Galitskii-1992 (1185113), страница 85
Текст из файла (страница 85)
уже не является тачкой остановки1) по сравнению с теми, которые приводят к (!Х. 7), сравнить с проницземостью барьера из б) при Е-ьО. В заключение отметим, что вопросы вычисления предэкспоненциального множителя в квазиклассических выражениях для проницаемостей барьеров, когда неприменимы условия сшивавия квазикласснческих решений уравнения Шредингера, основанные на линейной аппроксимации потенциала в точках поворота, обсуждаются в задачах 9.24 — 9.26. 9.24.
Поступая так же, как и при выводе квазиклассической формулы (1Х.7) для проницаемости барьера, см. (1, 9 50), и считая, что падающие на барьер частицы движутся слева направо, запишем волновую функцию при х ) Ь в виде х С Г (п ~ зйг(х) ехр — „Зт р(х) Нх+— угл (х) При этом в. ф, в области барьера тю — р(е () (~)ь). "ч*(ь (2) С Г( ~/( л (х) ) (здесь пренебрежеио затухающим в глубь барьера слагаемым). Существенно, что в уславинх задачи это решение применимо, вообще говоря, непосредственна вплоть до точки ") х = О, в которой потенциал испытывает скачок. Волновая функция при х ( 0 имеет вид при такой нормировке коэффициент прохождения барьера 17 = = (С(з. Сшивая выражения (2) и (3) в точке х = 0 (кспользуя непрерывность в. ф. и ее производной, причем ввиду квазнклассичностн достаточно дифференцировать лишь экспоненцнальные множители как наиболее быстро изменяющиеся), получаем (1+А)р l (0)=С(Уе(Е)(дз(0)() (1 А)р~~(~(0)=1С/Рз(0) )ьз(зо У (Е) ") При этом Е не должно быть слишком блиеким н Уз и У, (чтобы в окрестности точки х = 0 не нарушалось условие квазиклассичиости), но если У(х) = У~ = сопз1 при х ~ О, то второе ограничение отсутствует.
489 где , (и = ~ы(г — э,). ~, (о> ~ -,<ыт~р, а 0э(Е) определяется обычным квазиклассическим выражением (1Х. 7) для проницаемости барьера. Отсюда легко находим значение С, а с ним и коэффициент прозрачности барьера: ь 'чэ-~эта=в .,1' й („...~э.) ~ч (7,— и, 1 й 3 с Появление здесь предэкспоненциального множителя (величина которого порядка едияппы) по сраенению с (1Х. 7) свнзано с изменением условий спаивания квазиклассическнх решений в окрестив ти точки поворота х = 0 Применительно к потенциалу нз 2.33 имеем (7, = (уэ, (7, = 9 и прелэкспоненцнальный множитель оказывается равным 4 эгЕ (Уэ Е) /Уа' При этом (4) совпадает с точяьщ результатом (естественно, прп большой величине показателя экспоненты, когда 77 « 1, сравнить с 9.23в).
9.25. Задачу можно было бы решить так же, как и прелыд)щую, учитывая, что теперь условия сшивания квззнкласси. ческих решений, основанные на линейной аппроксимации потенциала, изменяются в обеих точках поворота а, Ь. Однако окончательный результат представляется очевидным и без вычислений. Для этого заметим, что модификация квазикласси*щекой формулы (!Х. 7), связанная с изменеииелг условий сшивания во.тновой функции, используемых при ее выводе, своднтся к появ.тепню дополнительного предэкспоненциального мноткителя и(Е), зависящего от характера нарушения условий квазикласснчностп в окрестности точек поворота. Важным свойством этой зависимости является ее фахгоризованный вид: а(Е) =а, (Е) а,(Е), где не зависимые друг от друга множители иьз(Е) связаны с каждой из точек поворота (на первый взгляд такое соотношение неочевидна из-за различного вида решеяай, сшнваемых в левой и правой точках поворота; однако если учесть независимость коэффициента прохождения прн данной энергии от направления падения частиц на барьер, то оно представляется уже естественным, сравнить с 9.26).
