Galitskii-1992 (1185113), страница 73
Текст из файла (страница 73)
8)). Теперь обобщение выражения (Ъ'П1. 8) для амплитуд переходов в состояния с отличной от исходной энергией представляется очевидным и кмеет вид ~~ьл (Е) я / ~ )ал( ) л(Е)е В заключение обратим нннманае на осцнллнрующий характер временнбй зависимости как амплитуд ос г(Е), так и вероятностей переходов, возникающий даже в случае слабого возоущения при его большой длительности.
Заметим также, что согласно (1) суперпозиция ~1) ='- Е(2) исходных состояний явля. ются д)ьагональяыли (между ними нет переходоз), Появление таких незаввсимых состояний связано с тем, что при рещеньп) задачи были использованы определенные ограничения на значения матричных элементов возмущения т' ь (см. комментарий в связи с системой уравнений (1)). 8.41. Запишем в. ф, КЗС в виде '!'в (у, Е) = ! Ее(о)те()).~... % =е ь " " г ~сл (Е) Ч))л)(д) + ~ с ь (Е) Ч))ь) (д)~ (1) (штрих у снмвола суммы означает отсутствие слагаемого с й = и). Здесь Е„) и Ч"„— с. з, и с. ф.
невозмущенного гаЕо) )о) мильтоннана, с которыми совпадают квазиэнергня и в. ф. КЭС в нулевом приближении. Коэффициенты разложения являются периодическими функциями, в частности, с (Е.(- Т) = с,(Е). Подставив (1) в у. Ш., умножив его слева на Ч'л и проннтегрироЕо) . вав по координатам, получаем, ограничиваясь членами первого приближения: Ейсл (Е) + в)))с„(Е) )глл (Е) с„(Е). Отсюда Значение е(„) — поправки первого порядка в квазнэпергиа, опре(() делается нз условия периодичности с (1). Вводя У„„(1) — среднее значение матричного элемента возмущения, перепишем показатель экспоненты в (3) в виде — (е(Ы вЂ” У„„) ( — ) (У„„(1') — Уа„) п)1' е Так как интегральное слагаемсс здесь является периодической функциея, то условие периодичности с„(1) дает е(() = У (1) ьа (4) Таким образом, значение квазиэнергии в первом порядке теории возмущений, е„ м Е(,) + е„, совпадает со средним за период значением энергии уровня «мгновенного» гамильтоняана,Е„(() (е) = Е„) + У„„(1), в том же прнближепнн (сравнить с результатом 8.56 для случая адиабатнческого изменения гамильтоннана системы).
8.42. Запишем волновую функцию КЭС в вчде (срази)ть с предыдущей задачей, ниже поЛагаем Л = 1) Уе (о () = — 1 ('Н(Е)->е(()~-е(З)+... )1 и а 1 (с (1) т)г(0) (д) ( ~ с (1) ту(0) (д)~ при этом в рамках теории возмущений Подставив (() в у. Ш. и умножив его слева ' ) на (чг~~) ~ с ЙФл, как обычно, находим в первом приближения (аь„—— ь ь)' Е(е) Е(е) ц (4ь)(г)= . ()а)())+У.(12 м) Такая символическая запись означает умножение на (ч) и последующее интегрирование по координатам. 421 Общее решение этого уравнения ямеет вид с !Пп-* 'ч"'Т(еле — ) т..тд ""ил).
и с Значение постоянной с„ь (0) находится из условия периодичностя (1) с(„') (( + Т) = с(1,1 (() и равно Т с(12)(О)=-(~ (т (()е' " '()/(е ь" — )) (3) с (соо)ношения (2), (3) будут использованы ниже для определения поправки второго приближенна для квазиэнергнн). Умножив теперь у.
