Galitskii-1992 (1185113), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Учет же поправок в этом случае (их вклад порядка (1+1/2)э/л,) аа фоне (л,+1/2+ 1) был бы превышением квазиклассической точности правила квантования. з) Как легко убедиться, квантование согласно (1Х.5) приводит к существенной потере точности, сравнить с 9.6. где х„! есть (л,+1)-й нуль (не считая х О) функции Бесселя /т (х) с т = 1 + !/2. Мы специально ограничились небольшими значениями и„ когда квазикласснка формально неприменима, чтобы подчеркнуть, что н в этом случае квазиклассическнй результат не слишком сильно отличается от точного. Прн этом существенно, что выбор квазиклассической поправки в условиях квантования обеспечивает выполнение правильных граничных условий').
В таблице не представлены з-состояния; для них квазиклассический спектр совпадает с точным, хгя > ы =аз(л +1)з. Как видно нз таблицы, различие между точным и квазиклассическим значениями Е„! при фиксированном Г слабо зависит от л,. Так как следующая квазнклассическая поправка в правой части правила квантования 1/л, при л, > 1, то такое свойство является точным в рассматриваемом случае и «затягивается» до значений л, — !. Сделаем два заключительных замечания в отношении правила квантования без центробежного потенциала.
1) Так как л, и ! входят в него лишь з виде комбинации 2л, + 1, то отсюда для квазиклассических состояний следует своеобразное (приближенное) «случайное» вырождение уровней, аналогичное имеющему место для сферического осциллятора при точном решении у.Ш. Конечно, такое вырождение снимается при учете следующей квазиклассической поправки. 2) Обсуждаемое условие квантования относится к потенциалу, ограниченному иа малых расстояниях.
Однако его можно обобщить и иа случай, когда (/(г) со г ' при г-ь О, причем 0 ( т < 2, если заменить правую часть«) в нем значением 1 2!+1 2 2 (2 — т)1 (для ограниченного потенциала т = О; сравнить также длл т= 1 и! = О с 9,5). При этом для кулоиовского потенцмала, (/ = — а/г, получающийся квазиклассический результат воспроизводит точный спектр для всех значений момента 1. 9.8. С известной точностью искомое условие можно получить непосредственно нз правила квантования (1Х.б), положив в нем л = Яà — 1 (й/ — порядковый номер уровня) и устремляя Ех 1 к нулю и соответственно и-» — оо и Ь-ь-(-со. При этом, однако, учет квазиклассической поправки !/2 на фоне л будет превышением точности.
Это связано с тем, что используемое прп выводе (1Х.5) условие сшивания квазнклассических решений„ основанное на линейной аппроксимации потенциала вблизи точек остановки, в данной задаче заведомо неприменимо: точки остановки «уходят» на бесконечность, где при Е = 0 квазиклзссичность нарушается, так как 1Ы)с/Нх(со) х !. Для уточнения значения квазиклассической поправки следует найти точное решение у.Ш. на больших расстояниях, а затем сшить его с квазиклассическим решением. У.Ш, принимает вид »Р" + ах «Чг О, (Г лг — а/х«, а = 2гла/Яз.
«) Такая модификация правила квантования может быть получена способом, использованным при решении задачи 9.9. 480 Отсюда с помощью подстановки Ч' = ф(а)/я, где 1/б!) х( получаем ф"(и)+ф(г)= О. Так как моменту возникновения нового состояния д. с. при углублении потенциальной ямы отвечает существование ие возрастающего при х-«.
-«-~со решения у.Ш. для Е = О, см. 2.13„то решение уравнения для ф(г) следует выбрать в виде ф = Аз(па, Таким образом, точная в.ф. в момент возникновения уровня имеет на больших расстояниях вид «р(х) якА х Шп ( (/» /х), х-ь ~ со, Теперь заметим, что на таких больших расстояниях, где ( к (< З/», уже выполнено условие квазнклассичиости (4)с/«(х( С! и применима квазиклассика (при этом, естествен. но, предполагается, что на таких расстояниях потенциал еще описывается асимптотическим выражением, т.
