Galitskii-1992 (1185113), страница 91
Текст из файла (страница 91)
в предыдущей задаче). Так как й(а)= й)(2з+1), то полученный результат (3) означает, что лс лз = й, лз, т, е. в случае различных значений проекций спина, а, Ф аз, между нлотностнмн частиц в различных точках нет корреляции. В случае ас = аз ситуация иная. Теперь матричный элемент (2) отличен от нуля, и равен 1 в следующих случаях: йз ( йз( ~ дрз "з "з ( "з( ~ йр' "з ( йс ! - йр "г йз ( йз ) ~ йр У штыная зто обстоятельство, находим л (гс, а) л(г„а) = — — сс 1/з ) Зсс (<Ьр ) зс ( Зр ( аз ()Зр Далее, воспользовавшись соотношением — ' Х "'--'(Е "- Е "")- 1Ь)~ар )ь)<зр 1 ~ сасг = б(г) — — з е 11с)<зр и вычислив интеграл (в сферпчессснх координатах с полярной осью, направленнон вдоль ссектора г): Е '"'- Р,з, з У (з)пйр ес г ) ес г с( й ( — сс ° соз/С .с' (2л)' ) 2л'г' ( г " Р' ) ' 1ь1< зг а~ар приводим выражение (4) к виду (г = г, — г,, л(а) = й/(2з+ 1)) 1 ( Шп йрг л (г, а) л (г, а) = л (а) — ( — — йр соз й г~ .
Отсюда получаем корреляционную функцию [з(п йрг — йрг соз йрг) 4лсл (а) г' Обсудим полученные результаты. Характер установленных корреляций плотностей частиц физически весьма нагляден. Тождественные частицы с различными значениями проекции спива ведут себя как различимые частицы, и отсутствие корреляций вполне естественно.
Знак корреляционной функции т(г, а) ( 0 в случае одинаковых проекций спина — также естественный результат, отражающий «отталкивательный» характер обменного взаимодействия для фермиоиов, при этом для значений г = =)г~ — гг)-» со корреляция исчезает В заключение заметим, что корреляционная функция т(г) плотности числа частиц вообще (безотносительно к значениям проекций спина) совпадает с т(г, о). 10.32.
Оператор взаимодействия между частицами в представлении чисел заполнения согласно (Х. 4) имеет вид б = — 1 ~ Ч" (г,) Ф + (г,) (1 ( ) г, — г, ) ) Ч" (г,) Ч (г,) бзг, багз. (1) 2,) Воспользовавшись разложением Ч"-оператора по плоским волкам (оно приведено в 10.28), преобразуем выражение (1) к виду (2) ('а ь бать,"ь,бзо тоа:ь.ь~ где матричные элементы потенциала взаимодействия ()~~.ьь = — ~ ~ (1 () г, — г )) ехр (1)(й — йз) г, + + (йз — йз) гг) ) г( г~ и гз, В первом порядке теории возмущений имеем Ео = Ео" + Ео" = (Чо ((7( Ч"о) (3) где ) Чта~ — в. ф. основного состояния системы невзаимодействующих частиц, в котором все частицы имеют импульс р = бй = О. При этом Е1,1 — — О, а матричный элемент а (Ч о ) ба,ба,па,б ь ) Ч'о) отличен от нуля лишь в случае, когда все й = 0 и равен Л" (Л' — 1) ян № (ввнду И ~ 1).
Поэтому Ео — — ()ом",Уз/2, Так как радиус )т потенциала У(г) предполагается, естественно, имеющим микроскопические размеры, так что 526 Р « Л Унта, то при вычислении интеграла и (г, — г,) йзг, = ~ ~ ~ и (г, — г,) й г, = ~ (/ И йзг = й, (3') М можно интегрировать по всему пространству н он оказывается 00 не зависящим от гь В результате получаем (/во =(/с/У и окончательное выражение для энергии 1 - (Уз 1 Š— (/о — = — л(/~(У, й = ДГ/У.
2 У 2 (4) Оно имеет простой смысл, представляя собой произведение Гти/У вЂ” средней энергии взаимодействия любой пары частиц друг с другом прп нх равиовероятном распределении по объему (и = 1/У) на общее шсло Ды/2 нар. В заключение сделаем следующее замечание. Полученный на основе теории возмущений по потенциалу результат (4) предполагает, что взаимодействие между частнцамн является достаточно слабым, так что выполняется условие н) Еа « ЬзЯ/лт. Однако с помощью теории возмущений по длине рассеяния (см.