В условиях сшивания решения, основанного на линейной аппроксимации потенциала и приводящего к формуле (1Х. 7), имеем ап э — — 1, а в условиях предыдущей задачи а~= П П ', а,=!. ' тэ — уд ( у — е) (2) э ! Согласно (1) для данной задачи а» описывается выражением (2), а аз(Е) отличается от»х»(Е) лишь заменами У, на Уэ и У, на Уь Это замечавие решает вопрос о вычислении проницаемости барьера; Р (Е) = а» (Е) аз (Е) Ре (Е), где Ра(Е) описывается (1Х. 7). Отсюда для прямоугольного барьера высоты Уэ и ширины а получаем Р (Е) = 16 ехр ~ — — у»2т (У, — Е) аз ) (3) Е (У» — Е)»' 2 уэ й при т(У» — Е)аз/Н» » 1; сравнить с точным результатом для проницаемости барьера из 2.31.
926. Формула (!Х.7) при Š— «О неприменима"). Согласно ей Р(Е = 0) Ф О, в та время как точный результат дает Р(Е) ж яа бЕ-«О. Для вычисления коэффициента Ь в этой зависимости согласно 2.39 надо найти решение у. Ш. с Е = О, удовлетворяю. шее граничному условию Ч'(х) -»-1 при х-«+со. Так как в случае Е =. 0 квазиклассичность на больших расстояниях нарушаетсн, то в этих областях следует воспользоваться точным решением у.
Ш., а затем сшить его с квазиклассическим решением иа конечных расстояниях (где точное решение уже не может быть получено, но применима квазикласснка; сравнить с авалогнчвым подходом при решении задач 9.3 и 9.9) У. Ш. на больших расстояниях, где У (х) яа У, э (а/(х ~) ' э» принимаег вид »Р" — — %' = О, а = а 2тУа' )х)~ й Решения этого уравнения выражаются через цплиндри»еские функции (см., например, [33)) 3»»! х ( Е» (2» ч»»а з ( х (~бы), з = —.
2 и С учетом гранячного условия '!»(+со) = 1, решение у. Ш. на больших расстояниях справа следует выбрать в ваде Ч»=С~lх 7, (21~»п» з»хц"), С=(! 9(о! з!)»Г(1 — з!), (1) '») Сравнить с 9.23б). 490 где Г(х) — гамма-функция. На расстоиниях х Са)", воспользовавшись асимптотикой функций Бесселя / 2 д)д , / ят к х 1„(г) яа ( — ) з)п ~г — — + — (, а-+со, ,1 'ч 2 4х' получаем 2 з 1)2 (здесь учтено, что аргумент функции Бесселя в (1) — чисто мнимый, а и ) 2; при этол1 экспоненциально убывающее с уменьшением х слагаемое в (2) опущено).
Это решение имеет уже квазиклассический вид, что определяет в. ф. Ч'(х) во всей области квазиклассичности на конечных расстояниях (где потенциал, конечно, не описывается своей асимптотикой): йг яз ехр й ~ )р1бх здесь р = я/ — 2тУ(х), / тт 2зтя2 (т~ — 2) — 11' )ж — 2)Г 11 з з (4) Теперь заметим, что решение у.Ш. иа больших расстояниях слева (т. е. при х-~ — со) должно быть выбрано в виде Ч'(х) = С я) — х Н1)„(2(з)оз зз( — х)Н "), (5) я т 1' С= — 1 ехр ( — изз) Сг (т,— 2)й ),2 (б) Теперь, используя связь функций Ганкеля н Бессели, находим аснмптотику решения (б) при х -~- — со (нри атом аргумент 491 где Н( )(г) — функции Ганкеля, так как именно оно при значе- 2) ниях ( х ( ~ аз " в квазиклассической области переходит в зкспанснцнально убывающее в глубь барьера решевие (3).
Воспользовавшись асимптотикой Ня (г) пРи х-~-со, полУчаем (2) функции Гаикеля стреыится к нулю). Она, как и следует, имеет вид Ч' пг — Вх, причем, с учетом выражений (4) н (6), коэффициент В оказывается равным где значения бь з определяются выражением (7) (индексы 1, 2 для краткости записи опущены). Наконец, воспользовавшись результатом 2.39, приходим к искомому выражению для коэффициента прохождения медленных частиц, которое можно записать в виде где (9) у! з(Е) =2йр! з. Установленный характер модификации квазиклассической формулы (1Х.