е. у о«х а). В квазиклассическом приближении имеем = — «*.««,~. «2) с Значения параметров у,, находим из сшивания этих квазиклассических решений с найденными выше точными (1), удовлетворяющими требуемым граничным условиям при х- ~со. Так как при этом р/йяк (/» /ха, то очевидно у« = Та = О. Теперь из условия совпадения обоих решений в (2) (сумма фаз синусов в них равна пйг), приходим к искомому соотношению — « — 2 юь««* ш 1 Ь С (3) (непосредственное использование (1Х. 5), как указаао в начале решения задачи, приводит к значению правой части, равному и(!«« — 1/2) ) . Отсюда для потенциала И = — У,(х'/аз + 1) -з находим (4) й 2шЦ оэ/йг й«з.
Точный результат, см. 2.40, получается заменой й«' на «Ут — 1. Как видно, уточненное условие (3), (4) имеет более высокую точность«), чем полученное непосредственно с помощью (1Х. 5), Так, значение а» для У = 1О согласно (4) отличается от точного на 1 %, а «упрощенное» вЂ” на 10 %. 9.9. Поступая как и в предыдущей задаче, запишем сначала квазиклассическое выражение для радиальной функции (Ч' = У~ )о/г)/г) при значении Е = О следующими двумя способами: Х (г) = — Мп — ! р г(г+ у С, .~1Г с = = ~61 ы б — э1п — р йг+ у, (1) Р л Г а 1(1+1) 2 2»га Хг+~ —— 1дг — — О, а = —.
(2) ! Как известно (см., например, (ЗЗ]), решения этого уравнения выражаются через цилиндрические функции 2 ч/а 2 21+1 2 — ч Ч/г г. (() "); з = —, Н=— 2 — т' 2 На малых расстояниях, чтобы удовлетворить граничному усло- вию у. оэ г!э! решение следует выбрать в виде Хг-СЧ/г у„((), н'), ') При этом различие квазиклассического и точного результатов проявляется в слагаемых ' 1/Уз. 4б2 удобными для учета граничных условий ()(! оэ г +' при г-ь О и тг со г при г -ь со в момент возникновения связанного состояния, см. 4.26). В выражениях (1) р Ч/-2»гУ(г) — радиальный импульс в пренебрежении центробежным потенциалом (обоснование такого приближения для состояний с моментом ! 1 в области квазиклассичности см. в 9.7).
Однако в условиях задачи как на малых, так и на больших расстояниях квазиклассичность наругпается и следует воспользоваться точными решениями у.Ш., сшиванис которых с квазиклассическнми решениями (1) позволит найти значения унан и иэ совпадения обоих выражений в (1) получить искомое условие возникновения связанных состояний. У.Ш. как при г -~.О, так н при г -~.со принимает вид что соответствует квазиклассическому решению на таких малых расстояниях, где еше У нэ — цУг ', но уже можно пренебречь ю центробежным потенциалом' ). Сравнение с первым из выражений для р в (1) дает 2!+1 ! У!1 ~2(т, 2) 41' (4) Аналогичным образом за»ечаем, что на больших расстоя.
ниях решение уравнения (2) следует выбрать в виде 2, - с ч/. 7 ,. ( — 6з, ), и находим значение параметра 2!+! 1 ~ 2 (2 — тэ) 4 1' (6) Теперь из требования, чтобы оба выражения для Х~ в (!) совпадали (для чего сумма фаз синусов в них должна быть равна пй!~), приходим к искомох.у условию возникновении А!гго по счету связанного состояния частицы с моментом 1: — ') чl — 2глУ (г) дг = ! Г «2 о 2!+1 2!+1 1) 2 (2 — т~) 2 (тз — 2) 2 )' Отметим, что случай тз -г оэ соответствует потенциалу с экспоненциальным убыванием на болыпих расстояниях. Рассмотрим ряд приложений формулы (6). 1) Для з-состояний в потенциале Хюльтена, У(г) = = — УЦ(ег(а — 1), в (6) следует выбрать т, 1, тз = со и !.=О. После вычисления интеграла получаем 2нш Ус/» = й(", что совпадает с точным результатом, см.