Ш. на (2)„~, находим для членов пер(с) ного порядка по возмущению (с(0 (Т) = — е'„О + (т„„((). Дальнейшие вычисления проведем для случая Г„„=О. При этом с( =)е(,)(+с(,)(0) и из условия периодичности следует е(„') =0 (сравнить с предыдушей задачей). Значение же постоянной можно выбрать с(„(О) = 0 (выбор другого значения соответ- (1) ствует изменению нормировки и фазы в. ф. ()) и не отражается на ее зависимости от д и (), так что с(„) (() =О. Для членов О) второго порядка теории возмущений, возникающих при умножении у.
Ш. на (Чг() ~, получаем (д(2)(1) = — е(2)+ Е' У (1) Г(1) (() (4) где с('ь) определяются формулами (2) и (3). Отсюда Р с~~~(() =(ес()( — 1 ~ ~ Раь(1') сЩ (1'))(1'+ с(2) (О), а е прн этом постоянную с„(0) можно опустить; как и с„(0). (2) (1) Значение ел находится из условия периодичности коэффи- (2) циента с(2)((). имея в вяду, что как )г„ь(т) и с()ь)(1), так н нх произ))едение в (5) являются периодическими функциями с периодом Т, находим искомую поправку: г в„")= — '~' ~ Узл(1)слбз)(1)б(= --ф~'~(*'""' — ~) ' т +~У (()е '"Зз'~ у (()е з" (И + а Уе„(У)е '" ЛУа . (6) зз ~~ ) Унл (э)) г г 2 А а) — ю), зн (7) Обсудим этот случай более подробно.
Прежде всего отметим, что при (а-э-0 выражение (7) лищь множителем 1/2 отличается от обычной формулы стационарной теории возмущений для У = У(д). Это соответствует тому, что е(„) получается как результат усреднения поправки второго (г) приближения Ел( (() оо соз" ы( для «мгновенного» возмущения Р(д)соз М, при котором созз(ю() = 1/2 (н наглядно следует из аднабатнческого приближения, см. 8.56). В противоположном предельном случае (а-ь со из (7) вытекает, что е( ) сом (см.
(г — г ниже формулу (10)). В важном частном случае системы заряжепнь|х частиц в поле электромагнитной волны, когда 1' = — егаб соз оИ, нз (7) следует выражение для динамической поляризуемости системы (ось з направлена вдоль Га): Г' и ° )(й) йз) н))з л г з а)), — а) л езю = — — ()» (ы) б'0 (8) 423 Используя эрмитовость оператора возмущения, нетрудно заметить (прн (аз, че 2и)//Т), что выражение в фигурных скобках является чисто мнимым, а е„— вещественным.
Если Ухе(д,()ев (г) = Уз„(е) (т. е. возмущение не зависит от времени) то (6) переходит в обычну)о формулу стационарной теории возмущений (УП1. 1) для сдвига уровня во втором порядке. В случае гармонического возмущения вида У = У (е) соз ы( с ю = 2н/Т выражение (6) существенно упрощается: (при е 0 динамическая поляризуемость совпадает с обычной статической поляризуемостью). В частности, для линейного осциллятора, как и в случае стационарного электрического поля в 8.2, находим ез ()и (га) = >и (ез — ез) (9) где еа — его собственаая частота. Воспользовавшись соотношеаием рэ„= >гаеег>„и правилом сумм из 6.13, замечаем, что для системы из й> заряженных частиц с одинаковыми массой т н зарядом е выражение (8) можно преобразовать к виду 4 Е ° 2 а„! (й ) >(, ! ) )з 1 4'„° '.. 1 („, >и ее — е й и и заменив суммирование по й интегрированием по т, находим для ширина> КЭС Г„= — 2 !ш а>з> = — ~ ) !' „1~ 6 (Š— Е~„~ — «>) "т (11) ез Здесь пеРвое слагаемое ()ч (е) = — — з й> соответствУет такомУ и>ез сдвигу уровня в поле волны, как если бы частицы были свободными, сравнить с 6.40, а также с (9) при ез — — 0; оно является доминирующим прп е — ь оо (при этом оонравочный член в (10) может быть сведен к диагональному матричному элементу, если учесть правило сумм из 14.11).
