Galitskii-1992 (1185113), страница 84
Текст из файла (страница 84)
по этому поводу 9.!7), ") Оно справедливо в квазиклассическом приближении для произвольной физической величины Р(х, р). Очевидно, чтэ аналогичное соотношение Р ь = Р, и „между квантовомеханнческими матричными элементами и классическими фурье-компонентами имеет место и для произвольной физической величины") Е(р), сравнить с соотношением (3) из 920. Матричные элементы р„н (р'), для импульса осциллятора вычисляются так же, как и в предыдущей задаче для координаты и описываются, по существу, такимн же выражениями с заменой Ь/ты на дты (при этом в них появляются еше несущественные фазовые множители).
Такая аналогия не случайна: она отражает в квазиклассическом приближении то об. стоятельство, что у.Ш. н в.ф. для осциллятора в координатном и импульсном представлениях имеют одинаковый вид. 9.22. Ввиду мгновенности изменения потенциала, в. ф. сразу после включения У(х) совпадает с Чгь (здесь н ниже индексы 1 и 1 относятся к стационарным состояниям частицы в потенциалах (/(х) и (/(х)+ У(х), но если это не может привести к недоразумениям, то мм их опускаем).
При этом для искомых средних легко получаем (при Г ) О): Вероятность перехода при внезапном изменении потенциальной энергии (см. 8.47) ь !2 щ (и -+ й) = ~ ~ Ч' (х) Ч', „(х) дх ~ . (2! Воспользовавшись здесь для волновых функций выражениями вида (!Х.
6) (для указанных выше потенциалов), преобразуем матричный элемент следующим образом: (й, (( п, () ь х х ч,нагл з 1 ' т 1 '*' — 1""*')~— а сч см х х — ехр — ~ р с(х'+~р с(х' +( — +к.с. Ь( «г а. Х, (3) (/р (х) р„(х) где к. с. означает комплексно сопрягкенпое выражение по атношенню к выписанному в фигурных скобках, а = гпах(аь а~), Ь = пнп(Ьь Ь~); аь ~ и Ьь ~ — точки остановки в квазиклассическнх состояниях Ч'ь „ Ч'ьь Характерная особенность интегралов в (3) — большое и быстро изменяющееся значение фаз экспонент.
Такие интегралы существенно отличны от нуля в случае, когда у фазы как функции х имеются стационарные точки, интегрирование в окрестностях которых и вносит доминирующий вклад в его значение. У второй экспоненты в (3) н ей комплексно сопряженной, очевидно, таких точек нет(по определению р,ь » ) 0) и эти слагаемые могут быть опушены. Для первой экспоненты условие стацианарности фазы, д<р/дх = О, принимает вид ") рд ь(х.) = = р, „(х,), т, е. ,7в,.— и из = или Е~ „— Е,. + Р(к,). (4) ") Число стационарных точек х, зависит как ат вида потенциалов, так и значений Е,м Если У(х) — монотонная функция х, то их либо одна, либо вообще нет; в случае, когда (Г(х) и Р(х) — симметричные функции (с одним минимумом), таких точен две нли нн одной.
Отсутствие стационарных точек означает, что вероятность соответствующего перехода в рассматриваемом приближении пренебрежимо мала. 483 Отсюда видно, что энергетический интервал разрешенных пере- ходов ограничен условиями г Š— У м!е~ г,а Е3,а~ мах' где )г ммы~ — максимальное (минимальное) значение г'(х) на интервале двюкення а; < х ~ Ь1 классической частицы в исходном сестоянии. Отметим, что условие (4) имеет наглядный физический смысл. Так как в результате мгновенного изменения потенциала импульс классической частицы не изменяется, то оне определяет такие точки траекторий в фазовом пространстве (Р,х), которыа являются абшими для начального и конечного состояний. Для вычисления интеграла разложим фазу экспоненты в окрестности стационарной точки 1 у' Рг(х,) Р,(х ) ~ 2Д \, а (х ) о„(х ) ) = м (х ) — (х — х )а.
(5) ~в~ з) Теперь заметим, что ввиду предполагаемого условия ('г')(Ь— — а) » йю, область значений (х — х,), в которой изменение фазы порядка единицы и которая вносит основной вклад в интеграл, чала по сравнению с характерной областью движения частицы, (Ь вЂ” а).
Соответственно в (5) можно ограничиться квадратичным членом разложения, распространить интегрирование в окрестности каждой стационарной точки х, иа всю область (из-за быстрой сходимости возникающих интегралов) н получить ~ р, ту,„лх=, / ч') (б) Из-за большой величины фаз м*(х,) в (6) значения вероятностей (2), как и само значение матричного элеиента (б), испытывают сильные осцилляции уже при небольшом изменении но.
мера Ф конечного состояния. Однано после усреднения по небольшому интервалу конечных состояний такие осцилляции 484 исчезают и получается следующее выражение з'): 4пщй тч ! Т, (Е ) Т» (Е ) « .г р „(х ) ( У«(л ) ( ' Найдем теперь вероятность возбуждения конечных состояний й, относящихся к некоторому энергетическому интервалу»»Е». Так как расстояние между соседними уровнями в квазиклассическом приближении равно ЛЕ« = Дю»(Е«), то искомая вероятность получается умножением (7) на»»й = »»Е»/оū— число состояний в этом интервале — и описывается выражением 2»п гэ г»Е» » ( л) р» ч ( «) ) ( «) ! В эту формулу уже не входит постоянная Планка и она допускает наглядную интерпретацию в рамках нласскческой механики.