4.29, 431, 11.4) его легко обобщить на случай сильного отталкнвательного и) потенциала с малым радиусом действия. Имея в виду отмеченный в 1!.4 способ учета короткодсйствующего потенциала и замечая, что (/а лишь множителем, (то = 2пйзаа/)с (р = т/2 — приведенная масса частиц), отличается от длины рассеяния аи в борновском приближении, можно утверждать, что формула (4) для Еа, выраженная через точную длину рассеяния иа, остается справедливой и в случае сильного коротко- действующего потенциала, когда и, «(и)-'т', дальнейшее исследование вопроса — см. 128], й 26 (для бозе-газа) и 5 б (для ферми-газа), 10.33. Задача решается аналогично предыдущей.
Оператор 0 взаимодействия частиц друг с другом определяется приведенными в ней формулами (1), (2), в которых следует только снабдить операторы йи, йй спиновым индексом и = — в (т,е.заменить ак на ан и и т. д., а в суммирование по й, включить и сум. ка На а мированне по о,, при этом о, = о, и оа = оз).
") Заметим, что Ое (Га)тз, где (/а, Й вЂ” характерная величина и радиус потенциала парного взаимодействия частнц. 'з) Именно отталкивательный характер взаимодействия обеспечивает устойчивость газообразной фазы при температуре Т = О. 527 г=г, — гз, )(=(гс+гз)/2, преобразуем рассматриваемый матричный элемент к виду асс'~, 'сгр ~ 0 (г) ехр[ 2 (Нс Нз Нз + Н4) г) с('г Х Х ~ ехр [1 (Нс + Нз — Нз — 1сз) (с! с(з)с . Учитывая условие )сз « риз для радиуса потенциала ()(г), интегрирование по г можно распространить иа все пространство (сраанить с предыдущей задачей) и ввиду предполагаемого нераненства АгЯз « ! заменить экспонеицнальный множитель на 1; прн этом получаем Сссзс.
Факс=Уй„,й,,й,йРе., (Уо= ~ (У(г) и" (множитель Ьй зй й эй отвечает сохранению импульса при взаимодействии частиц), и соответственно (Чо[,~ ~„бй,зй,й:.ссосссбйюс)ймзнйю~! 1е) с, „(йп) Основываясь па явном виде в. ф. [Ч'з), замечаем, что здесь из всех слагаемых отличны от нуля лишь такие, для которых либо Нз = 1сь Нс = Нь либо (с, = 1сь Нз = Нз, так что (1) можно пре. образовать к виду Ео 2 (Чо [ Х Х (бйюбсо. +пазаАс~а) ййзсайю~[Чс). (2) о, й, двойная сумма по Нс, з при значениях п~ = пз равна как для фермионных операторов бссюбйю+ йй сййсс сбйю йзау Здесь нулю, так При вычнсленни поправки Егосз (Ч' [0 [ Ч' ) первого порядка к энергии Е~1 основного состояния ферми-газа в отсутса) стане взаимодействия следует учесть значения чисел заполнения л„ в этом состоянии [Ч.'з), равные 1 для й ю.
Нг и 0 для й ) йг. При этом легко заметить, что а суммах по Н, при усреднеяии оператора 0 (см, формулу (2) из 10.32) все слагаемые, для которых хотя бы одно из й, больше йг, обращаются в нуль, так что в Еа входят матричные элементы Уй',й,' с й < йи.
Перейдя (с) й сс, к новым переменным При и! чь пв пераую часть суммы (2), используя антикоммута. цнонные свойства оператороа й, й+, можно записать и аиде Х,,Е "й!а "йвавбьгтвбк а ~' Е Пьггвбь!а П! ~ Пв (3) гвав ывы2 ' ' '' а! 2 ы! 2 где бы а — операторы чисел заполнения. Так как )2'(и) = ~Ч 0 ыа ы является оператором числа частиц и спииоаом состоянии и, а и основном состоянии эти числа имеют определенные значения, равные У/2, то усреднение выражения (3) по состоянию )Чгв) дает 2(У/2)' = Уг/2.
