Galitskii-1992 (1185113), страница 76
Текст из файла (страница 76)
совпадает со средним за период изменения гамильтониана значением Е„(1). Разложение периодической функции 43Т 'з) Причиной совпадения результата адиабатичсского приближения (условия применимости которого; т » ю ~ еад'/Яеэ т» «1) с результатом теории возмущений (условие применимости; еае м.'Яв) является специфическое действие однородного поля на осциллятор, сводящееся фактически лишь к сдвигу «точки подвеса».
в ряд Фурье определяет квазиэнергетические гармоники КЭС, см. 6.40. 8.87. Вероятность того, что частица останется связанной, равна !/2. Имея в виду сохранение четности, удобно раздельно анализировать временную зависимость четной и нечетной составляющих в. ф.
Обозначив через Ч'з(х) в. ф. связанного состояния в случае одной б.ямы, 0 = — мб(х), см. 2.7, и считая для определенности, что при ! — ь †частица была связана правой ямой, запишем в. ф. начального состояния в виде Ч"(! = = — сю) = (Ч".и+ Чг )/.Ч2, где Лри большом расстоянии между ямами, /( — оь) = оо, как четная Ч'«, так и нечетная 'Р составляющие в.
ф. описывают связанную частицу с энергией, равной энергии в поле одной ямы (уровень двукратно вырожден). Теперь заметим, что каким бы ни был закон «сближения> ям, можно утверждать, что когда ячы сливаются в одну, нечетная составляющая в. ф. описывает уже несвязанную частицу. Это вызвано тем, что в поле одной б-ямы имеется только одна, четное состояние д.с, (при сближении ям до такого расстояния, когда дискретный нечетный уровень сливается с континуумои, адиабатическое приближение для нечетной части в. ф. уже неприменимо). Временная зависимость четной составляющей в. ф. существенно заввсвт от характера сближения ям, но если он носит адиабатический характер, то частица будет оставаться в основном, связанном состоявии.
Так как для начального состояния вероятность нахождения частицы в четном состоянии равна !/2, то вероятность частице остаться связанной прн медленном сближении ям также равна !/2, что и было указано в начале решения. Условие применимости полученного результата: (Ь)'к и/Ь. Фактически это условие должно выполняться лишь, когда ямы сближаются иа расстояние порядка размера области лоналиаа., ции частицы в основном состоянии для б-потенциала, т. с. / ~ 8%ли. На больших расстояниях такого жесткого ограничения иа скорость сближения ям уже нет, так как в этом случае частица, локализованная вблизи одной из ям, наличия другой уже не «чувствует», а при движении ямы с произвольной (но постоянной) скоростью в соответствии с принципом относительности никаких переходов не происходит (фактически на расстоя.ниях Ь Ъ Ьз/асс требуется лишь, чтобы не было слишком большим ускорение ь).
438 8.58. Введем Чгач (х, $) и Е», Я) — системУ с. ф. и спектР с. з. оператора гу'= Н1 (х)+ т (х, 5) при фиксированных («закрепленных») значениях координат $ «медленной» подсистемы, так что [Й1(х) + Р (х, Ц) Чгп, (х, й) Ел, Я)Ч"о, (х, $) (1) (они играют роль, аналогичную с. ф. и с.
з. мгновенного гамильтониана прн рассмотрении адиабатических воздействий на систему, см. задачи 8.54 и 8.55). Для точных с. ф, полного гамильтониана системы справедливо разложение вида Существенным для дальнейшего является то обстоятельство, что для «быстрой» подснсте»~г«изменение состояния «медленной» выступает как адиабатическое воздействие, прн котором сохраняется номер квантового состояния, см.
8.54. Пренебрегая переходами, приходим к приближенному выражению для в. ф. системы, соответствующему учету лишь одного члена в приведенной выше сумме: (2у Чч Чоо ('5) Фо Записав уравнение Шредингера (Н1 + )г(х, 5) + Нз)Ф«1«тД)зро~ (х, 5) Е«1«зФ«1«зЯ) Чгл~ (х, $) и учтя в нем соотношение (1), проделаем следующие преобразования. Умножая обе части получающегося уравнения иа Чг„'„ слева, проинтегрируем по координатам х «быстрой» подсистемы и пренебрежем действием оператора ") Йз(5) на переменную 5, входящую в в, ф, Чг„, (х, 5) (т. е, положим Н»ФЧг кв ЧгН»Ф; здесь опять проявляется различие характерных времен движения рассматриваемых подсистем); в результате приходим к уравнению Шредингера для «медленной» подсистемы (Йз (й) + Еп, (й))Фиг«з (й) = Епга Фл,ае (4). Как видно, в рассматриваемом прнблиягении взаимодействие ее.
с «быстрой» подсистемой характеризуется эффективным потенциалом, в роли ноторого выступает Е»ф(ь) = Еп, (й) ") Аналогия со случаем адиабатического воздействия на систему, рассмотренным в 8.54, 8.55, проявляется в том, что таьг при вычислении производной дЧ'/д( можно было опустить слагаемое, получающееся дифференцированием по времени с. ф. Чг«(д, Х(()) мгновенного гамильтониана. 439 Формулы (1) — (3) составляют основу адиабатического лриЮлизкелия для стационарных состояний. Применительно к укаэанному в условии потенцяалу, ввиду Ь > а, в роли «быстрой» подсистемы выступает движение частицы вдоль оси х, а в роли «медленной» вЂ” движение вдоль, оси у, При фиксированном у движение вдоль оси х †движен в бесконечно глубокой яме шириной а (у) = 2а )/1 — у'/Ь', так что Ь'л'(л| + 1)' 2та' (у) При этом согласно (3) движение вдоль оси у происходит в эф- фективном потенциале (Г (у) = Е„, (у) = Ьхлт (л1+ !)' 6 /8та* (Ьх — у»), ( у ) < Ь.