4.6. ') Подчеркнем, что зависяшая от г часть каазиклассической фазы в выражении (3) не содержит ! в соответствии с отмеченным выше обстоятельством, что учет центробежного потенциала в основной области классического движения находится за пределами точности рассматриваемого приближения, сравнить с 9.7. 463 Воспользовавшись асимптотикой функции Бесселя 1,(а) прн я-~ ас, получаем )(Гсгэг' з(п г ' — — +— твз . ( 2та~, пз~ и ~ г (3) ~2 — ч~ 2 4Д' 2таудза = (Ж1+ 21+ 112)з. Для этого потенциала можно найти точное условие поивления первого связанного состояния, М~ = 1, с произвольным моментом 1. В, ф. в момент возникновения такого состояния имеет вид )(1 Сг ~ (г+а) 2та/йза = (26+ Т) (21 + 2).
прн этом Как видно, даже для Ьг~ = 1 квазикласснческнй результат неплохо воспроизводит точное условие яри всех значениях мо. мента частицы 1. 9.10. Обозначим через Е!о! и Е!и! + ЬЕ„уровни энергии в полях Уа(х) и Уь(х)+ ЬУ(х) соответственно. Разлагая подынтегральную функцию в правиле квантования ь, ьь ° С/2гп '(Е~,~+Ьń— !1е(х) — ЬУ(х)~ с(х=нй (и+ — ) (1) аееа с учетом малости ЬЕ„, ЬИ, находим искомое смешение уровняз) ь ЬЕ т ЬЕ! ! — ~ — г(х, 2 ! Ь(1 (х) Т з оь(х) а (2) "о (х) '~/ — )Ев (lо (х)) ') Сравнить с 9.3. Заметим, что изменение левой части (1) за счет смещения точек поворота в периом порядке равно нулю.
Если Ь(1(х) отлично от нуля лящь вне области классического движения частицы, то согласно (2) сдвиг уровня ЬЕ„ = О. Конечно, сдвиг уровня есть н в этом случае. Однако он, вообще говоря, экспоненцнально мал и его расчет требует спещзального рассмотрения; сравнить с 9.4. 2) Аналогичным образом для потенциала (Океан, 0 — — е гга, получаем согласно (6) 3 мч 2тцагй мб(я/2. г 3 Отсюда условиям появления нижних !з., 2з- и Зз-состояний отвечают значения параметра 3, равные 1,67; 6,28! 14,14.
Точные значения, получаемые численным интегрированием у, Ш., оказываются равнымн 1,63; 6,45; 14,34. 3) Рассмотрим, наконец, потенциал (1 = — а/г(г+а)', для которого т~ = 1, т, = 3. Согласно (6) легко находим где Т '(Ен(!) — период движении нлассической частицы в нотен. (ОЮ цнале 0э(х), Полученный результат соответствует формуле первого порядка теории возмущений (Ъ'П1. 1), 6Е( ! =(Ч3)„э, и также вытекает из нее, если при вычислении матричного элемента возмущения воспользоваться квазнклассическим выражением (!Х,6) для невозмущенной в.ф. и заменить под интегралом быстро осциллирующий квадрат синуса его средним значением, равным !/2.
Классическая интерпретация соотношения (2) основана на вдиабатическом инварианте н состоит в том, что оно описывает изменение энергии Е~~! (которая в классической теории не квантована!) финнтного движения частицы в потенциале 0,(х) при адиабагичесхом изменении его на Иl(х), При этом 1 Х ~у р Нх = сопв1 см, [26), и в случае малого возмущения 2 'У потенциала ЬУ отсюда вытекает (2); сравнить с «мгновенным» включением возмущения, рассмотренным в 9.22. Для осциллятора с ангармоничностью по формуле (2) находим Е!о! Дм (и .(- 1(2), би ()хч Уо (х) = та х~/2, Ь бЕа = — = — !) ( — ) (н + н+ -) .
(3) Отметим, что учет 1/4 на фоне на+ а, строго говоря, является превышением квазиклассической точности (см, в связи с этим 9.13). Действительно, точное выражение для е!» отличается от (3) лишь значением указанной поправки: 1/2 вместо !/4. Как видно, кназиклассический результат неплохо воспроизводит точный н прн н — 1 (исключая лишь случай н = О). 9.1!. Сдвиги ЬЕ„(Ю) иевозмушеиных уровней Е~„~ определяются правилом квантования эг Ч(2щ !Е1!+ Ьń— 0(х) +еВхт)Нх = мй (н+ — ), (1) аю Эдесь У = — ед'х — потенциальная энергия частицы с зарядом е в однородном электрическом поле Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