Вторая жс часть суммы э (2) при а!~а! отлична от нуля лишь при значениях Ы, = Ыв и, как легко заметить, оказывается разной У, т. е. пренебрежимо малой (аяиду У » 1) по сравнению с пераои частью суммы. Таким образом, находим !0 1 Ув Е = — (/,— 1 )г и энергию основного состояния ферми-газа 3 3. У ' 2/з Л 1 - Л Е Е!'1+ ЕВ) = — ~ — '~ — У+ — (/ —. (3) Π— ΠΠ— 10 ~ Р ) и! 4 О)г Появление дополнительного множителя 1/2 и иыражении для Е!') по сравнению со случаем бозе-газа, см. предыдущую задачу, имеет простое объясненае: и рассматрнзаемом приближении, Ыгйа « 1, фермионы с одинаьсзым значением проекции спина не взаимодействуют друг с другом и силу принципа Паули, сравнить с 10.31.
В заилючение заметим, что указанное и предыдущей задаче обобщение результата теории возмущений на случаи сильного короткодейстиующего потенциала справедливо и для ферми-газа. 10.34. Энергия частицы с импульсом р и проекцией спина з на напраэленне магнитного поля равна (для з = 1/2) 1 а = — р' — 2)2 з аэ", Рвг 2а! О г Обозначим через У числа частиц и основном состоянии фер. ми-газа, имеющих соотиетстиенио з, = ~1/2. Так как и основном состоянии энергия системы имеет минимальное значение, то ему отвечают следующие значения чисел заполненик: л =1 для(р)<(р! и л =0 для (р)>РР причем Р,, Роаэ = РР, — + РО!Уй. 2 2т Р 2ш Это соотношение, означающее равенство максимальных значений энергий заполненных состояний с в, = ~1/2, обеспечивает минимальность энергии всей системы в целом.
Выражая обычным образом ре через Уы: )тбз 1, з у = ч а н т в, е 1 (2пй)з бнзйз Р Р(вн, э =( "- бнтйзУ )Уз Рк э= находим согласно (1) уравнение для определении У : 233 ) г!з 1з У „-1- У =У. (2) При этом нагни:иый»очент газа в целом равен Мв = ро (Л'.„— У ), я„= лт' = О. (3) В отсутствие магнитного поля имеем У+ = У. = У/2. Соответственно в случае достаточно гчабого поля значения Л' мало отличаются от У/2. Записав их в виде У-- = У/2 ~ и и выполнив после этого в уравнении [2) разложение по малому параметру л/У (используя (У/2 и: л)м' (У/2)тг'(1 ~ 4п/3У)), находиы ~31, хг)з 2л = (Уе — У ) = в~реУвв ( ягйзЛ ) (4) (условие л/У ~ 1 как раз н определяет случае слабого поля). Согласно (3) и (4) в случае слабого поля имеем (б) (6) й=)ре) У и ориентировав в направлении магнитного поля.
10.35. При температуре Т = О электроны занимают нижние по энергии состояния. При этом электронная плотность а(г), Так как магнитная восприимчивость уе ) О, то рассматриваемый ферми-газ является яараиагяетикотс С увеличением поля значение )У+ — У-( монотонно возрастает н при Ж 3» Ж,е, где 1 / блтйзУ У1з спины всех частиц выстраиваютсн в одном направлении. При этом магнитный момент системы достигает насьпценпя максимальная кинетическая энергия электронов в точке г, равная ао (г) = ро (г)/2т, и электростатический потенциал ф(г) з внутри проводника ") связаны соотношениями Лф = — 4«р = — 4«д б (г) + 4«ей«(г), где 1 2 — Р (г) — еф (г) = еи — — — р ="сопз1, 2т о 2т (2) «(г) " Р (г), б«««о — (Ро( ) — р ) з 3«хйз о 3«ада 1 Здесь е ) 0 — величина заряда электрона, б«(г) — изменение электронной плотности, вызванное внесением заряда 43 соотношение (2) обеспечивает минимальность энергии всей системы электронов, при этом в, характеризует иевозмущенную систему (каковой она остается и при внесении заряда на большом расстоянии от него).
Ввиду предполагаемой малости (б«) « «а имеем )ра — рг) « « рг и из соотношений (2) получаем 2 еф яэ — Ри (Ро (г) — Ри), б« = «зйз Ри (Ро (г) — Рр). При этом уравнение (!) принимает внд г 4тезрн'тиз Лф= — 4«дб(г)+хзф, х=~ да / (3) а его решение ") Ф (г) е — хг г (4) показывает, что электрическое поле в проводнике экраннруется на расстояниях г — х-'. 10.36. Так как ширина приповерхностной области внутри проводника, в которой распределен заряд (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
