Galitskii-1992 (1185113), страница 94
Текст из файла (страница 94)
2) Формула (6) применима, вообще говоря, и в случае не- центральных потенциалов (7»(г). 3) Обратим внимание на то, что знак сдвига уровней определяется зи«ком длины рассеяния а, (а не потенциала (7«(г)). Лля отталкивательного потенциала длина рассеяния всегда больше нуля и уровни, естественно, сдвигаются вверх («выталкиваются»), Для потенциала притяжения возможны оба знака а, (в случае «мелкой» ямы а. ( 0 и уровни сдвигаются вниз). 4) Отмеченный выше прием учета влияния «снльиого» короткодействующего центра 0»(г), основанный на предварительном рассмотрении его как «слабого» возмущения с последующей заменой борновской длины рассеяния на точну)о а., является общим и может быть применен и в тех случаях, когда исходная формула отличается от (1), как, например, в задачах 4.27 н 6.6!.
5) Обобщение формулы (6) на случай отличных от нуля орбитальных моментов частицы дано в 13.36, а теория возмущений по длине рассеяния для состояний непрерывного спектра рассмотрена в !3.37. 6) Отметим, наконец, что формула (6) справедлива без каких-либо ограничений на вид взаимодействия на малых расстоя- ') Наличие в потенциале (7»(г] своих «глубоких» уровней я ! э с энергией (Еэ) Д )шгэ ие приводит к каким-либо ограничениям в применимости формулы (6) (такие уровни, если они существуют, под влиянием потенциала (7, (г) также испытывают лишь небольшой сдвиг).
") Если область притяжения е потенднале (7»(г) отделена малопронипаемым барьером, то сдвиги уровней «дальнодействующего» потенциала всегда малы. В частности, это имеет место для состояний с отличным от нуля орбитальным моментом, где в роли такого барьера выступает центробежный потенциал, см. также 11.74. 642 пнях. Оно может даже не носить потенциального характера и, в частности, приводить к неупругим процессам (как, например, в случае р р-атома, для которого возможна аннигиляция в пионы), При этом, однако, длина рассеяния а, становится комплексной величиной.
Комплексным оказывается и сдвиг уровня. При этом его мнимая часть определяет ширину уровня, так как при включении неупругого взаимодействия рассматриваемое состояние становится уже кзазистаниоларны«2, см. задачи 5 5 главы 6. 11.5. В пренебрежении взаимодействием между электронамн энергия основного состояния системы Е!о = — Я, а его вол- !О! 2 новая функция имеет вид 'Р!с! = — '22 ехр ( — 2 (г, + г,)]. Поправка первого порядка к энергии за счет взаимодействия электронов друг с другом Для вычисления интегралов вида 22«222 «42! «1«~ Ж~Ж~ ! (г ) а (гз) 2 г! + 22 — 2г«г« (2) удобно сначала при фиксированном г, проинтегрировать по уг- лам вектора г, в сферических координатах, выбрав направление г, за полярную ось. При этом < 4п Г! )Г2 г, 4п «2) Г! г, «2 222 з!и 646ЬЬр ! г! 22) о«2~+222 — 222г созО и выражение (2) принимает вид г, !6п ~ ( (г!) г, ~ 5 (гз) г2 2«122 г«г! + о о г.
«- ) *|,«, ~ ! |,! 1«; «ч~ о с 543 Ео =) р ) ч'с!ю (г«, гз) !' Н/! (ут —— !г, — г,) Е' Р зл» „о г',г,'Лг!Нг,ба!ци, = — ') е (1) г, + гз — 2г,гз По формулам (2), (2') нетрудно найти "' Р" Ы =. *"+й*+зй (г~ — г( ' з аз(Р(а+())з (3) и согласно (!) получить (положив в (3) а = 6 = 22) (4) При этом потенциал ионизации оказывается равным !о=Ее и Ео= ! 5 о о,ы о 2 8 (5) (здесь Ек и = — 392 — основной уровень соответствующего одноэлектронного иана).