7): появление дополнительного предэкспоненциального множителя у(Е) и его факторизованный вид у (Е) = у, (Е) уз (Е) отражают общую закономерность, отмеченную в предыдущей задаче. Аналогичным образом можно было бы рассмотреть случай потенциала с экспоненциальным убыванием, (Г сс е 1" ря, иа больших расстояниях (о точном решении прн этом у. Ш. сч..
например, 4.86)) Однако если иметь в виду 9.23б), то окончательный результат представляется очевидным и без вычислений: в этом случае (10) у~ з — -2 ай (2пМ, т) ехр ( — 2пМ~ з) и для медленных частиц ук з 4пйРц з. (11) Поучительно получить последнее соотношение из выражений (7), (9), рассматривая экспоненциальный потенциал как предельный переход при т-ь со степенного потенциала. Для этого введем сначала х, = тР и рассмотрим значения х, близнке к к,.
492 При этом ( ) =(,+( —,))' х=х — хз. (! — й/.тт к зкс. Соответственно для перехода от потенциала поненциальному у = узе-"«з надо положить а)ло п= й)(ч!«) (!е' т' е' ««(чР) (!о' (12) Подставив (12) в (7) (при этом а = 2ша/йз) и выполнив предельный переход ч-ьсс, получаем () =й/2п!«и согласно (9) приходим к соотношению (!1) для потенциала с зкспоненциальным убыванием.
9.27. Отражение частиц обусловлено, главным образом, наличием особенности потенциала в точке л = О. В. ф., описывающая процесс отражения (и прохождения) частиц, падающих на барьер, для определенности, слева, в квазиклассическом приближении имеет вид Ч"+ (х) хт О з/~ (1+А)=з(р е, ч~р (1 — А) =чГ~, е, где р«т —— х««2ш(Š— У«,т). Отсюда А=(р, — р,)!(р, + р,) и козффициевт отражения оказывается равным )«(Е) = (з/е — и, — 1/е — (т,)' (ЦIŠ— У«+ ч(Š— ~3« )т (2) Подчеркнем, что при конечных значениих энергии справедливость формулы (2) не предполагает малости Е(Е). Однако при здесь р = )«'2ш (Š— У (х)) > О; при этом коэффициент отражения равен Л(Е)=(А)т Из условий непрерывности в.ф.
н ее производной в точке к = О (при этом ввиду квазиклассичности достаточно дифференцировать лишь экспоненциальные сомножители, как наиболее быстро изменяющиеся) получаем Е -ч-ою из нее следует (И, — щз дг яз ю, -ЬО, что соответствует результату теории возмущений, сравнить с 8.30. 9.28. Рассматриваемый уровень при наложении поля отвечает квазистационарному состоянию. Положение Е, и ширина Г квазндискретных уровней определяются условиями сушестнования решений у. Ш.
для комплексных значений энергии Е =Ею— — — Г, имеющих прн х — ь*юю зяд уходящей волны (если в ка- 2 ком-лнбо направлении движения (г'(х) ) Ею, то в этом направлении решение является экспопенцнальяо убивающим), сразгшть с 6.36. В данной задаче решение у. Ш. в квазиклассическом приблгггкеггии имеет вид и) (см. рнс. ЗЗ): о ю( — „~ гю>~ь), * Ю х Ь ехр — — „~ р(х) г(х, 0<х< Ь, х х ! ~ — ~ Югюс). Ь А Ъ'~ (х) (1 1) С чггр (х) Ч'(х) = (1.2) С 'югр (х) ПЗ) где р (х) = з/2т(е+ г"юх) (подчеркнем, что з класскчески за. прешенных областях н пренебрежении шириной р(х) — чисто мнимая величина, причем Ьр(х) < 0).
Здесь использовано известное услонне сшивания решений в окрестности точки поворота х = Ь, см. 11, з 50), при этом в (1.2) оставлено лишь экспоненцнально растущее в глубь барьера слагаемое. Сшиванне решения в точке х = О, см. 2.6, дает Ь Ь ю-с ю( — ' ~ г*гюг), ююс ю( ' ~ г*г~) о о = (21та(йр (0)] А (2) 494 и) Строго говоря, теперь точки остановки из-за ширины уровня являются комплексными; однако ввиду экспоненциальной малости Г это обстоятельство не отражается на условиях сшивания решения. (при вычислении производных в. ф. дифференцируются лишь экспонеициальиые сомножителя как наиболее быстро изменяющиеся в условиях квазиклассичности, см., однако, ниже (6)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