Для этого заметим, что энергия классической частицы при внезапном включении У(х) зависит от точки х нахождения ее в этот момент времени и равна Е> = Е,-(- У(х). Соответственно распределение вероятностей для Е» определяется распределением по координатам частицы в исходном состоянии, которое имеет внд »(ю 2 «»х/Т (Е») о» (х). Переходя теперь аг перел»еннов х к энергия Е» и учитывая, вообще говоря, многозначный характер зависимости х от Еь приходим к формуле (8), что, кстати, подтверждает нормировку на единицу этого распределения, а тем самым и распределения вероятностей (7).
Если при энергии частицы Е ) Е« дан>кение ее в потенциале (»(х)+ У(х) является уже инфинитным, то формула (8) прн Е~ ) Е«определнет распределение по энерюим частицы, покидающей яму, а интегрирование по энергии Е» в пределах от Е, до Е ., = Ес л+»пах У дает веронтность вылета частицы («ион»»за>цин» системы) при внезапном изменении потенциала з'). м) Читателю предлагается обсудить вопрос об особенноствх интерференции вклада симметричных стационарных точек в случае, ко~да (/(х) и У(х) являются симметричными потенциалами; отметим лишь, что при этом переходы происходят между состояниях»и л и я одинаковой четности и и для таких переходов отличается от (7) множителем, равным 2, для других переходов ю(п — й) = 0 ") Эта обстоятельство представляется очевядным, если иметь в виду отмеченную аналогию с классической механикой.
При квантовомеханическом рассмотрении следует учесть изменение вида в. ф. »Р»,м которая прн Еь ) Ез описывает уже состояния непрерывного спектра. 485 В приложении полученных результатов к осциллятору имеем 1Х "о Е = йа л+ — ), Е! а — — бы~/г+ — ! —— Согласно (а) находим х, = ~йы (л — й) + Ро~йт~'7ро после чего по формуле (7) получаем вероятности переходов" ) (они отличны от нуля лишь для таких значений /г, при которых выражение под радикалом положительно). Формула (8) при этом может быть записана более наглядным образом: НЕ! и ((Е! — Е,,„) (Е,,„— Е!)1 /з ' где Еьмз ~,ю = — Е, «~а,р„— максимальная (минимальная) энергия, которую может иметь в условиях рассматриваемой задачи осциллятор при / ) О, здесь а„= ц/2Л (л+!/2)/ты— амплитуда иолебаний классического осциллятора при ! ( О.
9.23. По формуле ((Х.7) получаем следуюшие результаты. 8 Х/2 (Е(з ~ а) что при большой величине показателя экспоненты, когда В ~ 1, совпадает с точным результатом для проницаемости треугольного барьера, см. 2.36, б) В случае потенциала (/ = (/е сЬ '(х/а), используя для вычисления интеграла подстановку з)г (х/а) = и з(п С и = ч/(/е/Š— 1, находим проницаемость барьера в квазиклассическом прибли- женин '2шпэ 0 (Е) = ехр ~ — 2и ~/ б, Ы(/с — '\/Е )), (2) зе) Заметим, что ю (л-з й) = ю (й -ил).
486 отбыв Ф(л-эй) = ~ 2гг Ро(п+ 1/2) — !ы в то время как точное выражение (см. (1, $251) Р (Е)— зйз (мйа) „ / 2лтЕ у( и).> уч /миФ7ю:щ ' 'ч в' Как видно, при выполнении условий 2м ч/Ттаз)йз (мг0о — 1/Е ) Ъ 1, Е~ йз/таз (3) квазикласснческнй результат великолепно воспроизводит точный. Первое из условий (3), обеспечивающее значение Р « 1,— обычное для применимости квазиклассического выражения для проницаемости барьера. По поводу второго необходимо сделать следующее замечание. Его происхохгдение связано с тем обстоятельством, что в основе вывода формулы (1Х.7) лежат условия сшивания квазиклассическнх решений в окрестностях точек остановки классического движения, основанные на линейной ап. проксимацни потенциала. Однако в задачах, подобных данной (когда на больших расстояниях 0 -ь О), при малых энергиях частицы использование таких условий не оправдано ").
Это осе. бенно паглндно видно из рассмотрения случая Е = О, когда на больших расстояниях квазиклассика вообще неприменима, сравнять с 98 и 9.9. Изменение условий сшивания решений приводит к модификации квазикласснческой формулы (1Х.7), сводящейся к появлению дополнительного предэкспоненциального множителя, имеющего величину порядна единицы за). Для данной задачи он, как видно нз сравнения приведенных выражений для Р(Е), равен 4зйе(яда) е ~"~» и особенно существен при Е О, так как при этом ан со Е (а с увеличением энергии, как и следует, обращается в единицу).
в) Для указанного потенциала Р (Е) ехр ~ — (О» — Е) 4» 1/2ш зм) 330, (4) Это выражение определяет коэффициент прохождения лишь по порядку величины, но передает главное: его экспаненциальную малость. В точном выражении имеется дополнительный предэкспоненциальпый мпозкитель, равный 4 З7Е (0» — Е)/0» Его появление отражает изменение условий сшивания квазиклассических решений в окрестности точки поворота х = О (которая 487 м) Исключан случай медленно убывающих, 0 с» ( х ( с т < 2, при х- -~-со потенциалов. з') Сравнить с аналогичным изменением фазы квазиклассическай волновой функции при рассмотрении связанных состояний, приводящим к модификации правила квантования Бора— Зоммерфельда в задачах $1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