Для такого потенциала в. ф. не слишком сильно возбужденных уровней локализованы на расстояниях (у~ << Ь, где его можно разложить в ряд: д'л' (л + 1)' дзл» (л1 + 1)' 8тах 8та»Ь» Ьзлз(л1 + !)а . Й»л (л~ + !) ( 1 ) 8та' 2таЬ 1, ' 2)' лц т = б чул „= (2 а З/л у,лг() ехр — — ' ΄— Ч'л,(х, у) (4) Уо Уз О 'Лиг~ +ч 4(э ~ ч2)«ь! (поучительно убедиться в том, что при воздействии оператора Н(у) иа в. ф. (4) можно пренебречь действием его на функцию Ч'л, (х, у) в соответстнии со сделанным выше замечанием). 8.59. Быстрая подсистема — осциллятор с массой т, характеризующийся координатой к. При фиксированном у, координате медленной подсистемы, имеем (ы = ч/Ь/т): Ел,(у)="ю л + 2) у. 2) 26 з)гоги ( У ) 440 При этоы задача вычисления в. ф.
Фл,л,(у) и уровней Ел,л, сводится к задаче о гармоническом осцилляторе, что позволяет получить В. ф. и уровни энергии медленной подсистемы определяются со- гласно уравнению (3) предыдущей задачи; при этом сопоставить с точным результатом для спектра из 2.50, выполнив в нем разложение по малому параметру Ч/т/М 8.60. Воспользусмся аднабатическим приближением, см. 8.58. Быстрая подсистема — легкая частица (координата х~).
Ее уровни и в. ф. при фиксированном значении хз, координаты тяжелой частицы (медленная подсистема), имеют вид 2 . я (л1+ 1) (х! — кз) а з1п и а — х, йзпз (л, +!)' ю ( 2) 2 ( ! х )3 (считаем Дла опРеДеленности хз < хб в. ф. Равна нУлю пРи зна. чеинях х, ) о и х~ ( хз, сравнить с 2.51). Энергия Е„,(ха) выступает в роли эффективного потенциала () (х,) для тяжелой частицы при 0 < хз ( а (вне этого интервала () = со).
Лля не слвшкоч сильно возбужденных состояний характерные значения координаты х, « а и У(хз) можно разложить в ряд (сравнить с 8.58): Йзиз (л~ + 1)е Ьзпз (л~ +!)е 2лгиз лга дзяз(ч, -)- 1)з / Дзя" (л -(- 1)4 ~!1З 2лтзй(об / агг ! ' а п~ з — — 0,1...,, здесь — аь. где й = 1,2, ..., — последовательность нулей функции Эйри в порядке возрастания значений — мь 8.61. Гамнльтониан частицы имеет вид где Дз / ! д д 1 дз ') 20 ~р др др+ рв д~рз/ ей езрэз ээ/х + — з рз 2рс * йрсз 446 При этом задача вычисления спектра Е„,„, и с.
ф. Фэ,э,(хз/ сводится к рассмотренной в 2.8, воспользовавшись результатом котороб получаем является гамнльтонианом поперечного движения частицы в одивродном магнитном поле, направленном вдоль оси ж с вектор- 1 ным потенциалом А — [эаг), см.
1.1. 2 В случае достаточно сильного магнитного поля движение частицы в поперечном направлении определяется, в основном, действием этого поля. При этом 'ыи =)е)дв/ре — характерная частота такого движения значительно превосходит частоту продольного движения. Поэтому для решения задачи можно воспользоваться адиабагическим приближением, см.
8.58. При этом в роли «быстрой» подсистемы выступает двнжение частицы в поперечном направлении. Для нега действие потенциала У(г) можно рассматривать как возмущение. Соответственно волновые функции «быстрой» подсистемы (ири фиксированном значении координаты з продольного движения, характеризующей «медленную» подсистему) в «нулевом» приближении имеют вид впав ! 1 (пр+) т))1 ЧП' Чг = Чг (г) яя Ч 1Е1 (р) х 2п агг)т)1 ( и 1 )(х) р~е *~дЕ ( — п, ) т)+ 1, х) (1) (они не зависят от з), где х=р(2ан, ан — — Яи~н, п =яр+(( т) — ещ!(е))/2. Энергетические уровни «быстрой» подсистемы в первом порядке теории возмущений описываются выражениями Е(0)=пы (л+ — ' 1 ч и и 2у' (2) Ею (') — = Евт (з) = Еп"'+ Еят (з)1 Е1'> (З) = ~ и( /р + Е) ! Чгф„(р) /Э2 ргГр; э здесь Е1„) определяет уровни Ландау.
Теперь согласно 8.58 окончательное определение волновых функций частицы, Ч'„,„„ — = Ч"„ (г) Ч'„,(з), и энергетического спектра Ьщ„ = Е„ „, связанных состояний сводится к решению одномерного уравнения Шрйдингера в эффективном потенциале, совпадающем с Е„,(г). Свойства таких связанных состояний существенно зависят как от вида исходного потенцаалз У(г), так и от квантовых чисел и, т, характеризующих поперечное движение («быструю» подсистему). Рассмотрим некоторые частные случаи. 1) Наиболее полное исследование допускает случай «мел. кой» сферической ямы У(г) (достаточно произвольного вида) радиуса Р и характерной глубины (У«, для которой АУ«/йз ~ 1 и в отсутствие магнитного поля нет связанных состояний частицы. При этом эффективный потенциал У,ЕФ ем Е~',~,(я) также определяет «мелкую» яму, но уже одномерную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
