равна в~~!! =(нП»» ) )г) пП з ) =)»вМ(! -)-2з ). (1) Как видно, 2л'-кратно вырожденный уровень расщепляется на 2п -1-1 компоненты (напомним, что 1 = О, ~1, ..., ~-(и — 1), а з, = ~1/2), крайние из которых иевырождениые. 393 Включая в матрицу возмущения также и невозмущенные сверх- тонкие сдвиги Лм г, как обычно приходим к секулярному урав- нению Ло Е (О Нв~ 0 0 )гвЖ Л! — Е1~! 0 0 0 О Л! + )гвйр — Е!'! 0 0 О О Л, — )г р!у — Е!!! =О, (1) ") Мы ограничились линейной по полю Ж его частью, при этом взаимодействием магии ного момента протона, ввиду его малости (рр/р, гп,/лгр 10 '), с магнитным полем пренебрежено. з4) В частности, !три этом ое лХ! 1о),о 2ошг,о Условия применимости результата (1) предполагают, что расщепление уровня ЛЕз„„-— 2првуд много больше интервала его тонкой структуры ЛЕ,з, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