Заметим, что полученные на основе первого порядка теории возмущений по взаимодействию электронов друг с другом результаты можно улучшить, ие производя фактически дополнительных вычислений. Для этого изменим «разбиение» гамнльтоииана системы на Вг и возмущение, выбрав в невозмущенном гамильтоииане вместо заряда Я ядра некоторый эффективный заряд Я,е, т. е. положим ! /! ! Н = Нз + Уэо гго = — — (Л~ + Лз) — 7эе ~ — + — ), 2 г~ ! г'1 ! У,ф= — (Л-З,ф) ~ — + — г!. * ( г, — г,( При этом выбор Я,е ( Е, отражающий взаимную экранировку электронами заряда ядра, приводит к «уменьшению» возмущения У,е по сравнению со случаем 1'= 1/)гг — гг~, использованным в (!).
Иа физических соображений представляется естественным такой выбор значения 2,ы при котором поправка первого приближения обращается в нуль, т, е. У,Е = О. Так как тепеРь Е,з = — 3~~Е, а !О! <о! 1, = — гз- — г+ — (6) 1, 5 25 2 8 256 Ео = — (х — — 6) 544 (последнее соотношение следует, например, из теоремы вириала, см.
также 1!.1), то из условия Р,е О находим 2«е Е— — 5/16 и получаем си" о" ни Иаи 20,4 23,! 24,6 388 390 392 735 737 739 71,4 74,0 75,6 150 152 !54 Согласно (5) Согласно (6) и 11,6 Эксперим. значение 1, Заметим, что поправки второго приближенна к полученным результатам (4), (5) и (6) по параметру теории возмуптеннй Е ' и Е,,„' соответственно не зависят от У.
Поэтому видная из представленной таблицы «слабая» зависимость от Я разницы экспериментального н рассчитанного значений 1р вполне естественна. 1 1.6. Среднее значение энергии двухэлектронного иона в состоянии с пробной волновой функцией а' агирре = ехр! — а (г~ + ги)), и а == 2»4» легко найти, если !) записать гамильтоииан системы в виде "=-(~'+ —,)-И' ' — ')— — (Š— а) ( — + — )+ ! 1 1 2) учесть соотнопгеиие (' и — 'Л+ — ) и- а т — иг а -иг 2 гг' 2 3) воспользоваться значениями интегралов — е д)г — и ~ ) Чгироо)и — -и =— — 2«г и и г а'' 3 ' Тг:г1= 8 (вычисление второго из иих см. в !1.5).
В результате находим Е (а) = а (а — 23 + 5/8). !3 В. М. Гиииииий и др. 545 (сравнить с (4), (5); ааметим, что «новое» значение Ез созна\и! дает с результатом вариационного расчета в 11.6). В таблице представлено сравнение результатов расчета потенциалов иоиизации !и в эВ с экспериментальными данными для ряда двухэлектронных ионов (атомная единица энергии равна 27,2 эВ) Минимизация по параметру а дает (при а = 2,е = Л вЂ” 5/16) искомое вариационное значение энергии основного состояния двухэлектронного атома (или иона) 5 чя Ею, вар = и!и Е (а) = — ( 2 — — ) !6) и потенциал ионизации системы 1 ! 5 25 1з = — — 2~ — Е = — 2~ — — 2+ —.
256 ' (2) и' йГ= )) " гж) '1иг!и(11"з""зиззз ~ 80 ф(и)!зди (1) о Заметив, что 1 д д Ьзф (г, + гз) =- (и — г~)з ди , — (и — г~)з — ф (и), ди находим среднюю кинетическую энергию электронов в рассма- триваемом состоянии: и ф* (и) з! — (и — г ) — ф (и) г дг! ди = д 2 д 2 зди ' ди о гиз дз из д ч = — ~ ф' (и) ~ — — + — — з! ф (и) Ыи. (2) 'ь30 ди' 6 г(и з о Т=2Т х о Сравнение с экспериментальными данными см.
в таблице из предыдущей задачи. Лля иона Н- согласно (1) имеем Е,, „, = — 0,47, что выше энергии основного уровня атома водорода, размой — 0,50, и поэтому нельзя сделать вывода о существовании устойчивого (относительно автоионизации) иона Н вЂ”, см. по этому поводу 1!.8. 11.7. Для решения задачи запишем Е = ('1' г а(Й~Ч" р з) в виде интеграла по переменной и. Варьирование получающегося функционала по ф'(и) позволит получить оптимальный вид в. ф.