Формулы (7) — (!О) неприменимы при е-+е „, где е „= о> о» = (Е>а> — Е~ >)(>й является частотой перехода л>ежду дискретными уровнями невозмущенного гамильтониана, вызываемого возмущением Р. В возникающей при этом резонансной свтуации даже слабое возмущение приводит к сильному взанмному влиянию резонирующих уровней, сраннитв со следующей задачей. Иная си~унция возникает в случае, когда резонирующее состояние й — = т относитсн к непрерывному спектру.
Теперь действие возмуп:ения приводит к «ионизация» системы и затуханию КЭС со временем. Для определения его времени жизни со. гласно (7) следует сделать замену Е~~> — > Е>„>+ >У, или еа„-» о> -т еа„— !у, где у ) 0 — бесконечно малая величина (сравнить 3 с подстрочяым примечанием на с.
646 в !1)). Записав теперь с 1ш Ва (сю) = — аф, „(ы); 4аы (12) здесь с — скорость света, сравнить с 11.63 и 14.20. 8АЗ. Запишем волновую функцию системы в виде / фг (1) т -ге!! !гг~а 'Р(1)=~ ], фкг=аг г(Г)е ~фю(г) ]' д (сравнить с 6.41). Уравнение Шредингера, гй — гу = (Ню+ Ч) гР дг сводится к системе двух уравнений [йшю — — Ез! ! — Е1, !); / (йаг = Уюе г~ сов (ыг) аг, айаг = )гюе и'" сов(ы1) аг, (!) Во входящих сюда временных множителях е* ~иг~ соз ы1 = — [е !юи а! + е- !"и~а! г] 2 первое слагаемое — медленно изменяющаяся, а второе — быстро измеяяющаяся функции времени. В случае слабого возмущения, Чю«йы, члены в уравнениях (1), сойержащие быстро меняющийся множитель, могут быть опущены, так как не играют существенной роли в переходах системы, сравнить с 8.40.
Учитывая это обстоятельство и сделан подстановку аг г(1)=аг, (1)е гт'(з, у=ыю — щ приводим систему (1) к виду (ою = Ую/й): 2гаг = — уаг + оюаь 21аг = оюа~ + уаг. (2) Для двух независимых решений этой системы уравнений с постоянными коэффициентами обычным способом, с помощью и) Это соотношение непосредственно следует из сопоставления рассматриваемого матричного элемента У „ с матричными элементами операторов (Х!Ч. 12), (Х!Ч. 13) для однофотонных переходов, определяющих сечение фотоэффекта, см. 14.18 — 14.20.
в согласии с обшей формулой [1, % 42] для вероятности пере-хода (напомним, что Г, = й/тю = йшю). В заключение заметим, что для системы в электрическом поле линейно поляризованной волны, Р ='.— йтюг( соз (ы1), ширина уровня и определяемая ею мнимая часть динамической поляризуемости могут быть связаны с сечением фогоионизации и) этого состояния соотношением подстановки л~ з'(>) С, зе, находим — >хг Л> = 2 ~/У +оо, С>И= Щ Сз у+~У+.~ С(з> ' („р / э ~ о~)С( > Лз >>У + "о 2 'т' Таким образом, общее решение у.Ш. имеет вид где в =Е + —,у+Л, и =Ев — — у — Л, до> 1 <о> > 2 ' а в 2 (4) (отметим, что в точном резонансе, при ы = <оь имеем у = 0 и Р = (оа~!пч — Л1) ° Каждое из двух слагаемых в волновой функции (3) оливы.
пает независимое КЭС, при этом вь з являются квазнэнергиями этих состояний. Как видно, в каждом из КЭС представлены лишь по две квазнэнергетических гармоники (см. 6.40), причем они соответствуют состояниям ~ ) и ~ ) т. е. являются ~0) ~1) собственными функциями невозмушенного гамильтониана Нв Более высокие гармоники имеют малые амплитуды, пропорциональные степеням малого параметра )г,/Йыз К1, и поэтому не появилнсь в рассматриваемом приближении (их «исчезновение» связано с пренебрежением в системе уравнений быстро изиеняющимися со временем слагаемыми).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