ф(и). Для преобразования исходного интеграла по координатам электронов удобно воспользоваться сферическими переменными н, сделав замену переменной гз = и — гь проинтегрировать по гь Нормировочный интеграл принимает вид Энергня взаимодействия электронов с ядром описывается выражением ее И У „„= 2П = — 22 ~ [ф (и)]г ~ (и — г!) г! аг! е(и= — — [ ф (и) [~ Ии, (3) о а энергия взаимодействия электронов друг с другом может быть записана в виде Г [' е()г, г( ее ]) [ араб] ]г — г [ г ь,«1 а/2 е =2 ~ (ф(и)]з ~ (и — г,) г, дг! г(и= ~ — [ф(и) [ г(и (4) 96 о о о (так как ф(г~+ гв) не зависит от углов, то интегрирование по углам в исходном выражении (4) может быть выполнено так же, как н в интеграле (2) из задачн 11.5).
Вид оптимальной функции ф(и), для которой Е= Т+ + Ое вл + (!ее пРивимает минимальное значение, Удобно искать из условия экстремальности функционала Š— Ее, ее»М. Здесь Ее, р играет роль иножителя Пагран а; введение слагаемого Ее,.»У позволяет прн варьировании не «заботиться» о нормировке в, ф. ф(и), Воспользовавшись выражениями (1) — (4), из условия обращения в нуль вариации рассматриваемого функционала при варьировании функции ф*(и), приходим к уравнению (сравнить с варнацнонным принципом для уравнения Шредингера в [1, э 20]): [ 5 г( Г 255 1 + +[52 ) +Ее,вар1ф(и)=0.
аиг и е(и [, 16) и Отсюда заменой функции ф(и) = п-в!»Х(и) (которая предло. лагает, что т(0) = О) получаем уравнение !5 / 25 к 1 Х" — — К+ [52 — — ) — Х+Е 2=0. (5) 4ив [ 16) е,в»Р Оно имеет внд радиального у, Ш, (1Ъ", 5) (с Ь = гл = 1) для ча- 5« 5'т агнцы в кулоновском потенциале — а/г с а = — (Х вЂ” †) н 2 1, 16) 18" с «моментом» ! таким, что !(!+ 1) = 15/4, или") ! = 3/2; при 1 этом Е = — Е Спектр собственных значений з ! 2 О,ззр' аэ 25 (5 — 5/16)э пг! 2 (пг + ! + 1)э 8 (пг + 5/2)з и минимальное из них, с л, О, определяет вариационвое зиа. чение энергии основного состояния системы на рассматриваемом классе пробных функция Е, „, = 2Е, „,.
= — (5 — 5/16)'. (6) При этом соответствующая функция, минимизирующая значения Е, имеет вид (согласно (5) она — радиальная кулонозская функция для ! = 3/2 и и = и, + !+ ! = 5/2) !! = Си ч'е" ~щ", или Ч'с — — — Л„р ехр ( — Л,ф (г! + гз)), (7) где Вэф = Л вЂ” 5/16. Эти результаты и доказывают утверждение задачи. 11.8. Расчет Е = ~ ~ зр (гэ, гз) Йзр (гэ, гз) з(УЗ з/Уэ сводится к вычислению нескольких интегралов, которые выражаются через следующие четыре: з-тгз/У )з з — тг (У 8п ! 1 — г 4н уэ ' З! г уэ е "гбе р'Л'= — ~ (ре з )(Че р') Л'= (и + р)э и интеграл (3) из задачи 11,5, В результате вычислений получаем Е (а, 5) 2С' 1 — 2 (а + 6) + — (аэ + В') + — + + ан пэ()з 2 а+ 6 (а+ 6)з оЗЯЭ пз(!Э + 20, + 64(а(! — 5(а+ Д)] з ~, (1) где 2С' = 11+ 64азбз/(а+ ())э] — э из условия нормировки проб.
ной волновой функции. При значениях а = 6 = 2 в 5/16 иэ (1) следует результат 11,6, Однако возможность независимого варьирования параметров а и 6 позволяет его уточнить, В частности, для иона Н-„ выбрав и = 1 и 6 = 0,25, находим Ез ззр — Ет — — 0,512, (2) ц) Для другого значения, 1 = — 5/2, волновая функция )Сто иью не удовлетворяет граничному условию в нуле. 548 что ниже энергии основного состояния атома водорода, равной -1/2, и тем самым доказывается существование устойчивого иона Н- (прецизионный вариационный расчет дает Ее = = — 0,528) . 11.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
